]> Függetlenség
  1. Virtual Laboratories
  2. 1. Valószínűségi mezők
  3. 1
  4. 2
  5. 3
  6. 4
  7. 5
  8. 6
  9. 7

5. Függetlenség

Kiindulási pontunk, mint általában, most is egy véletlen kísérlet egy S eseménytéren, és egy valószínűségi mérték. Ebben a fejezetben a függetlenséget tárgyaljuk, ami az egyik legfontosabb fogalom a valószínűségszámításban. Gyakran a függetlenség egyszerűsítő feltevés, azonban nagyon lényeges, hisz a valószínűségszámítás (mint látni fogjuk) leghasznosabb eredményei kísérletek független ismétléseivel kapcsolatosak.

Általános elmélet

A függetlenséget egyre bonyolultabb esetekben fogjuk definiálni: először két eseményre, majd tetszőlegesen sok eseményre, végül tetszőlegesen sok valószínűségi változóra. Azonban az alapötlet mindig ugyanaz.

Két esemény függetlensége

Az A és a B események függetlenek, ha

A B A B .

Ha mindkét esemény pozitív valószínűségű, akkor a függetlenség ekvivalens megfogalmazása: az egyik esemény másikra vonatkozó feltételes valószínűség megegyezik a feltétel nélküli valószínűségével.

A B A  pontosan akkor, ha   B A B  pontosan akkor, ha   A B A B .

Ez utóbbi definíció adja a függetlenség szemléletes jelentését: ha tudjuk, hogy az egyik esemény bekövetkezett, ez nem befolyásolja a másik bekövetkezésének esélyét.

Első közelítésben úgy tűnhet, hogy a független és a diszjunkt jelzők hasonló jelentéssel bírnak. Azonban ez távolról sincs így! A diszjunktság egy tisztán halmazelméleti, a függetlenség pedig egy mértékelméleti fogalom. Így előfordulhat, hogy két esemény egy bizonyos valószínűségi mérték szerint függetlenek, egy másik szerint viszont nem. De ami a legfontosabb különbség, hogy a triviális esettől (azaz ha legalább az egyik esemény nullmértékű) eltekintve diszjunkt események sosem függetlenek.

Legyenek A és B pozitív mértékű diszjunkt események. Igazoljuk, hogy A és B negatívan korreláltak, így nem függetlenek!

Ha A és B független események, akkor intuitívan világos, hogy minden, A segítségével előállított esemény független kell, hogy legyen minden, B segítségével előállított eseménytől. Ez valóban így van, amit a következő feladatban igazolhatunk.

Tegyük fel, hogy A és B független események. Igazoljuk, hogy az alábbi eseménypárok mindegyike független egymástól:

  1. A ,  B
  2. B ,  A
  3. A ,  B .

Legyenek A és B események. Igazoljuk, hogy

  1. ha A 0 vagy A 1 , akkor A és B függetlenek.
  2. A független saját magától pontosan akkor, ha A 0 vagy A 1 .

Események függetlensége

Ha ki akarjuk terjeszteni a függetlenség definícióját több eseményre, az egyik első ötlet, hogy a több esemény közül tetszőleges kettő páronkénti függetlenségét követeljük meg. A következő feladat arra mutat példát, hogy három eseménynél előfordulhat, hogy közülük bármelyik kettő független (azaz páronként függetlenek), azonban kettő segítségével előállítható olyan esemény, amely a lehető legjobban összefügg a harmadik eseménnyel.

A kísérletünk abból áll, hogy feldobunk két hagyományos, igazságos kockát, és feljegyezzük a dobott számokat. Legyen A az az esemény, hogy az első dobás hármas, B az az esemény, hogy a második dobás négyes, C pedig az az esemény, hogy a dobott számok összege 7.

  1. Igazoljuk, hogy az A , B és C események páronként függetlenek!
  2. Igazoljuk, hogy A B implikálja C -t (azaz C egy részhalmaza)!.

A kockadobás kísérletben állítsuk be az n 2 paraméterértéket, majd szimuláljunk 500 kísérletet! Az előző feladatban szereplő eseményekből kiválasztható összes esemény párra számítsuk ki a relatív gyakoriságok szorzatát és a metszet események relatív gyakoriságait! Hasonlítsuk össze a kapott értékeket!

Másik lehetséges javaslat a definíció általánosítására, hogy annyit követeljünk meg, hogy az események metszetének valószínűsége legyen egyenlő a valószínűségek szorzatával. Azonban ez sem vezet a jó fogalomhoz, ahogy ezt a következő példa szemlélteti

Feldobtunk egy igazságos kockát. Legyen A 1 2 3 4 , B C 4 5 6 .

  1. Igazoljuk, hogy A B C A B C .
  2. Azonban B és C ugyanaz az esemény, tehát a lehető legjobban összefüggnek egymással.

A két esemény függetlenségére adott definíció mégis természetesen általánosítható több eseményre: események egy A családját függetlennek nevezzük, ha tetszőleges A 1 A 2 A k A részhalmazra

i 1 k A i i 1 k A i .

Események függetlensége (azaz az előbb definiált fogalom) sokkal erősebb tulajdonság, mint a páronkénti függetlenség. A következő feladatban igazolt öröklődési tulajdonság lényegében ekvivalens a definícióval.

Legyen A események egy családja. Lássuk be a következő állításokat!

  1. Ha A független, akkor B is független minden B A részhalmazra.
  2. Ha minden B A véges részhalmazra B független, akkor A is független.

Igazoljuk, hogy n darab esemény függetlenségéhez 2 n n 1 darab nemtriviális feltétel teljesülése szükséges.

  1. Expliciten adjuk meg azt a 4 feltételt, amely ahhoz szükséges, hogy az A , B és C események függetlenek legyenek!
  2. Expliciten adjuk meg azt a 11 feltételt, amely ahhoz szükséges, hogy az A , B , C és D események függetlenek legyenek!

Ha események egy véges A 1 A 2 A n családja független, akkor nyilván

i 1 n A i i 1 n A i .

Ezt nevezik a független események szorzási szabályának. Hasonlítsuk ezt össze a feltételes valószínűségekkel felírt általános szorzási szabállyal!

Igazoljuk, hogy a lényegében determinisztikus események D A S A 0 A 1 halmaza független!

Legyenek A , B , C és D független események. Igazoljuk, hogy A B és C D függetlenek!

Hasonlítsuk össze az előző feladatot a 2. feladattal! A két eseményre vonatkozó eredmény általánosítása egy kicsit bonyolultabb, de nagyjából a következőt mondhatjuk: legyen A független események családja és A i i I páronként diszjunkt részhalmazai A -nak (itt I indexhalmaz). Vagyis A i A minden i -re és A i A j minden különböző i -re és j -re. Tegyük fel, hogy minden i I -re konstruálunk egy A i eseményt az A i -beli események felhasználásával megszámlálható sok halmazművelettel. Ekkor az A i i I események családja is független.

A következő formula független események uniójának valószínűségére lényegesen egyszerűbb, mint a szitaformula.

Tegyük fel, hogy A 1 A 2 A n független események véges halmaza. Igazoljuk, hogy

i 1 n A i 1 i 1 n 1 A i .

Tegyük fel, hogy A független, azonos valószínűségű események családja. Igazoljuk, hogy ekkor A felcserélhető. Az állítás megfordítása nem igaz, ellenpélda a Pólya féle urnamodell.

Valószínűségi változók függetlensége

Legyen X i T i értékű valószínűségi változó minden i -re a nem üres I indexhalmazban. Szemléletesen a valószínűségi változóink akkor függetlenek, ha néhányuk realizációinak ismerete nem szolgáltat plusz információt a többire nézve. Precízebben, a változók függetlenségét visszavezethetjük bizonyos események függetlenségére. Tehát formálisan azt mondjuk, hogy a X i i I valószínűségi változók halmaza független, ha minden, az alábbi típusú esemény család független:

X i B i i I  ahol   B i T i  amint   i I .

Vagy ami ezzel ekvivalens, a valószínűségi változók fenti halmaza független, ha I minden véges J részhalmazára, és minden B j T j , j J választással

j J X j B j j J X j B j .

Legyen A valószínűségi változók egy halmaza. Igazoljuk, hogy

  1. ha A független, akkor B is független minden B A részhalmazra!
  2. ha minden B A véges részhalmaz független, akkor A is független!

Tegyük fel, hogy X i i I mint előbb, független valószínűségi változók halmaza és minden i I -re g i egy T i -ből U i -be képező függvény. Igazoljuk, hogy g i X i i I szintén független!

Igazoljuk, hogy események egy A halmaza pontosan akkor független, ha a hozzájuk tartozó indikátor változók A A A halmaza független.

Sok, eddig informálisan használt fogalmat precízzé tehetünk a függetlenség definíciójának ismeretében. Például egy független részekből álló összetett kísérlet valójában egy olyan kísérlet, melynek kimenetele független valószínűségi változók egy X 1 X 2 sorozata, ahol X i az i -edik részkísérlet kimenetele.

Speciálisan, tekintsünk egy véletlen kísérletet, és a kimenetelét leíró X valószínűségi változót. Ekkor azon összetett kísérlet kimenetele, mely az előző véletlen kísérletünk többszöri, egymástól független megismétléséből áll, jelölhető az X X 1 X 2 vektorral, mely minden koordinátája X -szel azonos eloszlású. Az ilyen összetett kísérletek szoros összefüggésben vannak az események valószínűségének definíciójával (erre világít rá a nagy számok törvénye). Tegyük fel, hogy adott egy populáció (vagy más szóval sokaság), amely egy tagjának számunkra fontos paraméterét X jelöli. Ekkor a fent definiált X sorozat épp az X eloszlásából vett minta, azaz X i a populációból kiválasztott i -edik egyed paraméterértéke. Véges populációból vett visszatevéses mintavételezés esetén a kapott valószínűségi változók függetlenek lesznek, míg visszatevés nélküli mintavételezés esetén összefüggők.

Feltételes függetlenség

Ahogy már korábban említettük, az, hogy események vagy valószínűségi változók függetlenek-e, múlik azon is, hogy milyen valószínűségi mértéket tekintünk. Legyen például B egy pozitív valószínűségű esemény. Ekkor azt mondjuk, hogy események, vagy valószínűségi változók családja feltételesen független, feltéve, hogy B bekövetkezik, ha független a A A B feltételes valószínűségi mértékre nézve. Természetesen a közölt definíciók és állítások értelemszerű módosítással érvényesek a B -re vonatkozó feltételes függetlenség esetén is.

A feltételes valószínűség szemléltetése

A következő feladatok a feltételes valószínűség szemléltetését szolgálják. Tegyük fel, hogy adott egy alapkísérlet az S eseménytérrel, és X kimeneti valószínűségi változóval. Azaz X az identitás függvény S -en, vagyis ha A egy esemény, akkor X A A .

Tegyük fel, hogy az előző alapkísérletünket többször, egymástól függetlenül megismételjük. Ekkor egy új, összetett kísérletet kapunk, melynek a kimenetele az X 1 X 2 független, X -szel azonos eloszlású valószínűségi változók sorozata. Legyenek A és B az alapkísérlet eseményei (azaz S részhalmazai), és B 0 .

Igazoljuk, hogy az összetett kísérletben az amikor B először bekövetkezik, akkor A is bekövetkezik esemény épp

n 1 X 1 B X 2 B X n 1 B X n A B .

Igazoljuk, hogy az előző feladatban tekintett esemény valószínűsége

A B B A B .

Indokoljuk meg az előző feladat eredményét másképp is! Tekintsünk egy új kísérletet, amely abból áll, hogy az alapkísérletet addig ismételgetjük, amíg B először bekövetkezik, és csak az utolsó részkísérlet kimenetelét jegyezzük fel. Lássuk be, hogy az új kísérletünkhöz tartozó természetes valószínűségi mérték A A B .

Legyenek A és B diszjunkt események, és legyen A 0 és B 0 . Lássuk be, hogy az alapkísérlet független ismételgetéséből álló összetett kísérletben az A előbb következik be, mint B esemény valószínűsége

A A B .

Példák, alkalmazások

Tegyük fel, hogy A , B és C független események, és A 0.3 , B 0.5 valamint C 0.8 . Fejezzük ki a következő eseményeket halmazműveletekkel, és határozzuk meg a valószínűségüket:

  1. Mindhárom esemény bekövetkezik.
  2. Egyik esemény sem következik be.
  3. Legalább az egyik esemény bekövetkezik.
  4. Pontosan az egyik esemény következik be.
  5. A háromból pontosan két esemény következik be.

Tegyük fel, hogy A , B és C független események, és A 12 , B 13 , C 14 . Határozzuk meg a következő események valószínűségét:

  1. A B C
  2. A B C
  3. A B C .

Egy cégnél a 100 alkalmazott közül 40 férfi és 60 nő. Tudjuk, hogy 6 férfi van vezető beosztásban. Hány nő van vezető beosztásban, ha tudjuk, hogy a nem és a beosztás függetlenek egymástól? (Gondoljunk arra a kísérletre, hogy véletlenszerűen kiválasztunk egy alkalmazottat.)

3 tanuló egy közös autóban utazott, és nem mentek el az egyik matematika vizsgájukra. Később arra jutottak, azt hazudják az oktatónak, hogy azért nem tudtak elmenni a vizsgára, mert leeresztett az autójuk kereke. Az oktató mindhármuktól külön-külön megkérdezi, hogy melyik kerék eresztett le. Mivel a hallgatók ezt nem egyeztették előre, mindhárman egymástól függetlenül, véletlenszerűen tippelnek az egyik kerékre. Mennyi annak a valószínűsége, hogy nem buknak le, azaz mindhárman ugyanarra a kerékre tippelnek? A hazug hallgatók feladatát részletesen a Véges mintavételezési eljárások fejezet különböző mintaértékek száma című részében tárgyaljuk.

Bernoulli kísérletek

A Bernoulli kísérletsorozat egy független, azonos eloszlású indikátor valószínűségi változókból álló X 1 X 2 vektor. Itt az X i változó az i -edik kísérlet kimenetele; a megbízhatóság elméletben szokásos jelölés szerint 1 a sikeres, 0 a sikertelen kísérletet jelöli. Leggyakoribb példa ilyen kísérletre egy érmedobás-sorozat (ahol az érme nem feltétlenül igazságos). A folyamatot Jacques Bernoulli-ról nevezték el, és egyetlen paramétere p X i 1 . Részletes leírást a Bernoulli kísérletek fejezetben találhatunk.

Igazoljuk, hogy

X 1 x 1 X 2 x 2 X n x n p x 1 x 2 x n 1 p n x 1 x 2 x n  amint   x 1 x 2 x n 0 1 n .

Jelölje Y az első n kísérlet között a sikeresek számát! Igazoljuk, hogy

Y k n k p k 1 p n k  amint   k 0 1 n .

Az előző feladatban szereplő Y eloszlását n és p paraméterű binomiális eloszlásnak nevezzük. A binomiális eloszlás részletes tárgyalása a Bernoulli kísérletek fejezetben található.

Általánosabban, a multinomiális kísérletsorozat független, azonos eloszlású S értékű valószínűségi változók egy X 1 X 2 sorozata, ahol S tetszőleges véges halmaz. Leggyakoribb példa ilyen kísérletre egy k oldalú, nem feltétlenül szabályos kocka többszöri feldobása. A Multinomiális kísérletekről részletesen szintén a Bernoulli kísérletek fejezetben olvashatunk.

Kártyák

A kártyakísérletben egy hagyományos pakli kártyából kiválasztunk két lapot. i 1 2 -re jelölje Q i azt az eseményt, hogy az i -edik kiválasztott kártya dáma, H i pedig azt az eseményt, hogy i -edik kiválasztott kártya kőr. A megfelelő valószínűségek meghatározásával döntsük el, hogy az alábbi állítások közül melyek igazak!

  1. Q 1 és H 1 függetlenek.
  2. Q 2 és H 2 függetlenek.
  3. Q 1 és Q 2 negatívan korreláltak.
  4. H 1 és H 2 negatívan korreláltak.
  5. Q 1 és H 2 függetlenek.
  6. H 1 és Q 2 függetlenek.

A kártya kísérletben állítsuk be az n 2 paraméterértéket, majd szimuláljunk 500 kísérletet! Az előző feladatban szereplő eseménypárokra számítsuk ki a relatív gyakoriságok szorzatát, és a metszet relatív gyakoriságát, majd hasonlítsuk össze a kapott értékeket!

Kockák

Egy hagyományos, szabályos kockát feldobtunk ötször. Mennyi a valószínűsége annak, hogy legalább egyszer dobtunk hatost?

Két hagyományos, szabályos kockát feldobtunk tízszer. Mennyi a valószínűsége annak, hogy legalább egyszer dobtunk dupla hatost?

A kockadobás kísérletben n darab k oldalú kockát feldobunk, és a dobott értékeket az X 1 X 2 X n vektorba feljegyezzük. Igazoljuk, hogy az alábbi állítások ekvivalensek (és azzal is ekvivalensek, hogy a kocka igazságos):

  1. X 1 X 2 X n egyenletes eloszlású az 1 2 k n halmazon.
  2. X 1 X 2 X n független valószínűségi változók sorozata, és X i egyenletes eloszlású az 1 2 k halmazon minden i -re.

Két hagyományos, igazságos kockát feldobunk néhányszor. Mi a valószínűsége annak, hogy a két kockával dobott számok összege hamarabb lesz 4, mint 7? Ilyen típusú feladatok gyakran merülnek fel a craps nevű játék tanulmányozása során.

Érmék

Egy hamis érmét, amely 13 valószínűséggel mutat fejet, feldobtunk ötször. Jelölje Y a dobott fejek számát! Határozzuk meg Y k értékét minden k 0 1 2 3 4 5 esetén!

Egy dobozban van egy igazságos érme, és egy olyan érme, melynek mindkét oldala fej. Véletlenszerűen kiválasztunk a dobozból egy érmét, majd azt többször is feldobjuk. Legyen F az az esemény, hogy az igazságos érmét választottuk, és jelölje X i az i -edik dobás eredményét (1 ha fej, 0 ha írás)!

  1. Lássuk be, hogy X 1 X 2 feltételesen függetlenek, feltéve F -et, és X i 1 F 12 minden i -re!
  2. Lássuk be, hogy X 1 X 2 feltételesen függetlenek, feltéve F -t, és X i 1 F 1 minden i -re!
  3. Igazoljuk, hogy X i 1 34 minden i -re. (Használjuk az (a) és a (b) feladat eredményeit!)
  4. Igazoljuk, hogy X 1 1 X 2 1 X n 1 1 2 n 1 12 . (Használjuk az (a) és a (b) feladat eredményeit!)
  5. Igazoljuk, hogy X 1 X 2 nem függetlenek! (Használjuk a (c) és a (d) feladat eredményeit!)
  6. Igazoljuk, hogy F X 1 1 X 2 1 X n 1 1 2 n 1 . (Használjuk a Bayes tételt és a (d) feladat eredményét!)
  7. Vegyük észre, hogy F X 1 1 X 2 1 X n 1 0 , amint n .

Tekintsük az előző feladatban is szereplő dobozt a két érmével, azonban a kísérlet most legyen a következő: kiválasztunk egy érmét, azt feldobjuk, majd az érmét visszatesszük a dobozba. Utána újra választunk egy érmét, azt feldobjuk, és így tovább. Legyen X i az i -edik érmedobás eredménye! Igazoljuk, hogy X 1 X 2 egy Bernoulli kísérletsorozat p 34 paraméterrel! Ehhez

  1. lássuk be, hogy X 1 X 2 függetlenek.
  2. igazoljuk, hogy X i 1 34 minden i -re. (Számoljunk feltételes valószínűséget arra vonatkoztatva, hogy melyik érmét dobtuk fel az i -edik alkalommal!)
  3. Igazoljuk, hogy X 1 1 X 2 1 X n 1 34 n .

Buffon féle érmedobás kísérlet

A Buffon féle érmedobás kísérletben egy r 12 sugarú érmét véletlenszerűen feldobunk egy olyan padló felett, melyet 1 egység oldalhosszúságú négyzet alakú csempékkel raktunk ki. Miután az érme földet ér, a középpontjának koordinátáit az X Y vektorba feljegyezzük, ahol az origó annak a csempének a középpontja, amelyikre az érmeközéppont esik, a koordinátatengelyek pedig párhuzamosak a csemperács éleivel. Igazoljuk, hogy az alábbiak ekvivalensek:

  1. X Y egyenletes eloszlású a 12 12 2 halmazon.
  2. X és Y függetlenek , és egyenletes eloszlásúak a 12 12 halmazon.

A Buffon féle érmedobás kísérletben legyen r 0.3 . Szimuláljunk 500 darab kísérletet! Az X 0 és az Y 0 eseményekre határozzuk meg a relatív gyakoriságok szorzatát, és a metszet relatív gyakoriságát! Hasonlítsuk össze a kapott eredményeket!

Az A vonat érkezési ideje legyen az X valószínűségi változó, amely egyenletes eloszlású a 0 30 intervallumon, míg a B vonat Y érkezési ideje a 15 60 intervallumon egyenletes. (Az érkezési idők azt jelölik, az adott vonat 8 óra után hány perccel érkezik.) Tegyük fel továbbá, hogy az érkezési idők függetlenek.

  1. Mennyi annak a valószínűsége, hogy az A vonat érkezik előbb?
  2. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egyik vonat sem érkezik meg 8:20 előtt?

