]>
Tegyük fel, hogy egy véletlen minta a Bernoulli eloszlásból ismeretlen sikerparaméterrel. Így ezek független valószínűségi változók, amik az 1 illetve a 0 értéket vehetik fel illetve valószínűséggel. Emlékezzünk vissza, hogy a Bernoulli eloszlás várható értéke és szórásnégyzete és .
Ez a modell rendszerint a következő esetek valamelyikében merül fel:
Ebben a részben -re fogunk konfidencia intervallumot készíteni. Egy kapcsolódó alfejezet a témáról Hipotézisvizsgálat a Bernoulli modellben a Hipotézisvizsgálat fejezetben. Jegyezzük meg, hogy az adatvektorunk mintaátlaga
az érdeklődésre számot tartó objektumok aránya a mintában. A centrális határeloszlás tétel szerint a
standardizált változó közelítőleg normális eloszlású, és így (közelítőleg) pivot változó -re. Adott mintanagyság esetén eloszlása közelebb van a normálishoz, amikor közel van -hez, és messzebb van a normálistól, amikor közel van 0-hoz vagy 1-hez (szélsőérték). Mivel a pivot változó (közelítőleg) normális eloszlású, -re vonatkozó konfidencia intervallum konstruálása ebben a modellben hasonló a konfidencia intervallum -re a normál modellben konstruálásához.
Szokás szerint esetén jelölje a standard normális eloszlás -ed rendű kvantilisét. kiválasztott értékeire a értékek megkaphatók a -eloszlás táblázat utolsó sorából, a standard normális eloszlás táblázatából, a kvantilis appletből vagy a legtöbb statisztikai szoftvercsomagból.
Használjuk a pivot változót, hogy megmutassuk, hogy tetszőleges és esetén egy közelítőleg szintű konfidencia halmaz -re:
Szokás szerint, az szignifikancia szint aránya a pivot változó eloszlásának jobb farkában, és az szignifikancia szint aránya a pivot változó eloszlásának bal farkában.
Használjuk a másodfokú egyenlet megoldóképletét, hogy megmutassuk, hogy az 1. feladatban szereplő konfidencia halmaz valójában egy intervallum, aminek alakja , ahol
Szokás szerint, a legfontosabb speciális esetek az egyenlő-farkú szintű konfidencia intervallum, amit esetén kapunk, az szintű felső konfidencia korlát, amit esetén kapunk, és az szintű alsó konfidencia korlát, amit esetén kapunk.
Egy egyszerűsített közelítő szintű konfidencia intervallumot kaphatunk -re, ha a eloszlásparamétert kicseréljük az pontbecslésre az 1. feladat egyenlőtlenségében:
Mutassuk meg, hogy szintű közelítő alsó konfidencia korlát -re:
Mutassuk meg, hogy szintű közelítő felső konfidencia korlát -re:
Mutassuk meg, hogy az 1. feladatban szereplő kétoldali szintű konfidencia intervallumok közül a legkisebb hosszúságú az egyenlő-farkú intervallum, amit estén kapunk:
Jegyezzük meg, hogy az intervallum szimmetrikus -re, de az intervallum hossza és a középpontja is véletlen. Ez a kétoldali intervallum az általában használatos.
Használjuk az aránybecslés kísérlet szimulációját az eljárás megismerésére! Használjunk különböző értékeket, különböző konfidencia szintet, mintanagyságot és intervallumtípust! Minden beállítás esetén futtassuk ezerszer a kísérletet, tízes frissítési gyakorisággal, és figyeljük meg, hogy a sikeres intervallumok aránya milyen jól közelíti az elméleti konfidencia szintet!
Mutassuk meg, hogy a Bernoulli eloszlás szórásnégyzete maximális, mikor , és így a maximális szórásnégyzet .
Használjuk a pivot változót, hogy megmutassuk, hogy tetszőleges és tetszőleges esetén konzervatív, szintű konfidencia intervallum -re:
Mutassuk meg, hogy konzervatív, szintű alsó konfidencia korlát -re:
Mutassuk meg, hogy konzervatív, szintű felső konfidencia korlát -re:
Mutassuk meg, hogy a 8. feladatban szereplő kétoldali szintű konfidencia intervallumok közül a legkisebb hosszúságú az egyenlő-farkú intervallum, amit esetén kapunk:
Jegyezzük meg, hogy az intervallum szimmetrikus -re és az intervallum hossza determinisztikus. Ez a konzervatív kétoldali intervallum az általában használatos. Természetesen a konzervatív konfidencia intervallumok nagyobbak, mint a közelítő konfidencia intervallumok. A konzervatív becslés felhasználható a kísérlet megtervezésére.
Mutassuk meg, hogy mintanagyságú konzervatív becslés szükséges becsléséhez konfidencia szinttel és hibahatárral, ahol kétoldali intervallum esetén és felső vagy alsó konfidencia korlát esetén:
Egy bizonyos körzetben 1000 regisztrált szavazó közül 427 preferálta az X jelöltet. Konstruáljuk meg a 95%-os kétoldali konfidencia intervallumot, hogy az összes regisztrált szavazó milyen hányada preferálja X-et!
Egy pénzérmét feldobtunk 500-szor és 302 fej lett. Konstruáljuk meg a 95%-os alsó konfidencia korlátot a fejek valószínűségére! Hihető, hogy az érme szabályos?
Egy gyártósornál 400 memória chipet teszteltek, és 30 hibás volt. Konstruáljuk meg a 90%-os konzervatív kétoldali konfidencia intervallumot a hibás chipek arányára!
Egy gyógyszergyár becsülni akarja azok arányát, akik egy bizonyos új szer esetén kedvezőtlen reakciót mutatnak. A gyár kétoldali konfidencia intervallumot akar 95%-os konfidencia szinttel és 0,03 hibahatárral. Milyen nagy legyen a minta?
Egy hirdetési ügynökség 99%-os alsó konfidencia korlátot akar konstruálni azon fogorvosok arányára, akik ajánlanának egy új fogkrémet. A hibahatár legyen 0,02. Milyen nagy legyen a minta?
A Buffon kísérlet adathalmaz tartalmazza a Buffon-féle tű kísérlet 104 ismétlésének eredményét. Elméletileg az adatoknak meg kéne felelni egy Bernoulli-féle kísérletnek paraméterrel, de mivel emberek végezték a kísérletet, igazi értéke ismeretlen. Konstruáljunk 95%-os konfidencia intervallumot -re! Hihető, hogy az elméleti érték?