]>
Ebben a fejezetben a korábbiaknál kicsit mélyebb fogalmakkal ismerkedünk meg. Azonban ezek is nagyon fontosak, speciálisan a következő témákhoz elengedhetetlenek:
Az Alapokat tárgyaló fejezet Részben rendezés című részéből fogunk használni néhány alapfogalmat. Mint általában, a kiindulási pontunk egy eseménytér, azon egy valószínűségi mérték, és egy véletlen kísérlet.
Események egy sorozatát növekvőnek nevezzük, ha minden -re. Tehát az események növekvőek, a szokásos részben rendezésre nézve (egy halmaz nagyobb a valódi részhalmazainál). A növekvő kifejezést a megfelelő indikátor változókra is használhatjuk.
Legyen az esemény indikátor változója, amint . Igazoljuk, hogy az események pontosan akkor növekedők, ha a hozzájuk tartozó indikátor változók növekedőek a szokásos értelemben, azaz minden -re.
Ha növekvő események sorozata, akkor az uniójukat úgy is nevezhetjük, hogy a limeszük:
Mint az előbb, a limesz elnevezés az indikátor változókkal történő megfeleltetésből adódik:
Legyenek növekvő események, és legyen az esemény indikátor valószínűségi változója (), és jelölje az unió indikátor változóját. Igazoljuk, hogy
Általában egy függvényt akkor szokás folytonosnak nevezni, ha jól viselkedik a határértékek mentén. Ezért a következő feladatban bizonyítandó állítást úgy nevezik, hogy növekvő eseményekre vonatkozó folytonossági tétel:
Legyenek növekvő események. Igazoljuk, hogy
A következő feladat arra mutat rá, hogy tetszőleges események uniója felírható növekvő események uniójaként.
Legyen tetszőleges események sorozata. Igazoljuk, hogy
Legyen
az alapkísérletünktől függő esemény, melyre
.
Igazoljuk, hogy abban az összetett kísérletben, mely az alapkísérlet ismételgetéséből áll, annak a valószínűsége, hogy
valaha bekövetkezik
éppen 1.
Az eseménysorozatot csökkenőnek nevezzük, ha minden -re. Tehát az események csökkenőek a szokásos rendezésre (lásd fent) nézve. A csökkenő kifejezést a megfelelő indikátor változókra is használják:
Legyen az esemény indikátor valószínűségi változója (). Igazoljuk, hogy az események pontosan akkor csökkenőek, ha a megfelelő indikátor függvények csökkenőek a szokásos értelemben, azaz minden -re.
Ha csökkenő események sorozata, akkor a metszetüket úgy is nevezhetjük, hogy a limeszük:
Mint az előbb, a limesz elnevezés az indikátor változókkal történő megfeleltetésből adódik:
Tegyük fel, hogy csökkenő események. Legyen az esemény indikátor valószínűségi változója, amint , és legyen az események metszetének indikátor változója. Igazoljuk, hogy
A következő feladat állítása a csökkenő események folytonossági tétele:
Tegyük fel, hogy csökkenő események. Igazoljuk, hogy
A következő feladat arra mutat rá, hogy tetszőleges események metszete felírható csökkenő események metszeteként.
Legyn tetszőleges eseményeksorozata. Igazoljuk, hogy
Legyen tetszőleges események sorozata.
Igazoljuk, hogy csökkenő az függvényében.
Az előző csökkenő sorozat limesze, azaz metszete az eredeti sorozat limesz szuperiorja.
Igazoljuk, hogy az az esemény, amely pontosan akkor következik be, ha végtelen sok -re bekövetkezik!
Mint azt már megszokhattuk, az elnevezés az indikátor változókkal történő megfeleltetésből adódik:
Legyen az esemény indikátor valószínűségi változója (), és legyen az esemény indikátor változója. Igazoljuk, hogy
A csökkenő eseményekre vonatkozó folytonossági tétellel igazoljuk, hogy
A következő feladat állítása az első Borel-Cantelli lemma, amelyet Emil Borel-ről és Francessco Cantelli-ról neveztek el. Ez egy elégséges feltétel arra, hogy végtelen sok esemény 0 valószínűséggel következzen be.
Igazoljuk, hogy ha , akkor .
Legyen tetszőleges események sorozata.
Igazoljuk, hogy növekvő -ben!
Az előző növekvő sorozat limesze, azaz uniója az eredeti sorozat limesz inferiorja.
