]>
Kiindulási pontunk, mint általában, most is egy véletlen kísérlet egy eseménytéren, és egy valószínűségi mérték. Ebben a fejezetben a függetlenséget tárgyaljuk, ami az egyik legfontosabb fogalom a valószínűségszámításban. Gyakran a függetlenség egyszerűsítő feltevés, azonban nagyon lényeges, hisz a valószínűségszámítás (mint látni fogjuk) leghasznosabb eredményei kísérletek független ismétléseivel kapcsolatosak.
A függetlenséget egyre bonyolultabb esetekben fogjuk definiálni: először két eseményre, majd tetszőlegesen sok eseményre, végül tetszőlegesen sok valószínűségi változóra. Azonban az alapötlet mindig ugyanaz.
Az és a események függetlenek, ha
Ha mindkét esemény pozitív valószínűségű, akkor a függetlenség ekvivalens megfogalmazása: az egyik esemény másikra vonatkozó feltételes valószínűség megegyezik a feltétel nélküli valószínűségével.
Ez utóbbi definíció adja a függetlenség szemléletes jelentését: ha tudjuk, hogy az egyik esemény bekövetkezett, ez nem befolyásolja a másik bekövetkezésének esélyét.
Első közelítésben úgy tűnhet, hogy a független és a diszjunkt jelzők hasonló jelentéssel bírnak. Azonban ez távolról sincs így! A diszjunktság egy tisztán halmazelméleti, a függetlenség pedig egy mértékelméleti fogalom. Így előfordulhat, hogy két esemény egy bizonyos valószínűségi mérték szerint függetlenek, egy másik szerint viszont nem. De ami a legfontosabb különbség, hogy a triviális esettől (azaz ha legalább az egyik esemény nullmértékű) eltekintve diszjunkt események sosem függetlenek.
Legyenek és pozitív mértékű diszjunkt események. Igazoljuk, hogy és negatívan korreláltak, így nem függetlenek!
Ha és független események, akkor intuitívan világos, hogy minden, segítségével előállított esemény független kell, hogy legyen minden, segítségével előállított eseménytől. Ez valóban így van, amit a következő feladatban igazolhatunk.
Tegyük fel, hogy és független események. Igazoljuk, hogy az alábbi eseménypárok mindegyike független egymástól:
Legyenek és események. Igazoljuk, hogy
Ha ki akarjuk terjeszteni a függetlenség definícióját több eseményre, az egyik első ötlet, hogy a több esemény közül tetszőleges kettő páronkénti függetlenségét követeljük meg. A következő feladat arra mutat példát, hogy három eseménynél előfordulhat, hogy közülük bármelyik kettő független (azaz páronként függetlenek), azonban kettő segítségével előállítható olyan esemény, amely a lehető legjobban összefügg a harmadik eseménnyel.
A kísérletünk abból áll, hogy feldobunk két hagyományos, igazságos kockát, és feljegyezzük a dobott számokat. Legyen az az esemény, hogy az első dobás hármas, az az esemény, hogy a második dobás négyes, pedig az az esemény, hogy a dobott számok összege 7.
A kockadobás kísérletben állítsuk be az paraméterértéket, majd szimuláljunk 500 kísérletet! Az előző feladatban szereplő eseményekből kiválasztható összes esemény párra számítsuk ki a relatív gyakoriságok szorzatát és a metszet események relatív gyakoriságait! Hasonlítsuk össze a kapott értékeket!
Másik lehetséges javaslat a definíció általánosítására, hogy annyit követeljünk meg, hogy az események metszetének valószínűsége legyen egyenlő a valószínűségek szorzatával. Azonban ez sem vezet a jó fogalomhoz, ahogy ezt a következő példa szemlélteti
Feldobtunk egy igazságos kockát. Legyen , .
A két esemény függetlenségére adott definíció mégis természetesen általánosítható több eseményre: események egy családját függetlennek nevezzük, ha tetszőleges részhalmazra
Események függetlensége (azaz az előbb definiált fogalom) sokkal erősebb tulajdonság, mint a páronkénti függetlenség. A következő feladatban igazolt öröklődési tulajdonság lényegében ekvivalens a definícióval.
Legyen események egy családja. Lássuk be a következő állításokat!
Igazoljuk, hogy darab esemény függetlenségéhez darab nemtriviális feltétel teljesülése szükséges.
