Tekintsünk egy véletlen kísérletet a hozzá tartozó eseménytérrel és valószínűségi mértékkel. A kísérlettől függő valószínűségi változóra azt mondjuk, hogy diszkrét eloszlású, ha értékkészlete (amit -sel jelölünk) egy megszámlálható halmaz. Tipikusan valamely -re, így ha , akkor vektor értékű. A következő ábrán a kék pontok ábrázolják valamely diszkrét eloszlás értékkészletét, azaz ezeket a pontokat pozitív valószínűséggel veszi fel a valószínűségi változó.
Az változó (diszkrét) valószínűségi súlyfüggvénye egy -ből -be képező függvény, amelyre
Igazoljuk, hogy -re igazak a következő állítások. Segítség: használjuk a valószínűségi mértékek axiómáit!
A (c) tulajdonság azért is nagyon fontos, mert rávilágít arra a tényre, hogy egy diszkrét valószínűségi változót meghatároz a valószínűségi súlyfüggvénye. Fordítva, tetszőleges olyan függvény, amely eleget tesz az (a) és a (b) pontbeli feltételnek, egy (diszkrét) valószínűségi súlyfüggvény, és ebből a (c) pont segítségével meghatározhatjuk a hozzá tartozó valószínűségi eloszlást -en. Precízen fogalmazva az valószínűségi változó számlálómértékre vonatkozó sűrűségfüggvénye -en.
Mint már korábban említettük, tipikusan egy nagyobb halmaz - mint például valamely -re - megszámlálható részhalmaza. Ilyenkor mindig értelemszerűen kiterjeszthető a nagyobb halmazra úgy, hogy definíció szerint , amint . Néha ez a kiterjesztés leegyszerűsíthet bizonyos jelöléseket.
Az olyan elemet, amelyre az valószínűségi súlyfüggvény maximális, az eloszlás móduszának nevezzük. Ha csak egy módusz van, azt (kissé félrevezető módon, hisz ez nem feltétlen esik egybe a várható értékkel) néha nevezik az eloszlás centrumának is.
Egy diszkrét valószínűségeloszlásra gondolhatunk úgy, mint egy diszkrét tömegeloszlásra, ahol a teljes tömeg 1 egység. Ebben a megfeleltetésben tömegpontok megszámlálható halmaza, pedig az pont tömege. Az 1. feladat (c) pontja ebben a megfeleltetésben egyszerűen annyit jelent, hogy az halmaz tömegét úgy kaphatjuk meg, hogy a benne levő pontok tömegeit összeadjuk.
Tekintsük azt az összetett kísérletet, amely az eredeti kísérlet korlátlan sokszor való megismétléséből áll. Ebbe az összetett kísérletben független valószínűségi változók sorozatát kapjuk, ezek mindegyike ugyanolyan eloszlású, mint (statisztikai szakkifejezéssel élve mintákat veszünk az eloszlásból). Legyen
Ez nem más, mint relatív gyakorisága az első kísérlet között. Vegyük észre, hogy minden -re egy az összetett kísérlettől függő valószínűségi változó. A nagy számok törvénye értelmében valamilyen értelemben konvergál -hez, amint . Az függvényt empirikus súlyfüggvénynek nevezik. A diszkrét változókkal foglalkozó appletek többségében megfigyelhetjük az empirikus súlyfüggvényeket.
Legyen egy, az megszámlálható halmazon értelmezett nemnegatív függvény, és legyen
Igazoljuk, hogy ha , akkor egy diszkrét valószínűségi súlyfüggvényt definiál -en.
Nyilván pontosan akkor, ha minden -re. Másrészt csak akkor lehet, ha végtelen. Amennyiben (és így megkonstruálható az súlyfüggvény), -t szokás normáló konstansnak nevezni. A feni gondolatmenet hasznos lehet, ha előre meghatározott tulajdonságú (például bizonyos alakú, vagy szimmetriájú) súlyfüggvényt akarunk előállítani.