Igazoljuk, hogy az az esemény, amely pontosan akkor következik be, ha az véges sok kivételével bekövetkezik.
Mint azt már megszokhattuk, az elnevezés az indikátor változókkal történő megfeleltetésből adódik:
Legyen az esemény indikátor valószínűségi változója (), és legyen az esemény indikátor változója. Igazoljuk, hogy
A csökkenő eseményekre vonatkozó folytonossági tétel segítségével igazoljuk, hogy
Igazoljuk, hogy .
A De Morgan azonosság felhasználásával igazoljuk, hogy .
A következő feladat állítása a második Borel-Cantelli lemma, amely egy elégséges feltétel arra, hogy végtelen sok esemény 1 valószínűséggel következzen be.
Tegyük fel, hogy független események sorozata. Igazoljuk, hogy ha , akkor .
Legyen
egy az alapkísérlettől függő esemény, amelyre
.
Igazoljuk, hogy abban az összetett kísérletben, mely az alapkísérletünk ismételgetéséből áll, az
végtelen sokszor bekövetkezik
esemény egy valószínűségű!
Tegyük fel, hogy adott pénzérméknek egy természetes számokkal indexelt végtelen sorozata. Továbbá az -edik pénzérme feldobása után a fej valószínűsége minden -ra, ahol paraméter. Minden érmét feldobunk pontosan egyszer. függvényében határozzuk meg a következő események valószínűségét:
Tegyük fel, hogy
és
egy véletlen kísérlettel kapcsolatos valós értékű valószínűségi változók. Kétféleképp fogjuk definiálni azt, hogy az
sorozat konvergál
-hez amint
.
Ezek azért is nagyon fontos alapfogalmak, mert a valószínűségszámítás legizgalmasabb és legmélyebb tételei között szerepelnek a határeloszlás tételek.
Előként azt mondjuk, hogy , amint 1 valószínűséggel (vagy majdnem biztosan), ha
A valószínűségszámításban a lehető legerősebb állítás, ha azt mondjuk, hogy valami 1 valószínűségű. Épp ezért a majdnem biztos konvergencia a legerősebb konvergencia fogalom. Néha a majdnem biztos helyett majdnem mindenütt kifejezést használnak.
Másodszor, definíció szerint , amint valószínűségben, ha
A felszínes szemlélődőnek a valószínűségben kifejezés hasonló lehet az 1 valószínűséggel kifejezéshez. Azonban a valószínűségben való konvergencia sokkal gyengébb, mint a majdnem biztos konvergencia. Ezért az 1 valószínűséggel való konvergenciát szokás erős konvergenciának a valószínűségben való konvergenciát pedig gyenge konvergenciának nevezni. A következő feladatok a majdnem biztos konvergencia fogalmát járják körül. Jelölje a pozitív racionális számok halmazát; nagyon fontos, hogy ez a halmaz megszámlálható.
Igazoljuk, hogy az alábbi események ekvivalensek:
Az előző feladat felhasználásával igazoljuk, hogy az alábbiak ekvivalensek:
Az előző feladat (c) része és az első Borel-Cantelli lemma következményeként kapjuk a majdnem biztos konvergencia következő kritériumát:
Igazoljuk, hogy ha minden -ra, akkor amint 1 valószínűséggel.
A 25. feladat (c) részéből következik az alábbi állítás, amely a most tárgyalt témában az egyik legfontosabb eredményünk:
Igazoljuk, hogy ha amint 1 valószínűséggel, akkor amint valószínűségben.
Az előző állítás megfordítása nem igaz, erre egy példa a következő feladat.
Mint a 23. feladatban, tekintsünk végtelen sok számozott érmét. Minden -re az -edik érme feldobása után valószínűséggel mutat fejet. Az érmék mindegyikét feldobjuk, és a dobások eredményét feljegyezzük az sorozatba. Ezek nyilván független indikátor valószínűségi változók, amelyekre
A 27. feladat állításának megfordítása tehát nem igaz, azonban a következő állítás (ami gyengébb, mint a megfordítás, de bizonyos értelemben mégis annak tekinthető) gyakran nagyon hasznos.
Igazoljuk, hogy ha amint valószínűségben, akkor létezik egy természetes számokból álló sorozat, hogy amint 1 valószínűséggel.
Két további konvergencia típust fogunk még tárgyalni a későbbiekben, ezek a következők: