]> Momentumok módszere
  1. Virtual Laboratories
  2. 6. Pontbecslések
  3. 1
  4. 2
  5. 3
  6. 4
  7. 5
  8. 6

2. Momentumok módszere

A módszer

Tekintsünk egy alap véletlen kísérletet egy megfigyelhető, valós értékű X valószínűségi változóval. Az X eloszlásának k ismeretlen paramétere van, vagy egy θ θ 1 θ 2 θ k paramétervektora, ami a Θ k paramétertérbeli értékeket vesz fel. Szokásos módon megismételjük a kísérletet n -szer, hogy előállítsunk egy n elemű véletlen mintát X eloszlásából.

X X 1 X 2 X n

Így X független valószínűségi változók sorozata, amelyek eloszlása X eloszlása. A momentumok módszere egy módszer a paraméterek becsléseinek megkonstruálására, amik a minta momentumainak és az eloszlás momentumainak megfeleltetésén alapulnak. Legyen

μ i θ θ X i ,  i 1 2 k

így μ i θ az X i -edik momentuma 0 körül. Jegyezzük meg, hogy hangsúlyoztuk ezen momentumok függését a θ paramétervektortól. μ 1 θ egyszerűen X várható értéke, amit rendszerint egyszerűen μ -vel jelölünk. A következőkben, legyen

M i X 1 n j 1 n X j i ,  i 1 2 k

így M i X a minta i -edik momentuma 0 körül. Hasonlóan, M i X az X 1 i X 2 i X n i minta mintaátlaga az X i eloszlásból. Kihangsúlyoztuk a mintamomentumok függését az X mintától. Megjegyezzük, hogy M 1 X a mintaátlag, amit egyszerűen M X -el jelölünk.

Az eddigiekből tudjuk, hogy M i X a μ i θ torzítatlan és konzisztens becslése minden i -re. Így a θ 1 θ 2 θ k paraméterekre vonatkozó W 1 W 2 W k becslések megkonstruálásához a

μ i W 1 W 2 W k M i X 1 X 2 X n ,  i 1 2 k szimultán egyenletrendszert kell megoldanunk

W 1 W 2 W k -ra X 1 X 2 X n függvényében. Figyeljük meg, hogy k egyenletünk van k ismeretlennel; van remény, hogy az egyenletek megoldhatók.

Az átlag és a szórásnégyzet becslése

Tegyük fel, hogy X X 1 X 2 X n egy n elemű véletlen minta egy eloszlásból ismeretlen μ átlaggal és σ 2 szórásnégyzettel. Mutassuk meg, hogy a momentumok módszerével kapott becslések μ -re és σ 2 -re

M 1 n i 1 n X i ,  T 2 1 n i 1 n X i M 2

Természetesen M a hétköznapi mintaátlag, de T 2 n 1 n S 2 , ahol S 2 a szokásos korrigált tapasztalati szórásnégyzet. A fejezet hátralévő részében összehasonlítjuk az S 2 és T 2 becsléseket. Emlékezzünk vissza, hogy S 2 torzítatlan és konzisztens S 2 1 n d 4 n 3 n 1 σ 4 szórásnégyzettel.

Mutasssuk meg, hogy bias T 2 σ 2 n . Így T 2 negatívan torzított, tehát általában alulbecsli σ 2 -et.

Mutassuk meg, hogy T 2 aszimptotikusan torzítatlan!

Jelölje d 4 X μ 4 a negyedik centrális momentumot. Mutassuk meg, hogy

MSE T 2 n 1 2 n 3 d 4 n 3 n 1 σ 4 σ 4 n 2

Mutassuk meg, hogy T 2 aszimptotikus relatív hatékonysága S 2 -hez viszonyítva 1!

Tegyük fel, hogy a mintaeloszlás normális, így d 4 3 σ 4 . Mutassuk meg, hogy ebben az esetben

  1. MSE T 2 2 n 1 n 2 σ 4
  2. MSE S 2 2 n 1 σ 4
  3. MSE T 2 MSE S 2 n 2 3 esetén

Így S 2 és T 2 egymás többszörösei; S 2 torzítatlan, de legalábbis ha a mintaeloszlás normális, T 2 átlagos négyzetes hibája kisebb. A következőkben idézzük fel, hogy a (mesterséges) feltételezés mellett, hogy μ ismert, σ 2 természetes becslése

W 2 1 n i 1 n X i μ 2

Továbbá W 2 torzítatlan és konzisztens W 2 d 4 σ 4 n szórásnégyzettel. Meglepő módon, ha a mintaeloszlás normális, akkor T 2 átlagos négyzetes hibája még W 2 -énél is kisebb.

Tegyük fel ismét, hogy a mintaeloszlás normális. Mutassuk meg, hogy

  1. MSE W 2 2 σ 4 n
  2. MSE T 2 MSE W 2 n 2 3 esetén

Futtassuk a normális eloszlás becslése kísérletet ezerszer, tízes frissítési gyakorisággal, az n mintanagyság és a μ és σ paraméterek különböző értékeire! Hasonlítsuk össze S 2 és T 2 empirikus torzítását és átlagos hibáját az elméleti értékeikkel! Melyik becslés jobb a torzítást tekintve? Melyik becslés jobb az átlagos négyzetes hibát tekintve?

Van néhány fontos egyparaméteres eloszláscsalád, amelyekre a paraméter a várható érték, ilyen például a Bernoulli eloszlás p paraméterrel és a Poisson eloszlás a paraméterrel. Ezekre a családokra a paraméter momentumok módszerével nyert becslése az M mintaközép. Hasonlóképpen a normális eloszlás paraméterei, a μ várható érték és a σ 2 szórásnégyzet, így a momentumok módszerével kapott becslések M és T 2 .

További feladatok

Tegyük fel, hogy X X 1 X 2 X n egy k alak- és b skálaparaméterű gamma eloszlású véletlen minta. Mutassuk meg, hogy k és b momentumok módszerével nyert becslései:

U M 2 T 2 ,  V T 2 M

Futassuk a gamma becslés kísérletet ezerszer, tízes frissítési gyakorisággal, néhány különböző n mintanagyságra, k alak- és b skálaparaméterre! Figyeljük meg az U és V becslések empirikus torzítását és átlagos négyzetes hibáját!

Tegyük fel, hogy X X 1 X 2 X n egy n elemű a bal- és 1 jobb-paraméterű béta eloszlású véletlen minta. Mutassuk meg, hogy a momentumok módszerével kapott becslése:

U M 1 M .

Futtassuk a béta becslés kísérletet ezerszer, tízes frissítési gyakorisággal, néhány különböző n mintanagyságra és a paraméterre! Figyeljük meg az U becslés empirikus torzítását és átlagos négyzetes hibáját!

Tegyük fel, hogy X X 1 X 2 X n egy n elemű a 1 alakparaméterű Pareto eloszlású véletlen minta. Mutassuk meg, hogy a momentumok módszerével kapott becslése:

U M M 1 .

Futtassuk a Pareto becslés kísérletet ezerszer, tízes frissítési gyakorisággal, néhány különböző n mintanagyságra és a paraméterre! Figyeljük meg az U becslés empirikus torzítását és átlagos négyzetes hibáját!

  1. Virtual Laboratories
  2. 6. Pontbecslések
  3. 1
  4. 2
  5. 3
  6. 4
  7. 5
  8. 6