Megbízhatóság

A rendszerek megbízhatóságának elméletében egy n elemből álló rendszert tekintenek, melynek minden eleme egymástól függetlenül működik, vagy elromlott. Mint korábban, most is X i jelöli az i -edik elem állapotát, ahol 1 jelöli azt, hogy az alkatrész üzemel, 0 azt, hogy nem. Tehát X 1 X 2 X n független indikátor valószínűségi változókból áll. Az, hogy a rendszer működik-e, az elemek állapotától a struktúrafüggvényen keresztül függ. Vagyis a rendszer állapota az

Y Y X 1 X 2 X n

indikátor valószínűségi változó. Általában a rendszer működésének valószínűségét nevezzük a rendszer megbízhatóságának. Az i -edik elem megbízhatóságát jelölje p i X i 1 , így a megbízhatóságokból álló vektor p 1 p 2 p n . A függetlenség miatt a rendszer r megbízhatósága a komponensek megbízhatóságának függvénye:

r p 1 p 2 p n Y 1 .

Ezt a függvényt nevezik megbízhatósági függvénynek. A feladat általában az, hogy a struktúrafüggvény ismeretében meghatározzuk a megbízhatósági függvényt. Ha minden alkatrész megbízhatósága p , akkor a rendszer r megbízhatósága nyilván p -nek egy függvénye. Ebben az esetben a komponensek X 1 X 2 X n állapotai egy Bernoulli kísérletsorozatot határoznak meg.

Gondoljuk meg, hogy a függetlenségi feltevés mennyire teljesül valós rendszereknél (például autónál, számítógépnél)?

A soros kapcsolású rendszer pontosan akkor működik, ha minden komponense működik. Igazoljuk, hogy

  1. a rendszer állapotára U X 1 X 2  ···   X n X 1 X 2 X n .
  2. a rendszer megbízhatóságára U 1 p 1 p 2  ···   p n .

A párhuzamos kapcsolású rendszer pontosan akkor működik, ha legalább egy komponense működik. Igazoljuk, hogy

  1. a rendszer állapotára V 1 1 X 1 1 X 2  ···   1 X n X 1 X 2 X n .
  2. a rendszer megbízhatóságára V 1 1 1 p 1 1 p 2  ···   1 p n .

Az n -ből k elemű rendszer pontosan akkor működik, ha az n eleméből legalább k darab működik. Így a párhuzamos rendszerek n -ből 1, a soros rendszerek n -ből n elemű rendszerek. Egy 2 k 1 -ből k elemű rendszert nevezhetünk többségi döntésű rendszernek. Az n -ből k elemű rendszerek megbízhatósági függvénye általában bonyolult. Ha azonban az elemek megbízhatósága azonos, a megbízhatósági függvény alakja egyszerű

Igazoljuk, hogy egy olyan n -ből k elemű rendszer estén, mely minden komponensének p a megbízhatósága, a rendszer megbízhatósági függvénye

r p i k n n i p i 1 p n i .

Tekintsünk egy három elemű rendszert, ahol az elemek megbízhatósága p 1 0.8 , p 2 0.9 , p 3 0.7 . Határozzuk meg az ezen elemekből összeállított, alábbi típusú rendszerek megbízhatóságát:

  1. soros kapcsolású rendszer,
  2. 3-ból 2 elemű rendszer,
  3. párhuzamos kapcsolású rendszer.

Egy bizonyos tipusú repülőgépnek páratlan számú motorja van, melyek mindegyikének megbízhatósága p . Tegyük fel, hogy a repülőgép egy többségi döntésű rendszer, azaz akkor tud repülni, ha a motorok több mint fele üzemel.

  1. Mennyi a 3 motorral felszerelt gép megbízhatósága (mint p függvénye)?
  2. Mennyi az 5 motorral felszerelt gép megbízhatósága (mint p függvénye)?
  3. Mely p értékekre megbízhatóbb az 5 motoros gép a 3 motorosnál?

Az alábbi gráf a Charles Wheatstone-ról elnevezett Wheatstone híd. A gráfon az élek jelentik rendszer elemeit, és a rendszer pontosan akkor üzemel, ha megadható a és b között üzemelő élekből álló út.

  1. Adjuk meg a struktúrafüggvényt!
  2. Adjuk meg a megbízhatósági függvényt!
Bridge Network

Egy rendszer 3 darab párhuzamosan kötött elemből áll. Környezeti hatások miatt az elemek nem függetlenül működnek, tehát az eddigi alapfeltevésünk sérül. Mindazonáltal feltesszük, hogy alacsony környezeti hatások esetén a komponensek függetlenek, 0,9 megbízhatósággal; közepes környezeti hatások esetén függetlenek, 0,8 megbízhatósággal; erős környezeti hatások esetén függetlenek, 0,7 megbízhatósággal. A környezeti hatás 0,5 valószínűséggel alacsony, 0,3 valószínűséggel közepes, 0,2 valószínűséggel erős.

  1. Mennyi a rendszer megbízhatósága (a különböző szintű környezeti hatások esetén)?
  2. Feltéve, hogy a rendszer működik, adjuk meg a környezeti hatás nagyságának feltételes valószínűségeit (használjuk a Bayes tételt és a feladat (a) részét)!

Véletlen tesztek

A véletlen teszteket a Feltételes valószínűség részben definiáltuk. Az ilyen modellek esetén adott egy A esemény, amelynek bekövetkezését nem tudjuk közvetlenül megfigyelni, csak teszteket végezhetünk. Tegyük fel, hogy A -ra végeztünk n darab tesztet (ezeket 1-től n -ig sorszámoztuk). T i jelöli azt az eseményt, hogy az i -edik teszt pozitív. A tesztek függetlenek az alábbi értelemben:

Ha A bekövetkezik, akkor T 1 T 2 T n (feltételesen) függetlenek, és az i -edik teszt érzékenysége

a i T i A .

Ha A nem következik be, akkor T 1 T 2 T n (feltételesen) függetlenek, és az i -edik teszt specifikussága

b i T i A .

A fentiekből egy új, összetett kísérlettel létrehozhatunk egy döntési szabályt. Más szóval legyen T az az esemény, hogy az összetett tesz pozitív A -ra. Ekkor T T 1 T 2 T n egy függvénye. Általában a döntési szabályok elmélete nagyon hasonlít az olyan rendszerek elméletéhez, mint amiket az előbb, a rendszerek megbízhatósága részben tárgyaltunk. Érdekes speciális eset, amikor az n teszteredményünk ugyanazon teszt független megismétlésével született. Ekkor nyilván a i a és b i b minden i -re.

Legyen az összetett teszt pozitív A bekövetkezésére pontosan akkor, ha mind az n teszteredményünk pozitív. Igazoljuk, hogy

  1. T T 1 T 2 T n
  2. a teszt érzékenysége T A a 1 a 2 a n
  3. a teszt specifikussága T A 1 1 b 1 1 b 2 1 b n > .

Legyen az összetett teszt pozitív A bekövetkezésére pontosan akkor, ha az n teszt közül legalább az egyik pozitív. Igazoljuk, hogy

  1. T T 1 T 2 T n
  2. a teszt érzékenysége T A 1 1 a 1 1 a 2 1 a n >
  3. a teszt specifikussága T A b 1 b 2 b n .

Általánosabban, definiálható az n -ből k döntésű teszt, amely akkor pozitív A -ra, ha legalább k darab pozitív teszteredményünk van A -ra. A 46. feladatban definiált összetett teszt egy n -ből n döntésű teszt, míg a 47. feladatban definiált n -ből 1 döntésű. A 2 k 1 -ből k döntésű teszt a többségi döntésű teszt.

Egy nő azt gondolja, hogy lehet, hogy terhes. Ezért vesz három terhességi tesztet, melyek mindegyikének 0,95 az érzékenysége és 0,9 a specifikussága. Az első és a harmadik teszt pozitív, a második teszt negatív eredményt ad. Mi a valószínűsége annak, hogy a nő terhes?

3 független, azonos tulajdonságú tesztet végzünk az A esemény bekövetkezésére. A tesztek érzékenysége a , specifikussága pedig b . Határozzuk meg az alábbi tesztek érzékenységét és specifikusságát:

  1. 3-ból 1 döntésű teszt
  2. 3-ból 2 döntésű teszt
  3. 3-ból 3 döntésű teszt.

Egy büntető perben a vádlottat pontosan akkor ítélik el, ha mind a 6 esküdt arra szavaz, hogy bűnös. Tegyük fel, hogy ha a vádlott bűnös, akkor minden esküdt, egymástól függetlenül, 0,95 valószínűséggel szavaz arra, hogy bűnös. Ha viszont ártatlan, akkor minden esküdt, egymástól függetlenül, 0,8 valószínűséggel ártatlannak nyilvánítja. Tegyük fel továbbá, hogy a bíróságra beidézett vádlottak 70%-a bűnös.

  1. Mennyi a valószínűsége annak, hogy egy vádlottat elítélnek?
  2. Feltéve, hogy a vádlottat elítélik, mennyi annak a valószínűsége, hogy bűnös?
  3. Vajon mennyire életszerű feltevés az, hogy az esküdtek egymástól függetlenül döntenek?

Genetika

genetikai alapfogalmakkal foglalkoztunk a Valószínűségi mértékek fejezetben, és a Feltételes valószínűségről szóló fejezet genetika részében. A genetikai tulajdonságok vizsgálatánál (például szemszín, vagy egy genetikai rendellenesség jelenléte) szokásos feltevés, hogy a szülők genotipusainak ismerete mellett a gyerekek genotipusai feltételesen függetlenek. Feltétel nélkül viszont ez nem igaz, hiszen ha ismerjük egy gyerek tulajdonságait, abból következtethetünk a szülők tulajdonságaira, amiktől viszont a többi gyerek tulajdonságai függenek.

A következő feladatban feltesszük, hogy egy borsófajta hüvelyének színe sárga vagy zöld, és a zöld szín a domináns. Tehát a z z és a z s genotipusú borsók zöldhüvelyűek, míg a s s genotipusú sárga hüvelyű.

Tegyük fel, hogy 2 zöld hüvelyű borsót nevelünk egy cserépben. Mindkét növény, egymástól függetlenül, 14 valószínűséggel rendelkezik a sárga színt okozó génnel.

  1. Mi a valószínűsége annak, hogy mindhárom utódnövény zöld hüvelyű?
  2. Feltéve, hogy mindhárom utódnövény zöld hüvelyű, mi a valószínűsége annak, hogy mindkét szülőben megvan a recesszív gén?

A következő feladatban egy öröklődő, nemtől függő rendellenességet tekintünk, ami az X kromoszóma betegsége. Mint korábban, jelölje n a domináns normál gént, d pedig a recesszív, rendellenességet okozó gént. Tehát egy n n genotipusú nő egészséges, egy n d genotipusú nő is tünetmentes, de hordozza a betegséget, egy d d genotipusú pedig beteg. Egy n genotipusú férfi egészséges, egy d genotipusú beteg.

Tegyük fel, hogy egy egészséges nő 12 a priori valószínűséggel hordozza a beteg gént (azaz kezdetben úgy gondoljuk, ennyi a valószínűség).

  1. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a nő első két fia egészséges?
  2. Feltéve, hogy a nő első két fia egészséges, mennyi annak a valószínűsége, hogy a nő hordozza a beteg gént?
  3. Feltéve, hogy a nő első két fia egészséges, mennyi annak a feltételes valószínűsége, hogy a harmadik fia is egészséges lesz?

Laplace szabály

Tegyük fel, van m 1 darab pénzérménk, melyeket beszámoztunk a 0, 1, ..., m számokkal. Az i -edik pénzérme feldobása után az i m valószínűséggel mutat fejet minden i -re. Speciálisan a 0. érme mindkét oldala írás, az m . érme mindkét oldala fej. A kísérletünk a következő: kiválasztunk véletlenszerűen egy érmét (minden érmét azonos valószínűséggel), majd a kiválasztott érmét többször feldobjuk.

Igazoljuk, hogy annak a valószínűsége, hogy az első n dobás mindegyike fej, éppen

p m n 1 m 1 i 0 m i m n .

Igazoljuk, hogy annak a feltételes valószínűsége, hogy az n 1 -edik dobás fej, feltéve, hogy az első n dobás mindegyike fej volt:

p m n 1 p m n .

Tekintsük p m n -et az x 0 1 x n integrál közelítő összegének, és így igazoljuk, hogy

p m n 1 n 1  amint   m .

Lássuk be, hogy

p m n 1 p m n n 1 n 2  amint   m .

A limeszben kapott feltételes valószínűséget nevezik Laplace szabálynak, Simon Laplace tiszteletére. Ezt a képletet alkalmazta többek között Laplace is azon feltételes valószínűség meghatározására, hogy egy esemény az n 1 -edik alkalommal is bekövetkezik, feltéve, hogy az első n alkalommal bekövetkezett.

Tegyük fel, hogy egy bizonyos típusú rakéta kilövési tesztje az első 10 alkalommal sikeres volt. Mennyi a Laplace szabály alapján kapott becslés annak a valószínűségére, hogy a 11 -edik teszt is sikeres lesz? Van ennek a becslésnek értelme?

Vajon általában mennyire helyes a Laplace szabályt használnunk?

  1. Virtual Laboratories
  2. 1. Valószínűségi mezők
  3. 1
  4. 2
  5. 3
  6. 4
  7. 5
  8. 6
  9. 7