]> Feltételes eloszlások
  1. Virtual Laboratories
  2. 2. Eloszlások
  3. 1
  4. 2
  5. 3
  6. 4
  7. 5
  8. 6
  9. 7
  10. 8

5. Feltételes eloszlások

Általános elmélet

Kiindulási pontunk, mint általában, most is egy véletlen kísérlet a hozzá tartozó Ω valószínűségi mezővel és az azon értelmezett valószínűségi mértékkel. Tegyük fel, hogy X , egy a kísérletünktől függő, S értékű valószínűségi változó. Ebben a részben azt szeretnénk megérteni, milyen az X x feltétel melletti feltételes valószínűségi mérték (természetesen x S ). Tehát ha E Ω egy esemény, akkor szeretnénk definiálni a

E X x ,  x S

feltételes valószínűséget. Mint látni fogjuk, ha X diszkrét eloszlású, akkor ehhez semmilyen új fogalmat nem kell bevezetnünk, a már tárgyalt feltételes valószínűség elegendő. Ha viszont X folytonos eloszlású, akkor egészen más megközelítésre lesz szükségünk.

A diszkrét eset

Tegyük fel, hogy X diszkrét eloszlású valamilyen g valószínűségi súlyfüggvénnyel. Így S megszámlálható, és feltehetjük, hogy g x 0 amint x S

Igazoljuk, hogy ha E egy, a kísérletünktől függő esemény, akkor

E X x X x E g x ,  x S .

Igazoljuk, hogy ha E egy esemény, és A S egy részhalmaza, akkor

X A E x A E X x g x .

Megfordítva, a fenti feladatok egyértelműen meghatározzák a X x feltétel melletti feltételes valószínűségeket:

Tegyük fel, hogy az x S elemeken és E eseményeken értelmezett Q x E függvényre

E X A x A Q x E g x ,  A S .

Igazoljuk, hogy Q x E E X x minden x S -re és minden E eseményre!

A folytonos eset

Legyen most X folytonos eloszlású az S n halmazon g valószínűségi sűrűségfüggvénnyel. Tegyük fel, hogy g x 0 amint x S . A diszkrét esettel ellentétben nem használhatjuk egyszerűen a már megismert feltételes valószínűséget arra, hogy az E halmaz X x feltétel melletti feltételes valószínűségét definiáljuk, hiszen a feltétel valószínűsége minden x -re nulla. Azonban intuitívan érezzük, hogy ennek a feltételnek is van értelme. Ha például elvégzünk egy kísérletet, akkor X felvesz valamilyen x értéket (aminek a priori nulla volt a valószínűsége), és nyilván ha már tudjuk, hogy X x bekövetkezett, ez módosíthatja tetszőleges esemény bekövetkezésének valószínűségét. Természetes ötletként adódik, hogy a diszkrét esetben bizonyított állítás megfelelőjét most definícióként használjuk. Tehát legyen

E X x ,  x S

olyan, hogy minden (mérhető) A , S -beli részhalmazra

E X A x A E X x g x .

Most fogadjuk el, hogy E X x definiálható úgy, hogy kielégítse a fenti feltételt (erre a kérdésre még vissza fogunk térni a Várható érték fejezet Feltételes várható érték című részében).

Feltételes valószínűség és Bayes tétel

Legyen ismét X egy valószínűségi változó és E egy esemény. Az előző két részben tárgyaltak alapján kiszámíthatjuk E valószínűségét úgy, hogy X értékére, mint feltételre gondolunk, akár a diszkrét, akár a folytonos esetben:

E x S g x E X x , E x S g x E X x .

A Bayes tétel (melyet Thomas Bayes-ről neveztek el) X feltételes valószínűségi súly-, vagy sűrűségfüggvényére ad egy formulát az E feltétel mellett. Ehhez az X súly-, vagy sűrűségfüggvényét és E X x feltétel melletti feltételes valószínűségét használja:

Legyen X valószínűségi súly-, vagy sűrűségfüggvénye g és E egy esemény, melyre E 0 . Igazoljuk, hogy X valószínűségi súly- illetve sűrűségfüggvénye az E feltétel mellett a következő (az első formula a diszkrét, a második a folytonos esetre érvényes):

g x E g x E X x s S g s E X s ,  x S , g x E g x E X x s S g s E X s ,  x S .