Az valószínűségi változó súlyfüggvénye természetesen nagyban függ az eseménytéren tekintett valószínűségi mértéktől. Ez például lehet egy feltételes valószínűségi mérték egy adott eseményre vonatkozóan (ahol ). A szokásos jelölés
A következő feladat arra világít rá, hogy a jelölést leszámítva nem jelenik meg új fogalom a feltételes eloszlások esetén. Így minden állítás, amely érvényes általában diszkrét valószínűségi súlyfüggvényekre, megfelelően kimondva iga lesz feltételes diszkrét valószínűségi súlyfüggvényekre is.
Igazoljuk, hogy fix -re az függvény diszkrét valószínűségi súlyfüggvény. Azaz igazoljuk, hogy kielégíti az 1. feladat (a) és (b) pontját, a (c) pont pedig a következő formában lesz igaz:
Tegyük fel, hogy és Igazoljuk, hogy feltételes súlyfüggvénye amellett a feltétel mellett, hogy a következő
Tegyük fel, hogy egy diszkrét eloszlású valószínűségi változó a megszámlálható halmazon, valamint egy esemény. Legyen az változó valószínűségi súlyfüggvénye.
Vegyük észre, hogy egy partíciója az eseménytérnek (azaz a fenti halmazok diszjunktak, és az uniójuk az egész eseménytér).
Az előző feladat következtében a teljes valószínűség tételének és a Bayes tételnek a következő feladatokban megfogalmazott változatai azonnal következnek a Feltételes valószínűségről szóló rész megfelelő eredményeiből.
Igazoljuk, hogy:
A fenti eredmény természetesen akkor hasznos, ha ismert eloszlása, és feltételes valószínűségei különböző realizációi mellett. Ilyenkor azt mondjuk, hogy -re feltételezünk (vagy kondicionálunk).
Igazoljuk a Bayes Tételt (melyet Thomas Bayes-ről neveztek el):
A Bayes tétel egy, az változó feltétel melletti valószínűségi súlyfüggvényét megadó formula. Mint az előző képlet, ez is akkor hasznos, ha a jobb oldalon szereplő mennyiségeket ismerjük. A Bayes tétel esetén (feltétel nélküli) eloszlását a priori eloszlásnak, feltételes eloszlását pedig a posteriori eloszlásnak nevetik. A jobb oldalon szereplő nevező pedig csak egy normáló konstans, amely épp .
A következő három modellünk - a diszkrét egyenletes eloszlás, a hipergeometriai eloszlás és a Bernoulli próbák - mind nagyon fontosak. Amikor az utána következő feladatokat oldjuk meg, vegyük észre, ha a feladatra ráillik a három modell egyike!
Az véges halmazból kiválasztunk egy véletlen elemet. Az előző mondat kissé pontatlan: a véletlen kifejezés alatt azt kell értenünk, hogy minden elemet azonos valószínűséggel választunk.
Az előző feladatban látott eloszlás a diszkrét egyenletes eloszlás -en. Sok mintavételezési, kombinatorikai feladatban felmerülő eloszlás az egyenletes eloszlás transzformáltja.
Tegyük fel, hogy elemet választunk visszatevéssel az elemű halmazból. Legyen a kiválasztott elemek rendezett sorozata. Lássuk be, hogy egyenletes eloszlású az halmazon, és így a valószínűségi súlyfüggvénye
Tegyük fel, hogy elemet választunk visszatevés nélkül az elemű halmazból. Legyen a kiválasztott elemek rendezett sorozata. Lássuk be, hogy egyenletes eloszlású a halmaz elemű permutációiból álló halmazon, és így a valószínűségi súlyfüggvénye
Tegyük fel, hogy elemet választunk visszatevés nélkül az elemű halmazból. Legyen a kiválasztott elemek rendezetlen halmaza. Lássuk be, hogy egyenletes eloszlású a halmaz elemű kombinációiból álló halmazon, és így a valószínűségi súlyfüggvénye
Tegyük fel, hogy egyenletes eloszlású az véges halmazon, és egy nem üres részhalmaza -nek. Igazoljuk, hogy feltételes eloszlása - amellett a feltétel mellett, hogy -, egyenletes -n.
