]>
Legyenek , és valós értékű valószínűségi változók, melyek eloszlásfüggvényei , illetve . Azt mondjuk, hogy gyengén konvergál -hez (vagy más szóval eloszlásban konvergál; az eloszlásaik konvergálnak), amint , ha
minden olyan -re, ahol folytonos. Nagyon fontos, hogy az eloszlásban való konvergencia csak a valószínűségi változók eloszlásától függ, azaz az is előfordulhat, hogy a valószínűségi változók nem ugyanazon a valószínűségi mezőn definiáltak (azaz nem ugyanattól a véletlen kísérlettől függenek). Ez lényeges eltérés az eddig tárgyalt konvergencia típusokhoz képest, melyek a következők:
Amint látni fogjuk, az eloszlásban való konvergencia a leggyengébb konvergencia típus (ahogy a gyenge konvergencia
kifejezés ezt sugallja is). Ennek ellenére nagyon fontos konvergenciatípus, hiszen például a centrális határeloszlás-tétel - a valószínűségszámítás egyik legfontosabb tétele - is erre a konvergenciára vonatkozik.
Az alábbi példák rávilágítanak arra, hogy miért az eloszlásfüggvénnyel definiáltuk ezt a konvergenciatípust (és nem a súly-, vagy sűrűségfüggvénnyel), illetve hogy miért csak a folytonossági pontokban való konvergenciát követeljük meg.
Legyen , amint , és legyen . Jelölje , illetve a megfelelő súly-, , illetve pedig a megfelelő eloszlásfüggvényeket. Lássuk be, hogy
Legyen diszkrét egyenletes eloszlású az halmazon, ahol , és legyen folytonos egyenletes eloszlású a intervallumon.
Ahogy a 2. feladat mutatja, előfordulhat, hogy diszkrét eloszlású valószínűségi változók gyenge limesze folytonos eloszlású (vagy akár fordítva). Ezt a konvergenciát nem lehetett volna súly-, illetve sűrűségfüggvényekkel definiálni, hisz a konvergens változóknak súly-, a határértéknek pedig sűrűségfüggvénye van. Ez is egy szemléletes ok arra, miért fontos az eloszlásfüggvények vizsgálata. Ha azonban súly-, vagy sűrűségfüggvények konvergálnak, akkor az eloszlások is. Ez az állítás (amely a Scheffe tétel következménye) pontosan így hangzik:
Tegyük fel, hogy és az megszámlálható halmazon értelmezett diszkrét eloszlások súlyfüggvényei, továbbá amint minden esetén. Ekkor az által definiált eloszlások konvergálnak az által definiált eloszláshoz, amint . Hasonlóan, ha és valós értékű folytonos eloszlások sűrűségfüggvényei, és amint minden esetén (esetleg egy Lebesgue nullmértékű halmaz kivételével), akkor az által definiált eloszlások konvergálnak az által definiált eloszláshoz, amint .
Legyenek és közös valószínűségi mezőn definiált valószínűségi változók, melyek eloszlásfüggvényei rendre , illetve . Lássuk be, hogy ha amint valószínűségben, akkor gyengén konvergál -hez, amint .
A következő példa azt mutatja be, hogy ha még azonos valószínűségi mezőn definiáltak is a változók, előfordulhat, hogy csak gyengén konvergensek, semmilyen erősebb értelemben nem.
Legyen indikátor változó, melyre , és legyen minden esetén. Lássuk be, hogy
Összegezve, az általunk definiált konvergencia típusokra pontosan az alábbi implikációk igazak:
A következő feladat az utolsó implikáció bizonyos értelemben vett megfordítottját tárgyalja: ha konstans a határeloszlás, a gyenge konvergencia ekvivalens a valószínűségben való konvergenciával. (Természetesen a konstans függvény felfogható tetszőleges valószínűségi mezőn definiált valószínűségi változóként.)
Legyen azonos valószínűségi mezőn definiált valószínűségi változók sorozata, melyekre igaz, hogy eloszlásban konvergál a konstans valószínűségi változóhoz, amint . Lássuk be, hogy valószínűségben, amint :
Néhány fontos, nevezetes eloszlás gyengén konvergál valamilyen nevezetes eloszláshoz, amint bizonyos paramétere a megfelelő értékhez tart (ezért is nevezetesek az ilyen eloszlások). Ilyen konvergenciákra nézünk most néhány példát.
