]>
Tételezzük fel, hogy van egy alap véletlen kísérletünk, és hogy egy valós értékű valószínűségi változó, erre a kísérletre vonatkozó átlaggal és standard szórással. Továbbá jelölje
a -adik momentumot. Speciálisan megjegyezzük, hogy , , és . Tételezzük fel, hogy .
Az alapkísérletet ismételjük meg -szer, hogy kapjunk egy új, összetett kísérletet az független, véletlen változók egy sorozatát, melyeknek ugyanaz az eloszlása, mint az változóé. A statisztikai szóhasználatban egy elemű véletlen minta mely az eloszlásból lett véve. Emlékeztetünk arra, hogy a minta átlaga
adatok közepének természetes mértéke és az eloszlás várható értékének természetes becslése. Ebben a részben statisztikákat származtatunk, amelyek az adatok szórásának és a szórásnégyzetének természetes becslései. A statisztikák, amelyeket származtatunk, különböznek, attól függően, hogy vajon ismert, vagy ismeretlen; ezért -re úgy hivatkozunk, mint a becslési problémájához tartozó zavaró paraméterre.
Először tételezzük fel, hogy ismert. Bár ez majdnem mindig egy mesterséges feltételezés, kezdetnek jó lesz, mivel viszonylag könnyen vizsgálható.
Mutassuk meg, hogy egy elemű véletlen mintából vett mintaátlag, melynek eloszlása eloszlásával egyezik meg.
Mutassuk meg az 1. gyakorlat eredményét felhasználva, hogy
Speciálisan 2 (a) azt jelenti, hogy egy torzítatlan becslése -nek.
Használjuk fel a kovariancia alaptulajdonságait annak megmutatására, hogy . Ebből következik, hogy a mintaátlag és a speciális mintaszórásnégyzet korrelálatlanok, ha és aszimptotikusan korrelálatlanok minden esetben.
A speciális szórásnégyzet négyzetgyöke a mintaszórásnégyzetnek egy speciális verziója, melyet -szel jelölünk.
Felhasználva a Jensen egyenlőtlenséget mutassuk meg, hogy . Így, egy torzított becslés, ami tart alsó becsléséhez.
Mutassuk meg, hogy ha konstans, akkor
Vizsgáljuk most azt a életszerűbb esetet, amelyben ismert. Ebben az esetben az átlag természetes megközelítése valamilyen értelemben ahol . Úgy tünhet, hogy az átlagot osztani kell -nel. Azonban egy másik megközelítés az, hogy bármilyen más konstanssal osztva torzítatlan becslést kapunk -re.
Algebrai ismereteket használva mutassuk meg, hogy
A 6. gyakorlat eredményét és a várható érték alaptulajdonságait felhasználva mutassuk meg, hogy
A 7. gyakorlatból következően
torzítatlan becslése -nek; elnevezése: a minta szórásnégyzete. Gyakorlati szempontból, ha nagy, akkor nincs nagy különbség aközött, hogy , vagy van a nevezőben.
A következő alternatív formula közvetlenül következik a 6. gyakorlatból és bizonyos célokhoz jobb is.
Mutassuk meg, hogy
Az előző gyakorlat formuláját és a nagy számok (erős) törvényét használva mutassuk meg, hogy ha 1 valószínűséggel.
Mutassuk meg, hogy ha konstans, akkor
Mutassuk meg, hogy
A minta szórásnégyzetének a négyzetgyöke aminta standard szórása, amelyet -vel jelölünk.
A Jensen egyenlőtlenséget felhasználva mutassuk meg, hogy . Így egy torzított becslés, ami alsó becsléséhez tart.
Ebben a részben néhány összefüggést vezetünk le a minta szórásnégyzetére, az átlag és a szórásnégyzet közötti kovarianciára. Az első néhány gyakorlatban megmutatjuk, hogy
Ellenőrizzük le a következő eredményt. Útmutatás: A kifejezés jobb oldalán vegyük az összeget tagonként. Fejtsük ki a kifejezést, vegyük az összeget tagonként.
Ebből következik, hogy a 13. gyakorlat kifejtésében szereplő kifejezésében lévő tagok összes páronként vett kovarianciáinak az összege.