A Bayes tételben g -t nevezik X a priori súly-, vagy sűrűségfüggvényének, x g x E -et pedig a posteriori súly-, vagy sűrűségfüggvénynek (az E feltétel mellett). Vegyük továbbá észre, hogy X E feltétel melletti feltételes valószínűségi súly-, illetve sűrűségfüggvénye arányos a g x E X x értékkel, a nevezőben szereplő összeg, vagy integrál csak egy normáló konstans.

Feltételes súly- és sűrűségfüggvények

A fenti definíciók és eredmények természetesen abban a speciális esetben is érvényesek, amikor az E halmazt egy másik valószínűségi változóval definiáljuk. Legyen tehát Y egy T értékű valószínűségi változó. Ekkor az X Y pár is egy valószínűségi változó, amely az S T szorzathalmazban veszi fel az értékeit. Tegyük fel, hogy X Y (együttes) valószínűségi súly-, vagy sűrűségfüggvénye f . (Speciálisan feltesszük, hogy mindkét komponens diszkrét eloszlású, vagy mindkettő folytonos, és létezik sűrűségfüggvényük is, esetleg kevert eloszlásúak, azaz az egyik komponens diszkrét, a másik sűrűségfüggvénnyel bíró folytonos eloszlású.) Mint korábban, jelölje most is g az X változó súly-, vagy sűrűségfüggvényét, és tegyük fel, hogy g x 0 , amint x S .

Igazoljuk, hogy a következő függvény egy valószínűségi súly-, vagy sűrűségfüggvény amint y T , minden x S -re:

h y x f x y g x ,  x S ,  y T .

A következő feladatban belátjuk, hogy y h y x az Y változó feltételes súly-, vagy sűrűségfüggvénye az X x feltétel mellet.

Igazoljuk az alábbi állításokat. Az első esetben tegyük fel, hogy Y diszkrét, a másodikban pedig, hogy folytonos eloszlású. Tetszőleges B T esetén

Y B X x y B h y x ,  x S , Y B X x y B h y x ,  x S .

A következő tétel a súly-, illetve sűrűségfüggvényekre vonatkozó Bayes tétel. A korábbi jelöléseket használjuk, és bevezetünk egy új jelölést: legyen g x y X feltételes valószínűségi súly-, vagy sűrűségfüggvénye az x S helyen a Y y feltétel mellett ( y T ).

Igazoljuk az alábbi állításokat. Az első esetben tegyük fel, hogy X diszkrét, a másodikban pedig, hogy folytonos eloszlású.

g x y g x h y x s S g s h y s ,  x S ,  y T , g x y g x h y x s S g s h y s ,  x S ,  y T .

A Bayes tételben g -t nevezik X a prior súly-, vagy sűrűségfüggvényének, x g x E -et pedig a posteriori súly-, vagy sűrűségfüggvénynek (az E feltétel mellett). Vegyük továbbá észre, hogy X E feltétel melletti feltételes valószínűségi súly-, illetve sűrűségfüggvénye arányos a g x E X x értékkel, a nevezőben szereplő összeg, vagy integrál csak egy normáló konstans.

Függetlenség

Szemléletesen X és Y akkor függetlenek, ha a feltételes eloszlások megegyeznek a feltétel nélküli eloszlásokkal (tehát az egyik ismerete nem módosítja a másik eloszlását).

Igazoljuk, hogy az alábbiak ekvivalensek:

  1. X és Y függetlenek,
  2. h y x h y , ahol x S ,  y T ,
  3. g x y g x , ahol x S ,  y T .

Feltételes eloszlásokat gyakran használnak olyan esetekben, amikor egy adott eloszlás paraméterét véletlenítjük. Lássunk erre néhány példát!

Példák, alkalmazások

Érmék és kockák

Feldobtunk két hagyományos, igazságos kockát, és a dobott számokat X 1 X 2 -vel jelöltük. Legyen U X 1 X 2 a dobott számok minimuma, V X 1 X 2 pedig a dobott számok maximuma.

  1. Határozzuk meg U feltételes eloszlását a V v feltétel mellett minden v 1 2 3 4 5 6 esetén!
  2. Határozzuk meg V feltételes eloszlását a U u feltétel mellett minden u 1 2 3 4 5 6 esetén!

