]>
Ebben a fejezetben egy olyan eloszlással foglalkozunk, mely igen fontos a matematikai statisztikában. Nevezetesen, ilyen eloszlású normális eloszlású mintákból képzett négyzetösszegek hányadosa.
Legyen khí-négyzet eloszlású szabadsági fokkal, khí-négyzet eloszlású szabadsági fokkal, és legyenek és függetlenek. Legyen
Igazoljuk, hogy sűrűségfüggvénye
Az 1. feladatban adott sűrűségfüggvénnyel definiált eloszlást nevezik eloszlásnak, melynek paraméterei szabadsági fok a számlálóban és szabadsági fok a nevezőben. Tömörebben ezt (m,n) szabadsági fokú eloszlásnak nevezhetjük. Az eloszlást először George Snedecor írta le, a nevét pedig Sir Ronald Fisher-ről kapta.
A valószínűségi változók kísérletében válasszuk az eloszlást. Változtassuk a paraméterek értékeit, és figyeljük meg a sűrűségfüggvény alakját. Néhány paraméterválasztás mellett szimuláljunk 1000 kísérletet (frissítsük az ábrát minden tizedik után), és figyeljük meg, hogyan konvergál az empirikus sűrűségfüggvény a valódi sűrűségfüggvényhez!
Vázoljuk az 1. feladatban meghatározott sűrűségfüggvény grafikonját! Ehhez igazoljuk, hogy
Tehát az eloszlás unimodális, de nem szimmetrikus.
Az eloszlásfüggvény és a függvény nem írható fel zárt elemi alakban. Közelítő értékeit azonban megkaphatjuk a kvantilis applet, vagy sok matematikai statisztikai programcsomag segítségével.
A kvantilis appletben válasszuk az eloszlást! Változtassuk a paraméterértékeket, és figyeljük meg a sűrűség- és eloszlásfüggvények alakjait. Az alábbi esetek mindegyikében határozzuk meg a mediánt, az alsó és a felső kvartilis értékét és az interkvartilis terjedelmet:
Legyen (m,n) szabadsági fokú eloszlású. Az 1. feladatban adott reprezentáció segítségével meghatározhatjuk a várható értéket, a varianciát és egyéb momentumokat.
Igazoljuk, hogy
Tehát a várható érték csak a nevezőben lévő szabadsági fokok számától függ.
Igazoljuk, hogy
A valószínűségi változók kísérletében válasszuk az eloszlást! Változtassuk a paraméterértékeket, és figyeljük meg a várható értéket és szórást jelölő intervallum helyét és hosszát! Néhány paraméterértékre szimuláljunk 1000 kísérletet (frissítsük az ábrát minden tizedik után), és figyeljük meg, hogyan konvergálnak az empirikus momentumok a valódi momentumokhoz!
Igazoljuk, hogy
Legyen eloszlású szabadsági fokkal a számlálóban és szabadsági fokkal a nevezőben. Igazoljuk, hogy az valószínűségi változó (n,m) szabadsági fokú eloszlású!
Tegyük fel, hogy eloszlású szabadsági fokkal. Igazoljuk, hogy ekkor eloszlású 1 szabadsági fokkal a számlálóban és szabadsági fokkal a nevezőben.