]> Bevezetés
  1. Virtual Laboratories
  2. 4. Nevezetes eloszlások
  3. 1
  4. 2
  5. 3
  6. 4
  7. 5
  8. 6
  9. 7
  10. 8
  11. 9
  12. 10
  13. 11
  14. 12
  15. 13
  16. 14
  17. 15

1. Bevezetés

Ebben a fejezetben nevezetes paraméteres eloszláscsaládokat tárgyalunk. Néhány esetben azért fontos egy eloszlás, mert más eloszlások limeszeként áll elő. Más esetekben azért hasznos egy paraméteres eloszláscsalád, mert véletlen jelenségek széles körét modellezhetjük vele. Tipikusan már néhány paraméter (többnyire egy vagy kettő) elég ahhoz, hogy kellően gazdag eloszláscsaládot kapjunk. Általános elv, hogy jelenségek modellezésénél minél kevesebb paramétert próbálunk használni. Tekinthetjük ezt az úgynevezett Ockham borotvája elv speciális esetének (William Ockham angol ferences szerzetes volt). Ez az elv azt mondja, hogy egy jelenséget a lehető legegyszerűbb modellel érdemes leírni.

Néhány fontos paraméteres eloszláscsaládot a jegyzetben nem itt tárgyalunk, mert természetes módon kapcsolódnak más témakörökhöz. Ezek a következők:

Mielőtt speciális paraméteres eloszláscsaládokat tanulmányoznánk, megvizsgálunk két általános paraméteres eloszláscsalád típust. Az ezek után következő paraméteres eloszláscsaládok jelentős része ezeknek speciális esetei.

Hely- és skála-paraméteres eloszláscsaládok

Tegyük fel, hogy a Z valós értékű valószínűségi változó folytonos eloszlású g sűrűség- és G eloszlásfüggvénnyel. Legyenek a és b konstansok, b 0 . Igazoljuk, hogy ekkor az X a b Z valószínűségi változó f sűrűség- és F eloszlásfüggvényére

  1. F x G x a b ,  x ,
  2. f x 1 b g x a b ,  x .

Ezt a kétparaméteres eloszláscsaládot nevezik egy adott eloszláshoz tartozó hely- és skála-paraméteres családnak, a a hely-paraméter, b pedig a skála-paraméter. Ha rögzítjük a b 1 értéket, akkor egy egyparaméteres családot kapunk, ezt nevezhetjük hely-paraméteres családnak. Ugyanígy, ha az a 0 értéket rögzítjük, akkor az úgynevezett skála-paraméteres családot kapjuk.

Az alábbi állítások szemléletes képet adnak a hely- és skála-paraméterek jelentéséről:

  1. Egy g sűrűségfüggvényű eloszláshoz tartozó hely-paraméteres családból származó f sűrűségfüggvény nem más, mint g eltoltja: a egységgel jobbra, ha a 0 és a egységgel balra, ha a 0 .
  2. A g sűrűségfüggvényhez tartozó skála-paraméteres családból választott f sűrűségfüggvény úgy kapható meg g -ből, hogy ha b 1 , akkor a g függvény grafikonját a b faktorral vízszintesen nyújtjuk, függőlegesen összenyomjuk. Hasonlóan, ha 0 b 1 , akkor g grafikonját a b faktorral vízszintesen összenyomjuk, függőlegesen nyújtjuk.

Igazoljuk, hogy ha Z módusza z , akkor X módusza x a b z .

A következő feladatban azt vizsgáljuk meg, hogy viszonyul egymáshoz Z és X kvantilis függvénye.

Igazoljuk, hogy

  1. F p a b G p ,  p 0 1 ,
  2. ha z a Z változó p -kvantilise, akkor x a b z az X változó p -kvantilise.

Igazoljuk, hogy az a a b intervallumokon vett egyenletes eloszlások - ahol a és b 0 paraméterek, egy hely- és skála-paraméteres családot alkotnak!

Legyen g z z ,  z 0 Ez az 1 paraméterű exponenciális eloszlás sűrűségfüggvénye.

  1. Határozzuk meg a g sűrűségfüggvénnyel egy hely- és skála-paraméterű családba tartozó sűrűségfüggvényeket!
  2. Hogyan néznek ki ezen függvények grafikonjai?

Az előző feladatban kapott eloszlásokat nevezik kétparaméteres exponenciális eloszlásoknak.

Legyen g z 1 1 z 2 ,  z . Ez a Cauchy eloszlás sűrűségfüggvénye (amelyet Augustin Cauchy-ról neveztek el).

