]> Keverék eloszlások
  1. Virtual Laboratories
  2. 2. Eloszlások
  3. 1
  4. 2
  5. 3
  6. 4
  7. 5
  8. 6
  9. 7
  10. 8

3. Keverék eloszlások

Általános elmélet

Kiindulási pontunk, mint általában, most is egy véletlen kísérlet a hozzá tartozó Ω valószínűségi mezővel és az azon értelmezett valószínűségi mértékkel. Ebben a fejezetben kétféle keverék eloszlást fogunk tanulmányozni: az egyik esetben az eloszlás részben diszkrét, részben folytonos, a másik esetben az eloszlásnak van diszkrét és folytonos koordinátája is.

Kevert típusú eloszlások

Legyen X egy, a kísérletünktől függő, S n értékű valószínűségi változó. Ekkor X -et kevert típusú eloszlásúnak nevezzük, ha S felosztható két részhalmazra, D -re és C -re úgy, hogy:

  1. D megszámlálható, és 0 X D 1 .
  2. X x 0 minden x C -re.

Tehát X eloszlása részben néhány D -beli pontra koncentrálódik, részben pedig folytonosan elkent C -n. Az alábbi képen a világoskék felhő jelképezi a folytonos részt, a sötétkék pontok pedig azok, amelyeket X pozitív valószínűséggel vesz fel.

A mixed distribution

Legyen p X D , tehát 0 p 1 . Definiálhatunk D -n egy parciális valószínűségi súlyfüggvényt, ami az eloszlás diszkrét részét írja le:

Legyen g x X x , amint x D . Igazoljuk, hogy

  1. g x 0 , amint x D ,
  2. x D g x p ,
  3. X A x A g x , ahol A D tetszőleges részhalmaz.

Ugyanígy, az eloszlás folytonos részét általában egy parciális valószínűségi sűrűségfüggvénnyel jellemzik. Tegyük fel, hogy létezik C -n egy h nemnegatív függvény, hogy

X A x A h x  amint  A C .

Igazoljuk, hogy x C h x 1 p .

X eloszlását meghatározzák a g és h parciális súly- és sűrűségfüggvények. Terjesszük ki a g és h függvényeket S -re a szokásos módon: g x 0 ha x C , és h x 0 ha x D .

Igazoljuk, hogy

X A x A g x x A h x ,  A S .
A mixed distribution

A D -n vett feltételes eloszlás diszkrét, a C -n vett feltételes eloszlás pedig folytonos.

Igazoljuk, hogy X feltételes eloszlása, feltéve, hogy X D diszkrét, és a valószínűségi súlyfüggvénye

f x X D g x p ,  x D .

Igazoljuk, hogy X feltételes eloszlása, feltéve, hogy X C folytonos, és a valószínűségi sűrűségfüggvénye:

f x X C h x 1 p ,  x C .

Tehát X eloszlása diszkrét és folytonos eloszlások keveréke. Az ilyen keverékekről részletesebben a feltételes eloszlások részben olvashatunk.

Csonkolt változók

Keverék eloszlás akkor is létrejön, ha egy folytonos eloszlású valószínűségi változót egy bizonyos módon csonkolunk. Például legyen T 0 egy alkatrész élettartama, amely folytonos eloszlású f sűrűségfüggvénnyel. Az alkatrész időtartamának tesztelésénél nem várhatunk örökké, ezért választunk egy pozitív a konstanst, és igazából a T -nek az a -ban vett csonkoltját figyeljük meg (jelölje ezt U ):

U T T a a T a .

Igazoljuk, hogy U keverék eloszlású. Pontosabban bizonyítsuk, hogy a fenti jelöléssel:

  1. D a és g a t a f t ,
  2. C 0 a és h t f t amint t 0 a .

Tegyük fel, hogy az X valószínűségi változó folytonos eloszlású -en, és a sűrűségfüggvénye f . Ekkor előállíthatunk egy új, Y valószínűségi változót úgy, hogy X -et csonkoljuk a -ban és b -ben ( a b ):

Y a X a X a X b b X b .