Tegyük fel, hogy egy populáció egyedből áll, ezek közül darab 1-es típusú, darab pedig 0-s típusú. Egy elemű, visszatevés nélküli véletlen mintát veszünk a populációból. Jelölje az 1-es típusú kiválasztott egyedek számát! Igazoljuk, hogy valószínűségi súlyfüggvénye a következő:
Tegyük fel, hogy egy populáció egyedből áll, ezek közül darab 1-es, darab 2-es, darab pedig 0-s típusú. Egy elemű, visszatevés nélküli mintát veszünk a populációból. Jelölje a mintában lévő 1-es, pedig a 2-es típusú egyedek számát. Igazoljuk, hogy valószínűségi súlyfüggvénye a következő:
A 13. feladatban szereplő eloszlás az , és paraméterű hipergeometriai eloszlás. A 14. feladatban definiált eloszlás az , , és paraméterű kétváltozós hipergeometriai eloszlás. Természetesen hasonló formula adható abban az esetben is, ha még több típusú egyed található a populációban. A hipergeometriai eloszlás és a többváltozós hipergeometriai eloszlás részletes tárgyalása a Véges mintavételezési eljárásokról szóló fejezetben található. Ebben a fejezetben sok, a diszkrét egyenletes eloszlásból származtatott eloszlás megtalálható.
A Bernoulli kísérletsorozat egy független, azonos eloszlású indikátor valószínűségi változókból álló sorozat. Az valószínűségi változó jelöli az -edik kísérlet kimenetelét; az értéke 1, ha a kísérlet sikeres, 0, ha sikertelen. A Bernoulli sorozatot Jacob Bernoulli-ról nevezték el. Jelölje a siker valószínűségét, ami az egyetlen paraméter.
Igazoljuk, hogy az vektor valószínűségi súlyfüggvénye a következő:
Legyen a sikerek száma az első kísérlet között. Igazoljuk, hogy valószínűségi súlyfüggvénye a következő:
Az előző feladatban definiált eloszlás az és paraméterű binomiális eloszlás. A binomiális eloszlás részletes tárgyalása a Bernoulli kísérletekről szóló fejezetben található.
Tekintsünk egy paraméterű Bernoulli kísérletsorozatot. Legyen az első sikeres kísérlet sorszáma, pedig az első sikeres kísérletet megelőző sikertelen kísérletek száma. Igazoljuk, hogy
Az (a) pontbeli súlyfüggvénnyel definiált eloszlást nevezzük -en értelmezett geometriai eloszlásnak (vagy optimista geometriai eloszlásnak), a (b) pontbeli súlyfüggvénnyel definiált eloszlás pedig az -en értelmezett geometriai eloszlás (vagy pesszimista geometriai eloszlás). Mindkét esetben az eloszlás paramétere. A geometriai eloszlást részletesen a Bernoulli kísérletekről szóló fejezetben tárgyaljuk.
Egy urnában 30 piros és 20 zöld golyó van. 5 golyót visszatevés nélkül kiválasztunk az urnából. Legyen a kiválasztott piros golyók száma.
A golyók és urna kísérletben válasszunk visszatevés nélküli mintavételezést, és állítsuk be az , és paraméterértékeket! Szimuláljunk 1000 kísérletet (frissítsük az ábrát minden tizedik után), és figyeljük meg, hogyan konvergál empirikus súlyfüggvénye a valódi súlyfüggvényhez!
Egy urnában 30 piros és 20 zöld golyó van. 5 golyót kiválasztunk visszatevéssel. Jelölje a kiválasztott piros golyók számát!
A golyók és urna kísérletben válasszunk visszatevéses mintavételezést, és állítsuk be az , és paraméterértékeket! Szimuláljunk 1000 kísérletet (frissítsük az ábrát minden tizedik után), és figyeljük meg, hogyan konvergál empirikus súlyfüggvénye a valódi súlyfüggvényhez!
Egy olyan pénzérmét, amely valószínűséggel mutat fejet, feldobtunk ötször. Legyen a dobott fejek száma.
Az érmedobás kísérletben állítsuk be az és a paraméterértékeket! Szimuláljunk 1000 kísérletet (frissítsük az ábrát minden tizedik után), és figyeljük meg, hogyan konvergál empirikus súlyfüggvénye a valódi súlyfüggvényhez!
