Tételezzük fel, hogy egy várható értékű és standard szórású normális eloszlásból vett véletlen minta. Ebben a részben a minta átlag, a minta szórásnégyzet, és néhány egyéb fontos statisztika speciális tulajdonságait mutatjuk meg. Mivel a minta (és főleg az mintaméret) fix, ezért a formulákban nem jelöljük.
Először is emlékeztetünk arra, hogy a minta átlaga
eloszlása könnyen következik a független normális változók alaptulajdonságaiból:
Mutassuk meg, hogy várható értékű és szórásnégyzetű normális eloszlású.
standardizáltja a következő. Ez a statisztika ebben a részben több levezetésben is meg fog jelemnni.
Mutassuk meg, hogy standard normális eloszlású.
Emlékeztetünk arra, hogy ha ismert, akkor a szórásnégyzet egy természetes becslése az alábbi statisztika:
Bár az a feltevés, hogy ismert, rendszerint mesterséges, a statisztikát könnyű elemezni és az alábbi levezetésekben fogjuk használni.
Mutassuk meg, hogy khi-négyzet eloszlású szabadságfokkal.
Használjuk fel az előbbi gyakorlat eredményét annak megmutatására, hogy
Természetesen, ezek az eredmények "Minta szórásnégyzete" részben kapott általános eredmények speciális esetei.
Emlékeztetünk arra, hogy a minta szórásnégyzet statisztikája
Az minta szórásnégyzet szokásos becslése, amikor ismeretlen. A következő gyakorlatok megmutatják, hogy az mintaátlag és az mintaszórásnégyzet függetlenek, ami egy nagyon fontos és hasznos tulajdonság. Először meg fogjuk magyarázni azt az egyszerű, de érdekes tényt, ami nem csak normális, hanem tetszőleges eloszlásból vett véletlen mintára érvényes.
Felhasználva a kovariancia tulajdonságait mtassuk meg, hogy és korrelálatlanok minden -re!
Analízisünk az mintaátlagon és a mintaátlagtól való eltérés vektoron alapul. Legyen
Mutassuk meg, hogy felírható függvényeként felhasználva, hogy
Mutassuk meg, hogy és az vektor együttes eloszlásfüggvénye többváltozós normális eloszlás.
Felhasználva az előző gyakorlat eredményét mutassuk meg, hogy és függetlenek.
Végül mutassuk meg, hogy és függetlenek.
Meg tudjuk határozni az mintaszórásnégyzet egyszerű többszörösének eloszlását. Legyen
Mutassuk meg, hogy ahol szokás szerint az mintaátlagú standardizált változó és ahol a minta szórásnégyzetének egy speciális változata. Útmutatás: A bal oldali összeghez adjunk hozzá és vonjunk ki belőle -et és alakítsuk át a kifejezést.
Mutassuk meg, hogy khi-négyzet eloszlású szabadságfokkal. Útmutatás: Használjuk fel az előző gyakorlat eredményét, a függetlenséget és a momentum generáló függvényeket.
Az előző gyakorlat eredményét felhasználva mutassuk meg, hogy
Természetesen, ezek az eredmények a "Minta szórásnégyzete" részben kapott általános eredmények speciális esetei.
Az alap véletlen változó kísérletben, válasszunk khi-négyzet eloszlást. Változtassuk a szabadságfokot és figyeljük meg a valószínűségi sűrűségfüggvény elhelyezkedését és alakját, valamint az átlag és a standard szórás grafikonját. A paraméter kiválasztott értékeire végezzük el a kísérletet 1000-szer, 10-esével frissítve és látjuk az empirikus sűrűségfüggvény és momentumok konvergenciáját a valódi sűrűségfüggvényhez és momentumokhoz.
A következő gyakorlatokban le fogjuk vezetni
eloszlását. Jegyezzük meg, hogy hasonló a standardizált változóhoz, de a minta standard szórása , helyettesítve az eloszlás standard szórását. A statisztika kritikus szerepet játszik intervallum becslésében és a -re vonatkozó hipotézis vizsgálatokban.
Szokás szerint, jelöljön egy mintaátlagú standardizált változót és egy mintaszórásnégyzetű khi-négyzet statisztikát. Mutassuk meg, hogy
Felhasználva az előző eredményeket, mutassuk meg, hogy Student () eloszlású szabadságfokkal.
Az alap véletlen változó kísérletben válasszunk eloszlást. Változtassuk a szabadságfokot és figyeljük meg a valószínűségi sűrűségfüggvény fekvését és alakját, valamint az átlag és a standard szórás grafikonját. A paraméter kiválasztott értékeire végezzük el a kísérletet 1000-szer, 10-esével frissítve és látjuk az empirikus sűrűségfüggvény és momentumok konvergenciáját a valódi sűrűségfüggvényhez és momentumokhoz.
Az utolsó statisztika, amit tanulmányozni fogunk, két-mintás normális modellben merül fel. Így, tételezzük fel, hogy egy méretű, várható értékű és szórású normális eloszlásból vett minta, egy méretű, várható értékű és szórású normális eloszlásból vett minta. Végül tételezzük fel, hogy és függetlenek. A következő gyakorlatokban használni fogjuk a fent megadott alapjelölést, de jelezni fogjuk a mintafüggetlenséget.
Mutassuk meg, hogy az alább megadott eloszlásban a számláló szabadságfoka és a nevező szabadságfoka:
Mutassuk meg, hogy az alább megadott eloszlásban a számláló szabadságfoka és a nevező szabadságfoka:
Ezek a változók hasznosak a szórásnégyzet-hányados becsléseihez és tesztjeihez. A változók választása függ attól, hogy vajon a és várható értékek ismertek-e vagy sem. Rendszerint a várható értékek ismeretlenek és így a 18. Gyakorlat statisztikáját használjuk.
A alap véletlen változó kísérletben válasszuk az eloszlást. Változtassuk a szabadságfokot és figyeljük meg a valószínűségi sűrűségfüggvény fekvését és alakját, valamint az átlag és a standard szórás grafikonját. A paraméter kiválasztott értékeire végezzük el a kísérletet 1000-szer, 10-esével frissítve és látjuk az empirikus sűrűségfüggvény és momentumok konvergenciáját a valódi sűrűségfüggvényhez és momentumokhoz.