Tételezzük fel, hogy . Ellenőrizzük a következő eredményeket. (Útmutatás: Az , kifejezésben adjunk hozzá és vonjunk is ki -t, fejtsük ki és használjuk fel a függetlenséget)
Végül vezessük le a -re vonatkozó formulát, megmutatva, hogy
Mutassuk meg, hogy . Ésszerűnek tűnik ez?
Mutassuk meg, hogy ha .
Hasonló technikát használva mutassuk meg, hogy . Speciálisan megjegyezzük, hogy . S ismét a minta átlaga és szórásnégyzete korrelálatlan, ha , egyébként aszimpotikusan korrelált.
Ebben a projektben sok applet a minket érdekő véletlen változóval kapcsolatos kísérletek szimulációja. Amikor végrehajtunk egy szimulációt, Ön a kísérlet független ismétléseit hajtja végre. A legtöbb esetben az applet kijelzi az eloszlás standard szórását, mind numerikusan egy táblázatban, mind grafikusan az oszlopdiagramon a piros vízszintes sáv szélességeként.
A pénzérme kísérletben, a fejek száma a véletlen változó. Végezzük el a szimulációt 1000-szer, minden tízediknél frissítve és figyeljük meg a minta standard szórásának a konvergenciáját az eloszlás elméleti szórásához.
A párosítási kísérlet szimulációjában a párok száma a véletlen változó. Végezzük el a szimulációt 1000-szer, minden tizediknél frissítve és figyeljük meg a minta standard szórásának a konvergenciáját az eloszlás elméleti szórásához.
Végezzük el az exponenciális kísérlet szimulációját 1000-szer, minden tizediknél frissítve és figyeljük meg a minta standard szórásának a konvergenciáját az eloszlás elméleti szórásához.
A minta átlagát és standard szórását - mint a középérték és a terjedelem mérőszámait - gyakran kiszámítják a hipotézis felállításához végzett adatvizsgálatoknál.
Számítsuk ki a mintaátlagot és a standard szórást, valamint ábrázoljuk a sűrűsághisztogramot a Michelson által mért fénysebesség adatokra!
Számítsuk ki a mintaátlagot és a standard szórást, valamint ábrázoljuk a sűrűsághisztogramot a Cavendish által mért Föld sűrűségi adatokra!
Vizsgáljuk meg a M&M adatokat!
Vizsgáljuk meg a Fisher féle nőszirom adatokat. Számítsuk ki a mintaátlagot és a standard szórást, valamint ábrázoljuk a sűrűsághisztogramot a sziromlevél hosszára az alábbi megszorítások szerint! Hasonlítsuk össze az eredményeket!
Vizsgáljuk meg a Kabóca adatokat! Számítsuk ki a mintaátlagot és a standard szórást, valamint ábrázoljuk a sűrűsághisztogramot a testsúlyra az alábbi megszorításokkal! Az eredményeket hasonlítsuk össze!
Tételezzük fel, hogy az aktuális adatok helyett osztályokra bontott gyakorisági eloszlásunk van. Az osztópontok: , és a gyakoriságok: . Így
Ebben az esetben a mintaátlag és a szórásnégyzet közelítő értékei
Feltételezik, hogy mindegyik osztály adatértékei az osztópontok által jól vannak reprezentálva.
Az interaktív hisztogramban válasszuk ki az átlagot és a szórást. Állítsuk be az osztályszéleséget 0.1 értékre és konstruáljunk egy gyakorisági eloszlást legalább hat, nem üres osztállyal és legalább 10 értékkel. Számítsuk ki manuálisan az átlagot, a szórásnégyzetet és a standard szórást és ellenőrizzük, ugyanazt az értéket kaptuk-e, mint az applet!
Az interaktív hisztogramban válasszuk ki az átlagot és a szórást. Állítsuk be az osztályszéleséget 0.1 értékre és konstruáljunk egy eloszlást az alant megadott típusonként legalább 30 értékkel. Ekkor növeljük az osztályszélességet a négy érték mindegyikénél. Amint végrehajtjuk ezeket az operációkat, változni fog az átlag ± standard szórás ábrája.
Az interaktív hisztogramban konstruáljunk egy olyan eloszlást, ami a lehető legnagyobb standard szórással rendelkezik.
A 28. gyakolatban adott válaszára alapozva jelemezze azokat az eloszlásokat, amik (rögzített intervallumon) a lehető legnagyobb standard szórással rendelkeznek.