Feldobtunk két hagyományos igazságos dobókockát, és a dobott értékeket feljegyeztük az vektorba. Legyen a dobott számok összege, , a kisebbik dobott szám, pedig a nagyobbik dobott szám.
A kockadobás kísérletben válasszunk igazságos kockát! Válasszuk ki a következő valószínűségi változókat, és figyeljük meg a súlyfüggvény alakját! Szimuláljunk 1000 kísérletet (frissítsük az ábrát minden tizedik után), és figyeljük meg, hogyan konvergál az alábbi valószínűségi változók empirikus súlyfüggvénye a valódi súlyfüggvényhez!
A kocka- és érmedobás kísérletben feldobunk egy hagyományos, igazságos kockát, majd egy igazságos pénzérmét annyiszor dobunk fel, amennyit a kocka mutat. Jelölje a kockával dobott értéket, az érmékkel dobott értékek sorozatát, pedig a dobott fejek számát. Vegyük észre, hogy az vektor hossza is függ a véletlentől.
Szimuláljunk 1000 kísérletet a kocka- és érmedobás kísérletben, és frissítsük az ábrát minden kísérlet után. Figyeljük meg, a dobott fejek számának empirikus súlyfüggvénye hogyan konvergál a valódi valószínűségi súlyfüggvényhez!
Tegyük fel, hogy egy zacskóban 12 érme van, ebből 5 igazságos, 4 hamis, amelyek valószínűséggel mutatnak fejet, 3 érmének pedig mindkét oldalán fej van. Kiválasztunk egy érmét véletlenszerűen a zacskóból, és feldobjuk kétszer. Jelölje a kiválasztott érme esetén a fejdobás valószínűségét, és legyen a dobott fejek száma.
Hasonlítsuk össze a 26. feladatot és a 28. feladatot! Az előzőben egy olyan érmét dobunk fel véletlen sokszor, amely rögzített valószínűséggel mutat fejet, míg az utóbbiban a feldobások száma rögzített, míg a fejdobás valószínűsége tekinthető véletlennek.
Az érme- és kockadobás kísérletében először feldobunk egy igazságos érmét, majd ha az írást mutat, egy igazságos kockát dobunk fel, ha pedig fejet mutat, egy egy-hat irányban lapos kockát dobunk fel (ahol az 1 és a 6 valószínűsége , a 2, 3, 4 és az 5 valószínűsége pedig ). Határozzuk meg a kockadobás értékének súlyfüggvényét!
Szimuláljunk 1000 darab érme- és kockadobás kísérletet az előző feladat paramétereivel, és frissítsük az ábrát minden tizedik után! Hasonlítsuk össze a kapott empirikus súlyfüggvényt az előző feladatban meghatározott elméleti súlyfüggvénnyel!
Egy olyan érmét, amely valószínűséggel mutat fejet, feldobtunk annyiszor, amíg először fejet kaptunk. Jelölje a feldobások számát.
A negatív binomiális kísérletben állítsuk be a és a paraméterértékeket! Szimuláljunk 1000 kísérletet (frissítsük az ábrát minden tizedik után), és figyeljük meg, a kísérletek számának empirikus súlyfüggvénye hogyan konvergál a valódi súlyfüggvényhez!
Egy póker kísérlet abból áll, hogy visszatevés nélkül kiválasztunk 5 kártyát egy hagyományos, 52 lapos pakliból. Legyen a kiválasztott lapok között lévő pikkek, pedig a kőrök száma.
A bridzs kísérletben 13 kártyát választunk visszatevés nélkül egy 52 lapos pakliból. Figurának nevezzük az ászt, a királyt, a dámát és a bubit. A leggyakoribb pontozási rendszerben az ász 4 pontot, a király 3 pontot, a dáma 2 pontot, a bubi pedig 1 pontot ér. Jelölje a kiválasztott 13 lap között a figurák számát, pedig az összpontszámukat.
Tegyük fel, hogy 500 alkatrészünkből 20 selejtes, a többi jól működik. Véletlenszerűen kiválasztunk 10 alkatrészt, és megvizsgáljuk őket. Legyen a kiválasztott selejtes alkatrészek száma.
