]> Az F eloszlás
  1. Virtual Laboratories
  2. 4. Nevezetes eloszlások
  3. 1
  4. 2
  5. 3
  6. 4
  7. 5
  8. 6
  9. 7
  10. 8
  11. 9
  12. 10
  13. 11
  14. 12
  15. 13
  16. 14
  17. 15

6. Az F eloszlás

Ebben a fejezetben egy olyan eloszlással foglalkozunk, mely igen fontos a matematikai statisztikában. Nevezetesen, ilyen eloszlású normális eloszlású mintákból képzett négyzetösszegek hányadosa.

Sűrűségfüggvény

Legyen U khí-négyzet eloszlású m szabadsági fokkal, V khí-négyzet eloszlású n szabadsági fokkal, és legyenek U és V függetlenek. Legyen

X U m V n .

Igazoljuk, hogy X sűrűségfüggvénye

f x m n 2 m 2 n 2 m n m 2 x m 2 2 1 m n x m n 2 ,  x 0 .

Az 1. feladatban adott sűrűségfüggvénnyel definiált eloszlást nevezik F eloszlásnak, melynek paraméterei m szabadsági fok a számlálóban és n szabadsági fok a nevezőben. Tömörebben ezt (m,n) szabadsági fokú F eloszlásnak nevezhetjük. Az F eloszlást először George Snedecor írta le, a nevét pedig Sir Ronald Fisher-ről kapta.

A valószínűségi változók kísérletében válasszuk az F eloszlást. Változtassuk a paraméterek értékeit, és figyeljük meg a sűrűségfüggvény alakját. Néhány paraméterválasztás mellett szimuláljunk 1000 kísérletet (frissítsük az ábrát minden tizedik után), és figyeljük meg, hogyan konvergál az empirikus sűrűségfüggvény a valódi sűrűségfüggvényhez!

Vázoljuk az 1. feladatban meghatározott F sűrűségfüggvény grafikonját! Ehhez igazoljuk, hogy

  1. f először növekvő, majd csökkenő, a maximumát (azaz a móduszát) az x m 2 m n 2 helyen veszi fel,
  2. f x 0  amint   x .

Tehát az F eloszlás unimodális, de nem szimmetrikus.

Az eloszlásfüggvény és a függvény nem írható fel zárt elemi alakban. Közelítő értékeit azonban megkaphatjuk a kvantilis applet, vagy sok matematikai statisztikai programcsomag segítségével.

A kvantilis appletben válasszuk az F eloszlást! Változtassuk a paraméterértékeket, és figyeljük meg a sűrűség- és eloszlásfüggvények alakjait. Az alábbi esetek mindegyikében határozzuk meg a mediánt, az alsó és a felső kvartilis értékét és az interkvartilis terjedelmet:

  1. m 5 ,  n 5 ;
  2. m 5 ,  n 10 ;
  3. m 10 ,  n 5 ;
  4. m 10 ,  n 10 .

Momentumok

Legyen X (m,n) szabadsági fokú F eloszlású. Az 1. feladatban adott reprezentáció segítségével meghatározhatjuk a várható értéket, a varianciát és egyéb momentumokat.

Igazoljuk, hogy

  1. X ha n 0 2 ,
  2. X n n 2 ha n 2 .

Tehát a várható érték csak a nevezőben lévő szabadsági fokok számától függ.

Igazoljuk, hogy

  1. X nincs definiálva, ha n 0 2 ,
  2. X ha n 2 4 ,
  3. ha n 2 , akkor X 2 n n 2 2 m n 2 m n 4 .

A valószínűségi változók kísérletében válasszuk az F eloszlást! Változtassuk a paraméterértékeket, és figyeljük meg a várható értéket és szórást jelölő intervallum helyét és hosszát! Néhány paraméterértékre szimuláljunk 1000 kísérletet (frissítsük az ábrát minden tizedik után), és figyeljük meg, hogyan konvergálnak az empirikus momentumok a valódi momentumokhoz!

Igazoljuk, hogy

  1. X k ha n 0 2 k ,
  2. ha n 2 k , akkor X k m 2 k 2 n 2 k 2 m 2 n 2 n m k .

Transzformációk

Legyen X F eloszlású m szabadsági fokkal a számlálóban és n szabadsági fokkal a nevezőben. Igazoljuk, hogy az 1 X valószínűségi változó (n,m) szabadsági fokú F eloszlású!

Tegyük fel, hogy T t eloszlású n szabadsági fokkal. Igazoljuk, hogy ekkor X T 2 F eloszlású 1 szabadsági fokkal a számlálóban és n szabadsági fokkal a nevezőben.

  1. Virtual Laboratories
  2. 4. Nevezetes eloszlások
  3. 1
  4. 2
  5. 3
  6. 4
  7. 5
  8. 6
  9. 7
  10. 8
  11. 9
  12. 10
  13. 11
  14. 12
  15. 13
  16. 14
  17. 15