]>
Ebben az alfejezetben a kétmintás normál modellben és a kétváltozós normál modellben fogjuk a hipotézisvizsgálatot tanulmányozni. Ez az alfejezet megfelel a Becslés a kétmintás normál modellben alfejezetnek az Intervallumbecslés fejezetben.
Tegyük fel, hogy egy elemű véletlen minta a normális eloszlásból várható értékkel és szórással, és hogy egy elemű véletlen minta a normális eloszlásból várható értékkel és szórással. Továbbá tegyük fel, hogy az és minták függetlenek.
Ez a szituáció gyakran fellép, amikor a valószínűségi változók a populáció objektumainak minket érdeklő mérőszámait reprezentálják, és a mintákat két különböző eljárásnak vetettük alá. Például páciensek egy csoportjának a vérnyomása érdekel minket. Az vektor a kontrolcsoport vérnyomásadatait tartalmazza, míg az vektor azok vérnyomásadatait tartalmazza, akik egy új gyógyszert kapnak. Hasonlóan, a kukorica hozama érdekel minket. Az vektor tartalmazza a hozamadatokat, ahol a minta az egyik féle műtrágyát kapta, míg az vektor egy más műtrágyát kapott minta adatait tartalmazza.
Rendszerint a két mintaeloszlás paramétereinek (az átlagok vagy a szórások) összehasonlítása a célunk. Ebben az alfejezetben próbákat fogunk konstruálni a szórásnégyzetek hányadosára és az átlagok különbségére. Ahogy a korábban tanulmányozott becslési problémák esetén is, az eljárás változik attól függően, hogy mely paraméterek ismertek vagy ismeretlenek. Az eddigieknek megfelelően a próbák konstruálásában kulcselemek a mintaközép és a minta szórásnégyzet és ezen statisztikák speciális tulajdonságai, mikor a mintavételezett eloszlás normális.
A következő jelöléseket fogjuk használni egy általános minta esetén; pedig egy valós szám:
Először a szórásnégyzetek hányadosára, -re vonatkozó próbákat vizsgálunk azon feltételezés mellett, hogy a és várható értékek ismertek. Természetesen általában ez egy nem valószerű feltételezés, de jó kiindulási pont, mivel a vizsgálat elég egyszerű. Az alap próbafüggvényünk:
ahol a szórásnégyzetek hányadosának a sejtett értéke.
Mutassuk meg, hogy eloszlású szabadságfokkal a számlálóban és szabadságfokkal a nevezőben!
Most és és , jelölje a -ed rendű kvantilist az eloszlásra szabadságfokkal a számlálóban és szabadságfokkal a nevezőben. , és kiválasztott értékeire kiszámítható a kvantilis applettel vagy megkapható a legtöbb statisztikai szoftvercsomagból.
Mutassuk meg, hogy a következő próbák szignifikancia szintje α:
A 2. feladatban szereplő próbák mindegyike esetén mutassuk meg, hogy -t szignifikancia szinten akkor és csak akkor fogadjuk el, ha a kapcsolódó szintű konfidencia intervallumba esik!
A következőkben a szórásnégyzetek hányadosára, -re vonatkozó próbákat vizsgálunk azon valószerűbb feltevés mellett, hogy a és várható értékek ismeretlenek. Ebben az esetben a próbafüggvényünk
ahol a szórásnégyzetek hányadosának a sejtett értéke.
Mutassuk meg, hogy eloszlású szabadságfokkal a számlálóban és szabadságfokkal a nevezőben!
Mutassuk meg, hogy a következő próbák szignifikancia szintje α:
Az 5. feladatban szereplő próbák mindegyike esetén mutassuk meg, hogy -t szignifikancia szinten akkor és csak akkor fogadjuk el, ha a kapcsolódó szintű konfidencia intervallumba esik!
A következőkben a várható értékek különbségére, -re vonatkozó próbákat vizsgálunk azon feltételezés mellett, hogy a és szórások ismertek. Ez újfent nem valószerű feltételezés, de jó kiindulópont, mivel a vizsgálat elég egyszerű. Az alap próbafüggvényünk:
ahol a várható értékek különbségének sejtett értéke.
Mutassuk meg, hogy normális eloszlású várható értékkel és 1 szórásnégyzettel!
Szokás szerint esetén jelölje a standard normális eloszlás -ed rendű kvantilisét. kiválasztott értékeire megkapható a eloszlás táblázat utolsó sorából, a standard normális eloszlás táblázatból, a kvantilis appletből vagy a legtöbb statisztikai szoftvercsomagból. Szimmetria okok miatt .
Mutassuk meg, hogy a következő próbák szignifikancia szintje :
A 8. feladatban szereplő próbák mindegyikére mutassuk meg, hogy -t szignifikancia szinten akkor és csak akkor fogadjuk el, ha a kapcsolódó szintű konfidencia intervallumba esik!
Végül a várható értékek különbségére, -re vonatkozó próbákat vizsgálunk azon reálisabb feltételezés mellett, hogy a és szórások ismeretlenek. Ebben az esetben nehezebb megfelelő próbafüggvényt találni, de elvégezhetjük az elemzést abban a speciális esetben, mikor a szórások megegyeznek. Így feltételezzük, hogy , és a közös érték, , ismeretlen. Ez a feltételezés elfogadható, ha a mért változók olyan belső változékonysággal rendelkeznek, ami nem módosul akkor sem, ha különböző eljárásoknak vetjük alá a populáció objektumait. Idézzük fel, hogy a közös szórásnégyzet összesített becslése
A próbafüggvényünk
Mutassuk meg, hogy eloszlású szabadságfokkal!
Szokás szerint és esetén jelölje a -ed rendű kvantilist a szabadságfokú eloszlásra. és kiválasztott értékeire értékét megkaphatjuk a Student-féle eloszlás táblázatból, a kvantilis appletből vagy a legtöbb statisztikai szoftvercsomagból. Szimmetria okok miatt .
Mutassuk meg, hogy a következő próbák szignifikancia szintje :
A 11. feladatban szereplő próbák mindegyikére mutassuk meg, hogy -t szignifikancia szinten akkor és csak akkor fogadjuk el, ha a kapcsolódó szintű konfidencia intervallumba esik!
Ebben az alfejezetben olyan modellt vizsgálunk, ami látszólag hasonló a kétmintás normál modellhez, de valójában sokkal egyszerűbb. Tegyük fel, hogy
egy elemű véletlen minta az kétváltozós normális eloszlásból , , , , és jellemzőkkel.
Így mintapár helyett páros minta áll rendelkezésünkre. Ez a típusú modell gyakran fellép előtte és utána kísérletekben, ahol egy populáció objektumáról gyűjtünk adatokat egy eljárás előtt és után. Például páciens vérnyomás adatait jegyezzük fel egy bizonyos gyógyszer használata előtt és után.
A szokásos jelöléseket fogjuk használni és mintaközepére és szórásnégyzetére. Emlékezzünk vissza, az minta kovarianciája
Mutassuk meg, hogy egy elemű véletlen minta eloszlásából, ami normális eloszlású a következő paraméterekkel:
Mutassuk meg, hogy
Az különbségekből vett minta illeszkedik az egyváltozós normál modellhez. A Hipotézisvizsgálat a normál modellben részben leírtak felhasználhatók próbák végrehajtásához a paraméterekre.
Egy új orvosságot fejlesztenek a vér bizonyos vegyi anyagának csökkentésére. Páciensek egy 36 fős mintája placebot kap, míg egy 49 fős minta a gyógyszert kapja. A statisztikák (mg-ban) a következők: , , , . Teszteljük a következőket 10%-os szignifikancia szinten:
Egy cég azt állítja, hogy egy bizonyos növényi táplálékkiegészítő növeli az intelligenciát. Egy 25 főből álló minta standard IQ-tesztet végzett a kiegészítő használata előtt és után. A kísérlet előtti és utáni statisztikák , , , , . 10%-os szignifikancia szinten hihető-e a cég állítása?
A Fisher írisz adatok esetén vizsgáljuk a szirmok hosszát a Versicolor és Virginica mintákra. Teszteljük a következőket 10%-os szignifikancia szinten:
Egy üzem két gépe körkeresztmetszetű rudakat gyárt, melyek átmérője (cm-ben) kritikus. Az első gépről való 100 elemű mintára az átlag 10,3 és a szórás 1,2. A második gépről való 100 elemű mintára az átlag 9,8 és a szórás 1,6. Teszteljük a következő hipotéziseket 10%-os szinten!