Egy gyáregységben három különböző technológiával tudnak egy bizonyos alkatrészt előállítani. Az első módszerrel gyártják az alkatrészek 50%-át, és ez a módszer az esetek 4%-ában selejtes árut állít elő. A második módszerrel a termelés 30%-a zajlik, a selejtesek aránya itt 5%. A harmadik módszerrel az alkatrészek 20%-át gyártják, ahol a selejtesek aránya 1%. Véletlenszerűen választunk egy, a gyárban előállított alkatrészt, és azt megvizsgáljuk.
Ahogy már korábban is tárgyaltuk, a megbízhatóság elméletben egy elemű rendszert tekintünk, ahol az elemek egymástól függetlenül vagy üzemelnek, vagy hibásak. Jelölje az -edik elem állapotát, ahol 1 jelenti, hogy az elem működik, 0 hogy elromlott. Tehát a rendszer állapotát leírja az vektor. Magára a rendszerre is értelmezett, hogy működik, vagy sem, attól függően, hogy a komponensei közül melyek működnek. Így a rendszer állapota, egy indikátor valószínűségi változó, amely a rendszer elemeinek állapotaitól a struktúrafüggvényen keresztül függ.
Egy alkatrész megbízhatóságának nevezzük a működési valószínűségét. Legyen az -edik alkatrész megbízhatósága, pedig a megbízhatóságokból álló vektor. A függetlenségre vonatkozó feltétel miatt a rendszer megbízhatósága csak az alkatrészek megbízhatóságától függ, a megbízhatósági függvényen keresztül: . Ha minden alkatrész megbízhatósága azonos (jelölje ezt ), akkor az alkatrészek állapotai egy elemű Bernoulli kísérletsorozatot adnak. Ekkor a rendszer megbízhatósága egyszerűen függvénye.
Tegyük fel, hogy az alkatrészek közös megbízhatósága . Határozzuk meg az állapotokat leíró vektor valószínűségi súlyfüggvényét!
Tegyük fel, hogy az alkatrészek közös megbízhatósága , és jelölje a működő alkatrészek számát!
Legyen ahol paraméter.
Az előző feladatban adott súlyfüggvény az
paraméterű Poisson eloszlás súlyfüggvénye (ez az eloszlás Simeon Poisson-ról kapta a nevét). A Poisson eloszlás részletes tárgyalása a Poisson folyamat fejezetben található. Gyakran használják időbeli, vagy térbeli véletlen pontok
modellezésére. Ez esetben az
paraméter arányos az adott időintervallum, vagy térrész nagyságával.
Tegyük fel, hogy egy honlapon lévő elírások száma, , Poisson eloszlású 2,5 paraméterrel.
A Poisson folyamat kísérletében állítsuk be az és a paraméterértékeket! Szimuláljunk 1000 kísérletet (frissítsük az ábrát minden tizedik után), és figyeljük meg, hogyan konvergál az empirikus súlyfüggvény a valódi súlyfüggvényhez!
Legyen amint .
Az előző feladatban definiált eloszlás a zeta eloszláscsalád tagja. A Zeta eloszlásokat különböző tárgyak méretének modellezésénél szokták használni, részletesebben lásd a Nevezetes eloszlásokról szóló fejezetet!
Legyen ahol . (Itt a logaritmus tízes alapú.)
Az előző feladatban definiált eloszlást nevezik Benford eloszlásnak az amerikai fizikus, Frank Benford tiszteletére. A Benford eloszlás részletes tárgyalása szintén a Nevezetes eloszlások fejezetben található.
Legyen .
Legyen amint .
Legyen amint .
Legyen .
Legyen amint .
Az M&M adathalmazban jelölje a piros cukorkák számát, pedig az összes cukorka számát. Határozzuk meg az alábbi valószínűségi változók empirikus súlyfüggvényét:
A Kabóca adathalmazban jelölje a nemet, az alfajt, pedig a grammban kifejezett testtömeget. Határozzuk meg a következő valószínűségi változók empirikus súlyfüggvényét: