]>
Ebben a fejezetben a khí-négyzet eloszlással foglalkozunk, ami egy alapvető fontosságú eloszlás a matematikai statisztikában. Például találkozhatunk vele normális eloszlásból vett minta empirikus szórásnégyzetének (vagy más szóval empirikus varianciájának) számításakor, vagy illeszkedésvizsgálatnál.
Minden esetén a alakparaméterű és 2 skála-paraméterű gamma eloszlást más szóval szabadsági fokú khí-négyzet eloszlásnak nevezik.
Igazoljuk, hogy az szabadsági fokú khí-négyzet eloszlás sűrűségfüggvénye
A valószínűségi változók kísérletében válasszuk a khí-négyzet eloszlást. Változtassuk az paraméter értékét, és figyeljük meg a sűrűségfüggvény alakját! Néhány rögzített értékre szimuláljunk 1000 kísérletet (frissítsük az ábrát minden tizedik után), és figyeljük meg, hogyan konvergál az empirikus sűrűségfüggvény a valódi sűrűségfüggvényhez!
Igazoljuk, hogy a 2 szabadsági fokú khí-négyzet eloszlás megegyezik a 2 skála-paraméterű exponenciális eloszlással!
Vázoljuk a khí-négyzet sűrűségfüggvény grafikonját az alábbi esetek mindegyikében:
Az eloszlásfüggvény és a kvantilis függvény nem írható fel egyszerű zárt alakban. Közelítő értékeit meghatározhatjuk a khí-négyzet eloszlás táblázata, a kvantilis applet, vagy sok matematikai statisztikai programcsomag segítségével.
A kvantilis appletben válasszuk a khí-négyzet eloszlást! Változtassuk a paraméter értékét, és figyeljük meg a sűrűség- és az eloszlásfüggvény alakját! Az alábbi esetek mindegyikében határozzuk meg a mediánt, az alsó és felső kvantilis értékét és az interkvantilis terjedelmet!
A khí-négyzet eloszlás várható értéke, szórásnégyzete, momentumai és momentum generáló függvénye megkaphatók a gamma eloszlásra kapott eredmények speciális eseteiként. A következő feladatokban tegyük fel, hogy khí-négyzet eloszlású szabadsági fokkal.
Igazoljuk, hogy
Igazoljuk, hogy a rendű momentumra
Igazoljuk, hogy a momentum generáló függvény a következő:
A valószínűségi változók kísérletében válasszuk a khí-négyzet eloszlást! Változtassuk az paraméter értékét, és figyeljük meg a várható értéket és szórást jelölő intervallum helyét és hosszát! Néhány értékre szimuláljunk 1000 kísérletet (frissítsük az ábrát minden tizedik után), és figyeljük meg, hogyan konvergálnak az empirikus momentumok a valódi momentumokhoz!
Legyen standard normális eloszlású. A változók cseréjéről tanultak felhasználásával igazoljuk, hogy 1 szabadsági fokú khí-négyzet eloszlású.
A momentum generáló függvény, vagy a gamma eloszlás tulajdonságait használva igazoljuk, hogy ha khí-négyzet eloszlású szabadsági fokkal, pedig khí-négyzet eloszlású szabadsági fokkal, valamint és függetlenek, akkor szintén khí-négyzet eloszlású, szabadsági fokainak száma pedig .
Legyen független standard normális eloszlású változók sorozata (vagyis egy elemű véletlen minta standard normális háttéreloszlásból).Az előző két feladat eredményeit felhasználva igazoljuk, hogy
khí-négyzet eloszlású szabadsági fokkal.
Az előző feladatban adott reprezentáció az oka annak, hogy a khí-négyzet eloszlás külön nevet kapott, hisz független normális eloszlású változók négyzetösszege gyakran előfordul a statisztikai alkalmazásokban. Másrészt a következő feladatunk értelmében minden gamma eloszlású valószínűségi változó átskálázható khí-négyzet eloszlásúvá.
Legyen gamma eloszlású alak- és skála-paraméterrel. Igazoljuk, hogy khí-négyzet eloszlású szabadsági fokkal.
Kilőttek egy rakétát a síkbeli koordinátarendszer origójában lévő célpont irányába. A rakéta becsapódási helye , ahol és független normális eloszlásúak 0 várható értékkel és 100 szórásnégyzettel. A rakéta akkor rombolja le a célpontot, ha annak 20 egységnyi környezetében landol. Mi ennek a valószínűsége?
A centrális határeloszlás-tételből és a gamma eloszlásra vonatkozó korábbi eredményeinkből következik, hogy ha nagy, az szabadsági fokú khí-négyzet eloszlás közelíthető normális eloszlással, melynek várható értéke , szórásnégyzete pedig . Pontosabban, ha khí-négyzet eloszlású szabadsági fokkal, akkor az alábbi standardizáltja eloszlásban konvergál a standard normális eloszláshoz, amint
A valószínűségi változók kísérletében válasszuk a khí-négyzet eloszlást! Kezdetben legyen , majd növeljük értékét! Figyeljük meg a sűrűségfüggvény alakját! Néhány értékre szimuláljunk 1000 kísérletet (frissítsük az ábrát minden tizedik után), és figyeljük meg, hogyan konvergál az empirikus sűrűségfüggvény a valódi sűrűségfüggvényhez!
Legyen khí-négyzet eloszlású szabadsági fokkal. Határozzuk meg a következő mennyiségek valódi értékét (a kvantilis applet segítségével), és közelítsük is őket a normális approximációval. Vessük össze a közelítő értékeket a valódi értékekkel!