Ahogy azt már tárgyaltuk, az , és paraméterű hipergeometrikus eloszlás adja meg egy elemű mintában lévő egyes típusú elemek számát, ahol a mintát visszatevés nélkül vettük egy darab egyes típusú elemet tartalmazó elemszámú halmazból. Az eloszlás súlyfüggvénye:
Tegyük fel, hogy függ -től, és amint . Lássuk be, hogy rögzített -re az , és paraméterű hipergeometrikus eloszlás konvergál az és paraméterű binomiális eloszláshoz, amint .
Gyakorlati szempontból is fontos az előző eredmény, miszerint ha
nagy
(az
populációmérethez képest), akkor az
,
, és
paraméterű hipergeometrikus eloszlás - amely a visszatevés nélküli mintavételnek felel meg - jól közelíthető az
és
paraméterű binomiális eloszlással, amely pedig a visszatevés nélküli mintavételnek felel meg. Azon túl, hogy a binomiális eloszlás egyszerűbb, hisz kevesebb paramétere van, a gyakorlatban azért is alkalmazzák gyakran, mert sokszor előfordul, hogy a paraméterek nem ismertek pontosan, csak közelítőleg. Vegyük ugyanis észre, hogy a binomiális eloszlás esetén nem kell ismernünk külön-külön
-et (az összes elem számát) és
-et (az egyes típusú elemek számát), hanem elég, ha az
arányt ismerjük.
A golyók és urna kísérletében állítsuk be az , paraméterértékeket! Az összes alábbi minta elemszám () esetén tekintsünk visszatevés nélküli mintavételt (hipergeometrikus eloszlás) és visszatevéses mintavételt (binomiális eloszlás). Vizsgáljuk meg, mennyire különböznek egymástól a súlyfüggvények! Szimuláljunk 1000 kísérletet, és frissítsük az ábrát minden tizedik után mindkét mintavételezési eljárás esetén!
Ahogy azt már tárgyaltuk, a és paraméterű binomiális eloszlás nem más, mint független Bernoulli kísérlet között a sikeresek száma, ahol az egy rögzített kísérletben való siker valószínűsége. Az eloszlás súlyfüggvénye:
Továbbá az paraméterű Poisson eloszlás súlyfüggvénye:
Tegyük fel, hogy a binomiális eloszlásban a siker valószínűsége, azaz függ -től, és amint , ahol . Lássuk be, hogy ezek a binomiális eloszlások konvergálnak sz paraméterű Poisson eloszláshoz, amint .
Az előző eredményünk a gyakorlatban azt jelenti, hogy ha az
kísérletek száma nagy
, miközben a
siker valószínűség kicsi
úgy, hogy az
szorzat se nem túl nagy, se nem túl kicsi, akkor az
és
paraméterű binomiális eloszlás jól közelíthető az
paraméterű Poisson eloszlással. Azon túl, hogy a Poisson eloszlás egyszerűbb, hisz kevesebb paramétere van, a gyakorlatban azért is alkalmazzák gyakran, mert sokszor előfordul, hogy a paraméterek nem ismertek pontosan, csak közelítőleg. Vegyük ugyanis észre, hogy a Poisson eloszlás esetén nem kell ismernünk külön-külön
-et (a kísérletek számát) és
-t (a siker valószínűségét), elegendő, ha az
szorzatot ismerjük.
Tegyük fel, hogy az valószínűségi változó súlyfüggvénye , ahol paraméter, azaz geometriai eloszlású az halmazon (vagy más szóval optimista geometriai eloszlású) paraméterrel. Ekkor gondolhatunk úgy -ra, mint az első sikeres kísérlet sorszámára egy Bernoulli kísérlet sorozatban.
Legyen geometriai eloszlás az halmazon paraméterrel, és tegyük fel, hogy , amint , ahol . Lássuk be, hogy eloszlása konvergál az paraméterű exponenciális eloszláshoz, amint .
Vegyük észre, hogy az előző feladatban -re és -re tett feltételek ugyanazok, mint amelyeket a binomiális eloszlás Poisson eloszláshoz való konvergenciájánál tettünk. Ezen határértékek mélyebb megértéséhez javasoljuk a Bernoulli kísérletek és a Poisson folyamat című rész tanulmányozását.
Legyen az számok egy véletlen permutációja. Azt mondjuk, hogy a permutáció fixpontja, ha .
Lássuk be, hogy minden -re. Azaz minden szám azonos valószínűséggel fixpont, és ez a valószínűség fordítottan arányos a halmaz méretével.