Ha események egy véges családja független, akkor nyilván
Ezt nevezik a független események szorzási szabályának. Hasonlítsuk ezt össze a feltételes valószínűségekkel felírt általános szorzási szabállyal!
Igazoljuk, hogy a lényegében determinisztikus események halmaza független!
Legyenek , , és független események. Igazoljuk, hogy és függetlenek!
Hasonlítsuk össze az előző feladatot a 2. feladattal! A két eseményre vonatkozó eredmény általánosítása egy kicsit bonyolultabb, de nagyjából a következőt mondhatjuk: legyen független események családja és páronként diszjunkt részhalmazai -nak (itt indexhalmaz). Vagyis minden -re és minden különböző -re és -re. Tegyük fel, hogy minden -re konstruálunk egy eseményt az -beli események felhasználásával megszámlálható sok halmazművelettel. Ekkor az események családja is független.
A következő formula független események uniójának valószínűségére lényegesen egyszerűbb, mint a szitaformula.
Tegyük fel, hogy független események véges halmaza. Igazoljuk, hogy
Tegyük fel, hogy független, azonos valószínűségű események családja. Igazoljuk, hogy ekkor felcserélhető. Az állítás megfordítása nem igaz, ellenpélda a Pólya féle urnamodell.
Legyen értékű valószínűségi változó minden -re a nem üres indexhalmazban. Szemléletesen a valószínűségi változóink akkor függetlenek, ha néhányuk realizációinak ismerete nem szolgáltat plusz információt a többire nézve. Precízebben, a változók függetlenségét visszavezethetjük bizonyos események függetlenségére. Tehát formálisan azt mondjuk, hogy a valószínűségi változók halmaza független, ha minden, az alábbi típusú esemény család független:
Vagy ami ezzel ekvivalens, a valószínűségi változók fenti halmaza független, ha minden véges részhalmazára, és minden , választással
Legyen valószínűségi változók egy halmaza. Igazoljuk, hogy
Tegyük fel, hogy mint előbb, független valószínűségi változók halmaza és minden -re egy -ből -be képező függvény. Igazoljuk, hogy szintén független!
Igazoljuk, hogy események egy halmaza pontosan akkor független, ha a hozzájuk tartozó indikátor változók halmaza független.
Sok, eddig informálisan használt fogalmat precízzé tehetünk a függetlenség definíciójának ismeretében. Például egy független részekből
álló összetett kísérlet valójában egy olyan kísérlet, melynek kimenetele független valószínűségi változók egy
sorozata, ahol
az
-edik részkísérlet kimenetele.
Speciálisan, tekintsünk egy véletlen kísérletet, és a kimenetelét leíró
valószínűségi változót. Ekkor azon összetett kísérlet kimenetele, mely az előző véletlen kísérletünk többszöri, egymástól független megismétléséből
áll, jelölhető az
vektorral, mely minden koordinátája
-szel azonos eloszlású. Az ilyen összetett kísérletek szoros összefüggésben vannak az események valószínűségének definíciójával (erre világít rá a nagy számok törvénye). Tegyük fel, hogy adott egy populáció (vagy más szóval sokaság), amely egy tagjának számunkra fontos paraméterét
jelöli. Ekkor a fent definiált
sorozat épp az
eloszlásából vett minta, azaz
a populációból kiválasztott
-edik egyed paraméterértéke. Véges populációból vett visszatevéses mintavételezés esetén a kapott valószínűségi változók függetlenek lesznek, míg visszatevés nélküli mintavételezés esetén összefüggők.
Ahogy már korábban említettük, az, hogy események vagy valószínűségi változók függetlenek-e, múlik azon is, hogy milyen valószínűségi mértéket tekintünk. Legyen például egy pozitív valószínűségű esemény. Ekkor azt mondjuk, hogy események, vagy valószínűségi változók családja feltételesen független, feltéve, hogy bekövetkezik, ha független a feltételes valószínűségi mértékre nézve. Természetesen a közölt definíciók és állítások értelemszerű módosítással érvényesek a -re vonatkozó feltételes függetlenség esetén is.
A következő feladatok a feltételes valószínűség szemléltetését szolgálják. Tegyük fel, hogy adott egy alapkísérlet az eseménytérrel, és kimeneti valószínűségi változóval. Azaz az identitás függvény -en, vagyis ha egy esemény, akkor .
Tegyük fel, hogy az előző alapkísérletünket többször, egymástól függetlenül megismételjük. Ekkor egy új, összetett kísérletet kapunk, melynek a kimenetele az független, -szel azonos eloszlású valószínűségi változók sorozata. Legyenek és az alapkísérlet eseményei (azaz részhalmazai), és .
Igazoljuk, hogy az összetett kísérletben az amikor
először bekövetkezik, akkor
is bekövetkezik
esemény épp
Igazoljuk, hogy az előző feladatban tekintett esemény valószínűsége
Indokoljuk meg az előző feladat eredményét másképp is! Tekintsünk egy új kísérletet, amely abból áll, hogy az alapkísérletet addig ismételgetjük, amíg először bekövetkezik, és csak az utolsó részkísérlet kimenetelét jegyezzük fel. Lássuk be, hogy az új kísérletünkhöz tartozó természetes valószínűségi mérték .
Legyenek
és
diszjunkt események, és legyen
és
.
Lássuk be, hogy az alapkísérlet független ismételgetéséből álló összetett kísérletben az
előbb következik be, mint
esemény valószínűsége
Tegyük fel, hogy , és független események, és , valamint . Fejezzük ki a következő eseményeket halmazműveletekkel, és határozzuk meg a valószínűségüket:
Tegyük fel, hogy , és független események, és , , . Határozzuk meg a következő események valószínűségét:
Egy cégnél a 100 alkalmazott közül 40 férfi és 60 nő. Tudjuk, hogy 6 férfi van vezető beosztásban. Hány nő van vezető beosztásban, ha tudjuk, hogy a nem és a beosztás függetlenek egymástól? (Gondoljunk arra a kísérletre, hogy véletlenszerűen kiválasztunk egy alkalmazottat.)
3 tanuló egy közös autóban utazott, és nem mentek el az egyik matematika vizsgájukra. Később arra jutottak, azt hazudják az oktatónak, hogy azért nem tudtak elmenni a vizsgára, mert leeresztett az autójuk kereke. Az oktató mindhármuktól külön-külön megkérdezi, hogy melyik kerék eresztett le. Mivel a hallgatók ezt nem egyeztették előre, mindhárman egymástól függetlenül, véletlenszerűen tippelnek az egyik kerékre. Mennyi annak a valószínűsége, hogy nem buknak le, azaz mindhárman ugyanarra a kerékre tippelnek? A hazug hallgatók feladatát részletesen a Véges mintavételezési eljárások fejezet különböző mintaértékek száma című részében tárgyaljuk.
A Bernoulli kísérletsorozat egy független, azonos eloszlású indikátor valószínűségi változókból álló vektor. Itt az változó az -edik kísérlet kimenetele; a megbízhatóság elméletben szokásos jelölés szerint 1 a sikeres, 0 a sikertelen kísérletet jelöli. Leggyakoribb példa ilyen kísérletre egy érmedobás-sorozat (ahol az érme nem feltétlenül igazságos). A folyamatot Jacques Bernoulli-ról nevezték el, és egyetlen paramétere . Részletes leírást a Bernoulli kísérletek fejezetben találhatunk.
Igazoljuk, hogy
Jelölje az első kísérlet között a sikeresek számát! Igazoljuk, hogy
Az előző feladatban szereplő eloszlását és paraméterű binomiális eloszlásnak nevezzük. A binomiális eloszlás részletes tárgyalása a Bernoulli kísérletek fejezetben található.
Általánosabban, a multinomiális kísérletsorozat független, azonos eloszlású
értékű valószínűségi változók egy
sorozata, ahol
tetszőleges véges halmaz. Leggyakoribb példa ilyen kísérletre egy
oldalú, nem feltétlenül szabályos kocka
többszöri feldobása. A Multinomiális kísérletekről részletesen szintén a Bernoulli kísérletek fejezetben olvashatunk.
A kártyakísérletben egy hagyományos pakli kártyából kiválasztunk két lapot. -re jelölje azt az eseményt, hogy az -edik kiválasztott kártya dáma, pedig azt az eseményt, hogy -edik kiválasztott kártya kőr. A megfelelő valószínűségek meghatározásával döntsük el, hogy az alábbi állítások közül melyek igazak!
A kártya kísérletben állítsuk be az paraméterértéket, majd szimuláljunk 500 kísérletet! Az előző feladatban szereplő eseménypárokra számítsuk ki a relatív gyakoriságok szorzatát, és a metszet relatív gyakoriságát, majd hasonlítsuk össze a kapott értékeket!
Egy hagyományos, szabályos kockát feldobtunk ötször. Mennyi a valószínűsége annak, hogy legalább egyszer dobtunk hatost?
Két hagyományos, szabályos kockát feldobtunk tízszer. Mennyi a valószínűsége annak, hogy legalább egyszer dobtunk dupla hatost?
A kockadobás kísérletben
darab
oldalú kockát
feldobunk, és a dobott értékeket az
vektorba feljegyezzük. Igazoljuk, hogy az alábbi állítások ekvivalensek (és azzal is ekvivalensek, hogy a kocka igazságos):
Két hagyományos, igazságos kockát feldobunk néhányszor. Mi a valószínűsége annak, hogy a két kockával dobott számok összege hamarabb lesz 4, mint 7? Ilyen típusú feladatok gyakran merülnek fel a craps nevű játék tanulmányozása során.
Egy hamis érmét, amely valószínűséggel mutat fejet, feldobtunk ötször. Jelölje a dobott fejek számát! Határozzuk meg értékét minden esetén!
Egy dobozban van egy igazságos érme, és egy olyan érme, melynek mindkét oldala fej
. Véletlenszerűen kiválasztunk a dobozból egy érmét, majd azt többször is feldobjuk. Legyen
az az esemény, hogy az igazságos érmét választottuk, és jelölje
az
-edik dobás eredményét (1 ha fej, 0 ha írás)!
Tekintsük az előző feladatban is szereplő dobozt a két érmével, azonban a kísérlet most legyen a következő: kiválasztunk egy érmét, azt feldobjuk, majd az érmét visszatesszük a dobozba. Utána újra választunk egy érmét, azt feldobjuk, és így tovább. Legyen az -edik érmedobás eredménye! Igazoljuk, hogy egy Bernoulli kísérletsorozat paraméterrel! Ehhez
A Buffon féle érmedobás kísérletben egy sugarú érmét véletlenszerűen feldobunk egy olyan padló felett, melyet 1 egység oldalhosszúságú négyzet alakú csempékkel raktunk ki. Miután az érme földet ér, a középpontjának koordinátáit az vektorba feljegyezzük, ahol az origó annak a csempének a középpontja, amelyikre az érmeközéppont esik, a koordinátatengelyek pedig párhuzamosak a csemperács éleivel. Igazoljuk, hogy az alábbiak ekvivalensek:
A Buffon féle érmedobás kísérletben legyen . Szimuláljunk 500 darab kísérletet! Az és az eseményekre határozzuk meg a relatív gyakoriságok szorzatát, és a metszet relatív gyakoriságát! Hasonlítsuk össze a kapott eredményeket!
Az vonat érkezési ideje legyen az valószínűségi változó, amely egyenletes eloszlású a intervallumon, míg a vonat érkezési ideje a intervallumon egyenletes. (Az érkezési idők azt jelölik, az adott vonat 8 óra után hány perccel érkezik.) Tegyük fel továbbá, hogy az érkezési idők függetlenek.
A rendszerek megbízhatóságának elméletében egy elemből álló rendszert tekintenek, melynek minden eleme egymástól függetlenül működik, vagy elromlott. Mint korábban, most is jelöli az -edik elem állapotát, ahol 1 jelöli azt, hogy az alkatrész üzemel, 0 azt, hogy nem. Tehát független indikátor valószínűségi változókból áll. Az, hogy a rendszer működik-e, az elemek állapotától a struktúrafüggvényen keresztül függ. Vagyis a rendszer állapota az
indikátor valószínűségi változó. Általában a rendszer működésének valószínűségét nevezzük a rendszer megbízhatóságának. Az -edik elem megbízhatóságát jelölje , így a megbízhatóságokból álló vektor . A függetlenség miatt a rendszer megbízhatósága a komponensek megbízhatóságának függvénye:
Ezt a függvényt nevezik megbízhatósági függvénynek. A feladat általában az, hogy a struktúrafüggvény ismeretében meghatározzuk a megbízhatósági függvényt. Ha minden alkatrész megbízhatósága , akkor a rendszer megbízhatósága nyilván -nek egy függvénye. Ebben az esetben a komponensek állapotai egy Bernoulli kísérletsorozatot határoznak meg.
Gondoljuk meg, hogy a függetlenségi feltevés mennyire teljesül valós rendszereknél (például autónál, számítógépnél)?
A soros kapcsolású rendszer pontosan akkor működik, ha minden komponense működik. Igazoljuk, hogy
A párhuzamos kapcsolású rendszer pontosan akkor működik, ha legalább egy komponense működik. Igazoljuk, hogy
Az -ből elemű rendszer pontosan akkor működik, ha az eleméből legalább darab működik. Így a párhuzamos rendszerek -ből 1, a soros rendszerek -ből elemű rendszerek. Egy -ből elemű rendszert nevezhetünk többségi döntésű rendszernek. Az -ből elemű rendszerek megbízhatósági függvénye általában bonyolult. Ha azonban az elemek megbízhatósága azonos, a megbízhatósági függvény alakja egyszerű
Igazoljuk, hogy egy olyan -ből elemű rendszer estén, mely minden komponensének a megbízhatósága, a rendszer megbízhatósági függvénye
Tekintsünk egy három elemű rendszert, ahol az elemek megbízhatósága , , . Határozzuk meg az ezen elemekből összeállított, alábbi típusú rendszerek megbízhatóságát:
Egy bizonyos tipusú repülőgépnek páratlan számú motorja van, melyek mindegyikének megbízhatósága . Tegyük fel, hogy a repülőgép egy többségi döntésű rendszer, azaz akkor tud repülni, ha a motorok több mint fele üzemel.
Az alábbi gráf a Charles Wheatstone-ról elnevezett Wheatstone híd. A gráfon az élek jelentik rendszer elemeit, és a rendszer pontosan akkor üzemel, ha megadható és között üzemelő élekből álló út.
Egy rendszer 3 darab párhuzamosan kötött elemből áll. Környezeti hatások miatt az elemek nem függetlenül működnek, tehát az eddigi alapfeltevésünk sérül. Mindazonáltal feltesszük, hogy alacsony környezeti hatások esetén a komponensek függetlenek, 0,9 megbízhatósággal; közepes környezeti hatások esetén függetlenek, 0,8 megbízhatósággal; erős környezeti hatások esetén függetlenek, 0,7 megbízhatósággal. A környezeti hatás 0,5 valószínűséggel alacsony, 0,3 valószínűséggel közepes, 0,2 valószínűséggel erős.
A véletlen teszteket a Feltételes valószínűség részben definiáltuk. Az ilyen modellek esetén adott egy esemény, amelynek bekövetkezését nem tudjuk közvetlenül megfigyelni, csak teszteket végezhetünk. Tegyük fel, hogy -ra végeztünk darab tesztet (ezeket 1-től -ig sorszámoztuk). jelöli azt az eseményt, hogy az -edik teszt pozitív. A tesztek függetlenek az alábbi értelemben:
Ha bekövetkezik, akkor (feltételesen) függetlenek, és az -edik teszt érzékenysége
Ha nem következik be, akkor (feltételesen) függetlenek, és az -edik teszt specifikussága
A fentiekből egy új, összetett kísérlettel létrehozhatunk egy döntési szabályt. Más szóval legyen az az esemény, hogy az összetett tesz pozitív -ra. Ekkor egy függvénye. Általában a döntési szabályok elmélete nagyon hasonlít az olyan rendszerek elméletéhez, mint amiket az előbb, a rendszerek megbízhatósága részben tárgyaltunk. Érdekes speciális eset, amikor az teszteredményünk ugyanazon teszt független megismétlésével született. Ekkor nyilván és minden -re.
Legyen az összetett teszt pozitív bekövetkezésére pontosan akkor, ha mind az teszteredményünk pozitív. Igazoljuk, hogy
Legyen az összetett teszt pozitív bekövetkezésére pontosan akkor, ha az teszt közül legalább az egyik pozitív. Igazoljuk, hogy
Általánosabban, definiálható az -ből döntésű teszt, amely akkor pozitív -ra, ha legalább darab pozitív teszteredményünk van -ra. A 46. feladatban definiált összetett teszt egy -ből döntésű teszt, míg a 47. feladatban definiált -ből 1 döntésű. A -ből döntésű teszt a többségi döntésű teszt.
Egy nő azt gondolja, hogy lehet, hogy terhes. Ezért vesz három terhességi tesztet, melyek mindegyikének 0,95 az érzékenysége és 0,9 a specifikussága. Az első és a harmadik teszt pozitív, a második teszt negatív eredményt ad. Mi a valószínűsége annak, hogy a nő terhes?
3 független, azonos tulajdonságú tesztet végzünk az esemény bekövetkezésére. A tesztek érzékenysége , specifikussága pedig . Határozzuk meg az alábbi tesztek érzékenységét és specifikusságát:
Egy büntető perben a vádlottat pontosan akkor ítélik el, ha mind a 6 esküdt arra szavaz, hogy bűnös. Tegyük fel, hogy ha a vádlott bűnös, akkor minden esküdt, egymástól függetlenül, 0,95 valószínűséggel szavaz arra, hogy bűnös. Ha viszont ártatlan, akkor minden esküdt, egymástól függetlenül, 0,8 valószínűséggel ártatlannak nyilvánítja. Tegyük fel továbbá, hogy a bíróságra beidézett vádlottak 70%-a bűnös.
genetikai alapfogalmakkal foglalkoztunk a Valószínűségi mértékek fejezetben, és a Feltételes valószínűségről szóló fejezet genetika részében. A genetikai tulajdonságok vizsgálatánál (például szemszín, vagy egy genetikai rendellenesség jelenléte) szokásos feltevés, hogy a szülők genotipusainak ismerete mellett a gyerekek genotipusai feltételesen függetlenek. Feltétel nélkül viszont ez nem igaz, hiszen ha ismerjük egy gyerek tulajdonságait, abból következtethetünk a szülők tulajdonságaira, amiktől viszont a többi gyerek tulajdonságai függenek.
A következő feladatban feltesszük, hogy egy borsófajta hüvelyének színe sárga vagy zöld, és a zöld szín a domináns. Tehát a és a genotipusú borsók zöldhüvelyűek, míg a genotipusú sárga hüvelyű.
Tegyük fel, hogy 2 zöld hüvelyű borsót nevelünk egy cserépben. Mindkét növény, egymástól függetlenül, valószínűséggel rendelkezik a sárga színt okozó génnel.
A következő feladatban egy öröklődő, nemtől függő rendellenességet tekintünk, ami az X kromoszóma betegsége. Mint korábban, jelölje a domináns normál gént, pedig a recesszív, rendellenességet okozó gént. Tehát egy genotipusú nő egészséges, egy genotipusú nő is tünetmentes, de hordozza a betegséget, egy genotipusú pedig beteg. Egy genotipusú férfi egészséges, egy genotipusú beteg.
Tegyük fel, hogy egy egészséges nő a priori valószínűséggel hordozza a beteg gént (azaz kezdetben úgy gondoljuk, ennyi a valószínűség).
Tegyük fel, van darab pénzérménk, melyeket beszámoztunk a 0, 1, ..., számokkal. Az -edik pénzérme feldobása után az valószínűséggel mutat fejet minden -re. Speciálisan a 0. érme mindkét oldala írás, az . érme mindkét oldala fej. A kísérletünk a következő: kiválasztunk véletlenszerűen egy érmét (minden érmét azonos valószínűséggel), majd a kiválasztott érmét többször feldobjuk.
Igazoljuk, hogy annak a valószínűsége, hogy az első dobás mindegyike fej, éppen
Igazoljuk, hogy annak a feltételes valószínűsége, hogy az -edik dobás fej, feltéve, hogy az első dobás mindegyike fej volt:
Tekintsük -et az integrál közelítő összegének, és így igazoljuk, hogy
Lássuk be, hogy
A limeszben kapott feltételes valószínűséget nevezik Laplace szabálynak, Simon Laplace tiszteletére. Ezt a képletet alkalmazta többek között Laplace is azon feltételes valószínűség meghatározására, hogy egy esemény az -edik alkalommal is bekövetkezik, feltéve, hogy az első alkalommal bekövetkezett.
Tegyük fel, hogy egy bizonyos típusú rakéta kilövési tesztje az első 10 alkalommal sikeres volt. Mennyi a Laplace szabály alapján kapott becslés annak a valószínűségére, hogy a -edik teszt is sikeres lesz? Van ennek a becslésnek értelme?
Vajon általában mennyire helyes a Laplace szabályt használnunk?