Igazoljuk, hogy Y keverék eloszlású. Pontosabban lássuk be, hogy

  1. D a b , g a x a f x , g b x b f x ,
  2. C a b és h x f x amint x a b .

Valószínűségi változók vegyes eloszlású koordinátákkal

Legyenek X és Y a kísérletünktől függő valószínűségi változók úgy, hogy X S értékű, diszkrét eloszlású, míg Y T n értékű folytonos eloszlású.

Igazoljuk, hogy X Y x y 0 amint x y S T . Tehát X Y folytonos eloszlású S T -en.

Ilyenkor persze az X Y párnak nincs klasszikus értelemben vett sűrűségfüggvénye, mégis az alábbi, S T -en értelmezett f függvényt valamilyen értelemben nevezhetjük annak:

X Y A B x A y B f x y ,  A B S T .

Általánosabban C S T -re és x S -re definiáljuk a C x -ben vett szeletét: C x y T x y C . Igazoljuk, hogy

X Y C x S y C x f x y ,  C S T .

Precízen ezt az f függvényt is nevezhetjük az X Y pár S T halmazon vett sűrűségfüggvényének: ekkor az a mérték, amelyre a sűrűségfüggvény vonatkozik, a számlálómérték S -en, és az n -dimenziós n Lebesgue mérték T -n.

Vegyes eloszlású koordinátákkal rendelkező valószínűségi változók az alkalmazásokban gyakran felmerülnek. Például a kabóca adathalmazban 4 folytonos és 2 diszkrét változó írja le egy kabóca adatait, ugyanígy az M&M adathalmazban 6 diszkrét és 1 folytonos eloszlással találkozunk. További gyakori példa, ha egy folytonos eloszlású változó diszkrét paraméterét véletlenítjük, vagy hasonlóan, egy diszkrét eloszlás folytonos paraméterét véletlenítjük.

Példák, alkalmazások

Tegyük fel, hogy X 12 valószínűséggel egyenletes eloszlású az 1 2 8 halmazon, 12 valószínűséggel pedig a 0 10 intervallumon. Mennyi X 6 ?

Tegyük fel, hogy az X Y pár 13 valószínűséggel egyenletes eloszlású a 0 1 2 2 halmazon, 23 valószínűséggel pedig a 0 2 2 tartományon. Mennyi Y X ?

Egy bizonyos alkatrész élettartamát jelölő T valószínűségi változó (1000 órákban mérve) exponenciális eloszlású f t t ,  t 0 sűrűségfüggvénnyel. Az élettartam vizsgálatát legfeljebb 2000 óráig folytatjuk, a vizsgált élettartam legyen U (azaz U csonkolt eloszlású). Határozzuk meg a következőket:

  1. U 1 ,
  2. U 2 .

Legyen

f x y 13 x 1 ,  0 y 1 16 x 2 ,  0 y 2 19 x 3 ,  0 y 3 .
  1. Igazoljuk, hogy f egy vegyes eloszlású koordinátákkal rendelkező eloszlás (fenti értelemben vett) sűrűségfüggvénye, ahol S 1 2 3 és T 0 3
  2. Mennyi X 1 Y 1 ?

Legyen f p k 6 3 k p k 1 1 p 4 k amint k 0 1 2 3 és p 0 1 .

  1. Igazoljuk, hogy f egy keverék eloszlás sűrűségfüggvénye (a fent definiált értelemben).
  2. Határozzuk meg V 12 X 2 értékét, ahol V X egy olyan véletlen vektor, melynek sűrűségfüggvénye f .

A feltételes eloszlások részben látni fogjuk, hogy az előző feladatban tekintett eloszlás a következő X változó eloszlása: választunk egy véletlen V számot, majd tekintünk egy olyan érmét, amely V valószínűséggel mutat fejet. Ezt az érmét feldobjuk háromszor, és a dobott fejek számát X -szel jelöljük.

Az M&M adathalmazban legyen N a cukorkák száma, W pedig a (grammban mért) nettó tömeg. Határozzuk meg az N W pár empirikus sűrűségfüggvényét!