Lássuk be, hogy ahol , és . Tehát azok az események, hogy különböző számok egy permutáció fixpontjai, nem függetlenek, hanem pozitívan korreláltak. Speciálisan nem alkotnak Bernoulli kísérlet sorozatot.
Egy permutáció fixpontjainak számáról, vagy más szóval az egyező elemek számának problémájáról részletesen a Véges mintavételezési eljárások fejezetben olvashatunk. A fixpontok számára az jelölést használva, a súlyfüggvényre igaz az alábbi képlet:
Lássuk be, hogy eloszlása konvergál az 1 paraméterű Poisson eloszláshoz, amint .
Legyenek standard exponenciális eloszlású független valószínűségi változók, azaz a közös eloszlásfüggvényük:
Határozzuk meg az alábbi valószínűségi változók eloszlásfüggvényét:
Lássuk be, hogy eloszlása konvergál a következő eloszlásfüggvényhez, amint :
Az előző feladatban kapott limesz eloszlást nevezik első típusú extrémérték eloszlásnak vagy más szóval Gumbel eloszlásnak (Emil Gumbel tiszteletére). Az Extrémérték eloszlásokról részletesen a Nevezetes eloszlások című fejezetben olvashatunk.
Legyen értékű valószínűségi változó, ahol , és eloszlásfüggvénye . Azaz Pareto eloszlású paraméterrel. A Pareto eloszlást Vilfredo Pareto-ról nevezték el, részletes tárgyalása a Nevezetes eloszlások című fejezetben található.
A valószínűségszámítás két legfontosabb tételét, a nagy számok törvényét és a centrális határeloszlás-tételt részletesen a Véletlen minták fejezetben tárgyaljuk, itt csak kimondjuk őket.
Legyen független, azonos eloszlású, valós értékű valószínűségi változók változók sorozata (melyek egy közös valószínűségi mezőn definiáltak), várható értékkel és szórással. Legyen
az első változó összege. A nagy számok gyenge törvénye azt állítja, hogy az átlag gyengén konvergál a pontra koncentrált eloszláshoz, amint . Ekkor az 5. feladat értelmében az átlag valószínűségben is konvergál a várható értékhez. Továbbá egy erősebb állítás is igaz: a nagy számok erős törvénye szerint majdnem biztosan is konvergálnak a konstanshoz. A centrális határeloszlás-tétel állítása pedig, hogy a
úgynevezett standardizált valószínűségi változó eloszlásban konvergál a standard normális eloszláshoz, amint .
Legyenek és eloszlásfüggvények, hogy amint , azaz az eloszlások gyengén konvergálnak. Ebben a részben a Szkorohod reprezentációs tételt bizonyítjuk, mely szerint ekkor léteznek és közös valószínűségi mezőn definiált valószínűségi változók, melyekre
A következő lépésekben igazoljuk a Szkorohod reprezentációs tételt!
A következő, önmagában is fontos állítás szemlélteti, milyen hasznos a Szkorohod reprezentáció.
Legyenek , illetve valós értékű valószínűségi változók, hogy gyengén konvergál -hez, amint . Lássuk be a következő állítást: ha egy folytonos valós-valós függvény, akkor gyengén konvergál -hez, amint .
A következő feladatban az Henry Scheffé-ről elnevezett Scheffé tételt igazoljuk.
Legyen a valós tengelyen egy folytonos eloszlás sűrűségfüggvénye minden esetén, pedig a valós tengelyen a folytonos eloszlás sűrűségfüggvénye. Tegyük fel továbbá, hogy amint Lebesgue-majdnem minden pontban. Ekkor amint minden (mérhető) halmazra egyenletesen.
A Scheffé tétel akkor is igaz marad, ha a sűrűségfüggvények nem a hagyományos (Lebesgue) mértékre vonatkoznak, hanem tetszőleges -en értelmezett mértékre (a bizonyítás lényegében ugyanúgy megy, mint fent). Speciálisan ha számlálómértéket veszünk, a Scheffé tétel diszkrét eloszlásokra vonatkozó változatát kapjuk.
A Generátorfüggvényekkel részletesen a Várható érték című fejezetben foglalkozunk. A generátorfüggvények egyik fontos alkalmazása az úgynevezett folytonossági tétel: valószínűségi változók pontosan akkor konvergálnak gyengén egy valószínűségi változóhoz, ha a generátorfüggvényeik pontonként konvergálnak a megfelelő generátorfüggvényhez. Sokszor ezzel a tétellel a legegyszerűbb eloszlások gyenge konvergenciáját bizonyítani.