A kocka- és érmedobás kísérletében először feldobunk egy igazságos kockát, majd egy pénzérmét annyiszor dobunk fel, amennyi a kockadobás eredménye. Legyen N a kockával dobott szám, Y pedig az érmével dobott fejek száma.

  1. Határozzuk meg N Y együttes súlyfüggvényét!
  2. Határozzuk meg Y súlyfüggvényét!
  3. Határozzuk meg N feltételes súlyfüggvényét az Y k feltétel mellett minden k 0 1 2 3 4 5 6 esetén!

A kocka- és érmedobás kísérletben válasszunk egy igazságos kockát és egy igazságos érmét!

  1. Szimuláljunk 1000 kísérletet (frissítsük az ábrát minden tizedik után), és hasonlítsuk össze Y empirikus súlyfüggvényét az előző feladatban meghatározott valódi súlyfüggvénnyel!
  2. Szimuláljunk 200 kísérletet (frissítsük az ábrát mindegyik után), számítsuk ki N feltételes empirikus súlyfüggvényét (az Y k feltétel mellett valamilyen k -ra) és hasonlítsuk ezt össze az előző feladatban meghatározott valódi súlyfüggvénnyel!

Az érme- és kockadobás kísérletében először feldobunk egy szabályos pénzérmét, majd ha írást kaptunk, egy hagyományos, igazságos kockát dobunk fel, ha pedig fejet kaptunk, egy egy-hat irányban lapos kockát dobunk fel. Ez utóbbi az 1 és a 6 oldalait 14 valószínűséggel, a többi oldalát 18 valószínűséggel mutatja. Jelölje X az érmedobás eredményét (0 jelöli az írást, 1 a fejet), Y pedig a kockadobás eredményét.

  1. Határozzuk meg X Y együttes súlyfüggvényét!
  2. Határozzuk meg Y súlyfüggvényét!
  3. Határozzuk meg X feltételes súlyfüggvényét az Y y feltétel mellett minden y 1 2 3 4 5 6 esetén!

Az érme- és kockadobás kísérletében állítsuk be az előző feladat paramétereit!

  1. Szimuláljunk 1000 kísérletet (frissítsük az ábrát minden tizedik után), és hasonlítsuk össze Y empirikus súlyfüggvényét az előző feladatban meghatározott valódi súlyfüggvénnyel!
  2. Szimuláljunk 200 kísérletet (frissítsük az ábrát mindegyik után), számítsuk ki X feltételes empirikus súlyfüggvényét (az Y 2 feltétel mellett) és hasonlítsuk ezt össze az előző feladatban meghatározott valódi súlyfüggvénnyel!

Tegyük fel, hogy egy dobozban 12 érme van, ezek közül 5 igazságos, 4 cinkelt, ezek 13 valószínűséggel mutatnak fejet, a maradék 3 érmének pedig mindkét oldala fej. Kiválasztunk egy érmét a dobozból, és azt feldobjuk kétszer. Jelölje V azt a (véletlentől függő) valószínűséget, amivel a kiválasztott érme fejet mutat, Y pedig a dobott fejek számát!

  1. Határozzuk meg V Y együttes súlyfüggvényét!
  2. Határozzuk meg Y súlyfüggvényét!
  3. Határozzuk meg V feltételes súlyfüggvényét az Y k feltétel mellett, minden k 0 1 2 esetén!

Tegyük fel, hogy a V valószínűségi változó sűrűségfüggvénye g p 6 p 1 p ,  0 p 1 . Ez egy eleme a béta eloszláscsaládnak; a béta eloszlásokat részletesen a Nevezetes eloszlások fejezetben tárgyaljuk. Adott V p esetén háromszor feldobunk egy érmét, amely p valószínűséggel mutat fejet. Jelölje Y a dobott fejek számát!

  1. Határozzuk meg V Y együttes sűrűségfüggvényét!
  2. Határozzuk meg Y sűrűségfüggvényét!
  3. Határozzuk meg V feltételes sűrűségfüggvényét az Y k feltétel mellett, minden k 0 1 2 3 esetén! Ábrázoljuk ezeket a függvényeket közös koordinátarendszerben! Mindegyik kapott feltételes eloszlás is béta eloszlás.

Hasonlítsuk össze a 14. feladatot a 15. feladattal! Az utóbbira gondolhatunk úgy, mintha olyan dobozból választottunk volna egy érmét, amelyben végtelen sok típusú érme van.


Egy dobozban 5 villanykörte van, amelyeket megszámoztak egytől ötig. Az n -edik villanykörte élettartama (hónapokban kifejezve) exponenciális eloszlású n paraméterrel. Kiválasztunk véletlenszerűen egy villanykörtét, és azt becsavarjuk egy foglalatba.

  1. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott villanykörte több mint egy hónapig üzemel?
  2. Feltéve, hogy a kiválasztott villanykörte több mint egy hónapig üzemelt, határozzuk meg a villanykörte sorszámának feltételes súlyfüggvényét!

Legyen N Poisson eloszlású 1 paraméterrel, és adott N n esetén Y binomiális eloszlású n és p paraméterekkel.

  1. Határozzuk meg N Y együttes sűrűségfüggvényét!
  2. Határozzuk meg Y sűrűségfüggvényét!
  3. Határozzuk meg N feltételes sűrűségfüggvényét az Y k feltétel mellett!

Legyen X egyenletes eloszlású az 1 2 3 halmazon, és ha X i , akkor Y egyenletes eloszlású a 0 i intervallumon!

  1. Határozzuk meg X Y együttes sűrűségfüggvényét!
  2. Határozzuk meg Y sűrűségfüggvényét!
  3. Határozzuk meg X feltételes súlyfüggvényét az Y y feltétel mellett, ahol y 0 3 .

Legyen az X Y pár együttes sűrűségfüggvénye f x y x y , amint 0 x 1 ,  0 y 1 .

  1. Határozzuk meg X feltételes sűrűségfüggvényét az Y y feltétel mellett!
  2. Határozzuk meg Y feltételes sűrűségfüggvényét az X x feltétel mellett!
  3. Vajon X és Y függetlenek?

Legyen az X Y pár együttes sűrűségfüggvénye f x y 2 x y , amint 0 x y 1 .

  1. Határozzuk meg X feltételes sűrűségfüggvényét az Y y feltétel mellett!
  2. Határozzuk meg Y feltételes sűrűségfüggvényét az X x feltétel mellett!
  3. Vajon X és Y függetlenek?

Legyen az X Y pár együttes sűrűségfüggvénye f x y 15 x 2 y , amint 0 x y 1 .

  1. Határozzuk meg X feltételes sűrűségfüggvényét az Y y feltétel mellett!
  2. Határozzuk meg Y feltételes sűrűségfüggvényét az X x feltétel mellett!
  3. Vajon X és Y függetlenek?

Legyen az X Y pár együttes sűrűségfüggvénye f x y 6 x 2 y , amint 0 x 1 ,  0 y 1 .

  1. Határozzuk meg X feltételes sűrűségfüggvényét az Y y feltétel mellett!
  2. Határozzuk meg Y feltételes sűrűségfüggvényét az X x feltétel mellett!
  3. Vajon X és Y függetlenek?

Legyen az X Y pár együttes sűrűségfüggvénye f x y 2 x y , amint 0 x y .

  1. Határozzuk meg X feltételes sűrűségfüggvényét az Y y feltétel mellett!
  2. Határozzuk meg Y feltételes sűrűségfüggvényét az X x feltétel mellett!
  3. Vajon X és Y függetlenek?

Legyen X egyenletes eloszlású a 0 1 intervallumon, és ha X x , akkor Y egyenletes eloszlású 0 x -en.

  1. Határozzuk meg az X Y pár együttes sűrűségfüggvényét!
  2. Határozzuk meg Y sűrűségfüggvényét!
  3. Határozzuk meg X feltételes valószínűségi sűrűségfüggvényét az Y y feltétel mellett, tetszőleges y 0 1 esetén!

Többdimenziós egyenletes eloszlások

Elevenítsük fel, hogy mi is a standard n (Lebesgue) mérték n -en:

n A x A 1 ,  A n .

Speciálisan, 1 a hosszt méri -en, 2 a területet 2 -n, 3 pedig a térfogatot 3 -n.

Tegyük fel, hogy X j értékű, Y k értékű úgy, hogy X Y egyenletes eloszlású az R j k halmazon. Vagyis az X Y pár együttes sűrűségfüggvénye

f x y 1 j k R ,  x y R .

Legyenek S és T R projekciói (vagy más szóval vetületei) j -re illetve k -ra, azaz:

S x j x y R  valamely  y k  esetén ,  T y k x y R  valamely  x j  esetén .

Ezután definiáljuk az x S és az y T pontban vett szeleteket:

T x y T x y R ,  x S , S y x S x y R ,  y T . Cross-sections at x and y

Az Együttes eloszlásokról szóló fejezetben láttuk, hogy annak ellenére, hogy X Y egyenletes eloszlású, X és Y marginális eloszlásai általában nem egyenletesek. Azonban a feltételes eloszlások mindig egyenletesek, ezt igazoljuk a következő feladatban.

Igazoljuk, hogy

  1. Y feltételes eloszlása az X x feltétel mellett egyenletes a T x halmazon!
  2. X feltételes eloszlása az Y y feltétel mellett egyenletes az S y halmazon!

A lenti esetek mindegyikében határozzuk meg mindkét valószínűségi változó feltételes eloszlását, és döntsük el, hogy függetlenek-e a változók:

  1. X Y egyenletes eloszlású az R 6 6 2 négyzeten.
  2. X Y egyenletes eloszlású az R x y 2 6 y x 6 háromszögön.
  3. X Y egyenletes eloszlású az R x y 2 x 2 y 2 36 körön.

A kétváltozós egyenletes eloszlás kísérletében szimuláljunk 5000 kísérletet (frissítsük az ábrát minden tizedik után) az alábbi esetek mindegyikében. Figyeljük meg a kapott pontfelhőt, és vázoljuk a marginális empirikus sűrűségfüggvényeket! Vessük össze a kapott szimulációs eredményeket az előző feladatokban kapott elméleti eredményekkel!

  1. négyzet
  2. háromszög
  3. kör

Legyen az X Y Z vektor értékű valószínűségi változó egyenletes eloszlású az R x y z 3 0 x y z 1 halmazon!

  1. Határozzuk meg a három változóból képezhető tetszőleges pár feltételes sűrűségfügvényét a harmadik változó értékére, mint feltételre vonatkoztatva!
  2. Határozzuk meg mindhárom valószínűségi változó feltételes sűrűségfüggvényét a másik kettő változó értékeire, mint feltételekre vonatkoztatva!

A többváltozós hipergeometrikus eloszlás

Az előző, Együttes eloszlások fejezetben tárgyaltuk a (többváltozós) hipergeometrikus eloszlásokat. Ugyanúgy, mint akkor, tegyük fel, hogy m darab tárgyunk van, amelyek mindegyike négy különböző típusú lehet. Első típusú a darab, második típusú b darab, harmadik típusú c darab és nulladik típusú m a b c darab. Az a , b és c paraméterek természetesen nemnegatív egészek, továbbá a b c m . Véletlenszerűen, visszatevés nélkül kiválasztunk n tárgyat. Jelölje a kiválasztott első, második és harmadik típusba tartozó tárgyak számát U , V és W . Így a nulladik típusú tárgyakból n U V W darabot választottunk ki. Az alábbi feladatok ilyen esetekkel foglalkoznak, legyenek mindenütt az i , j , k számok nemnegatív egészek!

Kombinatorikus és analitikus érvelésekkel is igazoljuk, hogy az U V pár feltételes eloszlása a W k feltétel mellett hipergeometrikus eloszlású az alábbi súlyfüggvénnyel. A kombinatorikus érvelésben tekintsünk a kísérletre úgy, mintha n k elemű véletlen mintát vennénk egy m c elemű halmazból, amelyek között a darab egyes típusú, b darab kettes típusú, m a b c darab pedig nullás típusú.

U i V j W k a i b j m a b c n i j k m c n k ,  i j k n .

Kombinatorikus és analitikus érvelésekkel is igazoljuk, hogy U feltételes eloszlása a V j , W k feltétel mellett hipergeometrikus eloszlású az alábbi súlyfüggvénnyel. A kombinatorikus érvelésben tekintsünk a kísérletre úgy, mintha n j k elemű véletlen mintát vennénk egy m b c elemű halmazból, amelyek között a darab egyes típusú, m a b c darab pedig nullás típusú

U i V j W k a i m a b c n i j k m b c n j k ,  i j k n .

A fenti feladatok eredményei természetes módon általánosíthatóak több változó esetére. Így kapjuk, hogy egy hipergeometrikus eloszlású véletlen vektor néhány koordinátájának feltételes eloszlása (feltéve, hogy ismerjük a többi koordináta értékét) szintén hipergeometrikus eloszlású. A hipergeometrikus eloszlásról és a többváltozós hipergeometrikus eloszlásról részletes leírást a Véges mintavételezési eljárások fejezetben olvashatunk.

Mint már korábban is tárgyaltuk, a bridzs kísérletben visszatevés nélkül választunk 13 lapot egy hagyományos, 52 lapos franciakártya pakliból. Legyen U , V és W a kiválasztott pikkek, kőrök és kárók száma. Határozzuk meg az alábbi valószínűségi változók valószínűségi súlyfüggvényét:

  1. U V feltéve, hogy W 3 ,
  2. U feltéve, hogy V 3 , és W 2 .

Multinomiális kísérletek

Az előző, Együttes eloszlások fejezetben tárgyaltuk a multinomiális kísérleteket. Ugyanúgy, mint akkor, tekintsünk most is független kísérleteket, ahol minden kísérlet kimenetele négyféle lehet. Mindegyik kísérletnél az 1. kimenetel p , a 2. kimenetel q , a 3. kimenetel r , a 0. kimenetel pedig 1 p q r paraméterrel következik be. Természetesen a p , q és r paraméterek olyan nemnegatív számok, hogy p q r 1 . Az n kísérlet során jelölje az 1 kimenetelű események számát U , a 2 kimenetelek számát V , a 3 kimenetelek számát pedig W . Ekkor a 0. kimenetelek száma n U V W . Az alábbi feladatokban legyenek i , j és k nemnegatív egészek.

Valószínűségszámítási és analitikus érveléssel is igazoljuk, hogy U V feltételes eloszlása a W k feltétel mellett multinomiális, méghozzá az alábbi súlyfüggvénnyel. A valószínűségszámítási érvelés lényegi része az az észrevétel, hogy a kísérletre tekinthetünk úgy, mint n k független kísérletre, ahol az 1. kimenetel valószínűsége mindig p 1 r , a második kimenetelé pedig q 1 r .

U i V j W k n k i j p 1 r i q 1 r j 1 p 1 r q 1 r n i j k ,  i j k n .

Valószínűségszámítási és analitikus érveléssel is igazoljuk, hogy U feltételes eloszlása a V j és W k feltételek mellett binomiális az alábbi súlyfüggvénnyel. A valószínűségszámítási érvelés lényegi része az az észrevétel, hogy a kísérletre tekinthetünk úgy, mint n j k független kísérletre, ahol az 1. kimenetel valószínűsége mindig p 1 q r .

U i V j W k n j k i p 1 q r i 1 p 1 q r n i j k ,  i j k n .

Az eredmények természetes módon általánosíthatók olyan multinomiális kísérletekre, ahol tetszőleges számú kimenetel lehetséges. Ez esetben is igaz lesz, hogy egy multinomiális eloszlású vektor néhány komponensének feltételes eloszlása a többi komponens ismerete mellett multinomiális. A binomiális eloszlásról és a multinomiális eloszlásról részletesebben a Bernoulli kísérletekről szóló fejezetben olvashatunk.

Az egy-hat irányban lapos kocka egy olyan hatoldalú dobókocka, amelyet ha feldobnak, 14 valószínűséggel mutat egyet vagy hatot, 18 valószínűséggel pedig kettőt, hármat, négyet vagy ötöt. Feldobtunk egy ilyen kockát ötvenszer, és X i -vel jelöltük azt, hogy hányszor dobtuk az i számot ( i 1 2 3 4 5 6 ). Határozzuk meg az alábbi valószínűségi változók súlyfüggvényét:

  1. X 1 X 2 X 4 X 5 feltéve, hogy X 3 8 ,
  2. X 1 X 2 X 5 feltéve, hogy X 3 5 és X 4 7 ,
  3. X 1 X 5 feltéve, hogy X 2 4 , X 3 7 és X 4 5 ,
  4. X 3 feltéve, hogy X 1 8 , X 2 4 , X 4 6 , X 5 7 .

Kétváltozós normális eloszlás

Legyen az X Y valószínűségi változó pár sűrűségfüggvénye a következő:

f x y 1 12 x 2 8 y 2 18 ,  x y 2 .
  1. Határozzuk meg X feltételes sűrűségfüggvényét az Y y feltétel mellett!
  2. Határozzuk meg Y feltételes sűrűségfüggvényét az X x feltétel mellett!
  3. Vajon X és Y függetlenek?

Legyen az X Y valószínűségi változó pár sűrűségfüggvénye a következő:

f x y 1 3 23 x 2 x y y 2 ,  x y 2 .
  1. Határozzuk meg X feltételes sűrűségfüggvényét az Y y feltétel mellett!
  2. Határozzuk meg Y feltételes sűrűségfüggvényét az X x feltétel mellett!
  3. Vajon X és Y függetlenek?

Az előző két példában adott együttes eloszlás a kétváltozós normális eloszlás speciális esetei. Mint láthattuk, ilyenkor a feltételes eloszlások is normálisak. Normális eloszlást nagyon gyakran alkalmaznak a gyakorlatban, például hibával terhelt mérési eredmények modellezésére. A kétváltozós normális eloszlásról részletesen a Nevezetes eloszlások fejezetben olvashatunk.

Eloszlások keveréke

Legyenek S és T mint fent, és tegyük fel, hogy P x egy valószínűségi mérték T -n minden x S -re. Legyen továbbá g egy valószínűségi súly-, vagy sűrűségfüggvény S -en. Ekkor kaphatunk egy új eloszlást T -n úgy, hogy g -vel súlyozzuk a fenti eloszlásokat . Így egy keverék eloszlást kapunk.

Először tegyük fel, hogy S megszámlálható, g pedig egy diszkrét eloszlás súlyfüggvénye S -en. Igazoljuk, hogy az alább definiált egy valószínűségi mérték T -n:

B x S g x P x B ,  B T .

Az előző feladat jelölései mellett tegyük fel, hogy P x egy diszkrét (folytonos) eloszlás, melynek súlyfüggvénye (sűrűségfüggvénye) h x minden x S -re. Igazoljuk, hogy ekkor is diszkrét (folytonos) eloszlás, melynek súlyfüggvénye (sűrűségfüggvénye) az alábbi h függvény:

h y x S g x h x y ,  y T .

Tegyük fel most, hogy S n és g egy folytonos eloszlás valószínűségi sűrűségfüggvénye S -en. Igazoljuk, hogy az alább definiált egy valószínűségi mérték T -n:

B x S g x P x B ,  B T .

Az előző feladat jelölései mellett tegyük fel, hogy P x egy diszkrét (folytonos) eloszlás, melynek súlyfüggvénye (sűrűségfüggvénye) h x minden x S -re. Igazoljuk, hogy ekkor is diszkrét (folytonos) eloszlás, melynek súlyfüggvénye (sűrűségfüggvénye) az alábbi h függvény:

h y x S g x h x y ,  y T .

A fenti két esetben azt mondjuk, hogy a eloszlás a P x x S eloszlások g szerint vett keveréke.

Mint látható, valószínűségi eloszlások keverékét akkor is definiálhatjuk, ha a megfelelő valószínűségi változók különböző valószínűségi mezőkön vannak értelmezve. Természetesen lehetnek közös valószínűségi mezőn is, ekkor a feltételes eloszlással rokon fogalmat kapunk. Legyenek ugyanis X és Y valamilyen kísérlettől függő, S illetve T értékű valószínűségi változók. Tegyük fel, hogy X diszkrét vagy folytonos eloszlású, g súly-, vagy sűrűségfüggvénnyel. Ekkor a következő feladat állítása igaz (ami nem más, mint a már jól ismert teljes valószínűség tétele).

Igazoljuk, hogy Y eloszlása nem más, mint Y feltételes eloszlásainak keveréke az X x feltételek mellett, ahol x S , és a keveréket a g súly-, vagy sűrűségfüggvénnyel állítjuk elő.

Tegyük fel, hogy X egy S n értékű kevert eloszlású valószínűségi változó (azaz van diszkrét és folytonos komponense). Igazoljuk, hogy X eloszlása egy diszkrét és egy folytonos eloszlás fenti értelemben vett keveréke!