  1. Határozzuk meg a vele egy hely- és skála-paraméteres családba tartozó sűrűségfüggvényeket!
  2. Vázoljuk ezek grafikonját!

A következő feladat a Z és X változók várható értékei és szórásnégyzetei közti összefüggéseket tárja fel.

Igazoljuk, hogy

  1. E X a b E Z ,
  2. var X b 2 var Z .

A következő feladat a Z és X változók momentum generáló függvényei közti összefüggést tárja fel.

Legyen Z momentum generáló függvénye M . Igazoljuk, hogy ekkor X N -nel jelölt momentum generáló függvényére

N t a t M b t .

Azt mondjuk, hogy két valós valós értékű valószínűségi eloszlás azonos típusú ha közös hely- és skála-paraméteres családba tartoznak. Tehát ha az eloszlásfüggvényeik F és G , akkor pontosan akkor azonos típusúak, ha léteznek a és b konstansok, hogy b 0 és

F x G x a b ,  x .

Igazoljuk, hogy az azonos típusú eloszlás fogalma egy ekvivalencia reláció az összes, -en értelmezett eloszlások halmazán!

Exponenciális eloszláscsalád

Legyen X egy S értékű valószínűségi változó, és tegyük fel, hogy X eloszlása egy θ paramétertől függ, ahol θ a Θ halmaz eleme. Általában akár X , akár θ lehet vektorértékű. Legyen f θ az X változó súly-, vagy sűrűségfüggvénye S -en, ahol θ Θ .

Ekkor X lehetséges eloszlásai egy k -paraméteres exponenciális eloszláscsaládot alkotnak, ha S nem függ θ -tól, és a valószínűségi súly-, vagy sűrűségfüggvény az alábbi formában írható

f θ x α θ g x i 1 k β i θ h i x ,  x S ,  θ Θ ,

ahol α és β 1 β 2 β k valós értékű, Θ -n értelmezett függvények, és g , illetve h 1 h 2 h k valós értékű, S -en értelmezett függvények. Feltesszük továbbá, hogy k a lehető legkisebb természetes szám, amellyel a fenti felírás lehetséges. A β 1 θ β 2 θ β k θ paramétereket szokás természetes paramétereknek, a h 1 X h 2 X h k X valószínűségi változókat pedig természetes statisztikának nevezni. A definíció első ránézésre ijesztő lehet, azonban az exponenciális eloszláscsaládok fontosak, mert jó tulajdonságokkal rendelkeznek, és mert sok, gyakran használt eloszláscsalád tartozik ebbe a kategóriába.

Legyen X binomiális eloszlású n és p paraméterekkel, ahol n fix, és p 0 1 . Igazoljuk, hogy ezek az eloszlások egy egyparaméteres exponenciális eloszláscsaládot alkotnak, ahol a természetes paraméter p 1 p , a természetes statisztika pedig X . Vegyük észre, hogy a természetes paraméter a p -hez tartozó esély arány paraméter logaritmusa. Ez a függvény az úgynevezett logisztikus függvény inverze.

Legyen X Poisson eloszlású a 0 paraméterrel. Igazoljuk, hogy ezek az eloszlások egy egyparaméteres exponenciális eloszláscsaládot alkotnak a természetes paraméterrel, és X természetes statisztikával.

Legyen X negatív binomiális eloszlású k és p paraméterekkel, ahol k fix, és p 0 1 . Igazoljuk, hogy ezek az eloszlások egy egyparaméteres exponenciális eloszláscsaládot határoznak meg, ahol a természetes paraméter 1 p , a természetes statisztika pedig X .

Sokszor az X változók eloszlásai nem határoznak meg exponenciális eloszláscsaládot, ha az eloszlások tartója, azaz x S f θ x 0 függ a θ paramétertől.

Legyen X egyenletes eloszlású a 0 a intervallumon, ahol a 0 . Igazoljuk, hogy X lehetséges eloszlásai nem alkotnak exponenciális eloszláscsaládot!

A következő feladat értelmében ha egy exponenciális eloszláscsaládból veszünk mintákat, a véletlen minta eloszlása is exponenciális eloszláscsalád ugyanazzal a természetes statisztikával.

Tegyük fel, hogy az X valószínűségi változó eloszlása egy k paraméteres exponenciális eloszláscsaládból való, melynek természetes paraméterei β 1 β 2 β k , természetes statisztikái pedig h 1 X h 2 X h k X . Legyen X X 1 X 2 X n egy n elemű független valószínűségi változókból álló minta, melyek mind ugyanolyan eloszlásúak, mint X . Igazoljuk, hogy X egy k paraméteres exponenciális eloszláscsalád, melynek természetes paraméterei β 1 β 2 β k , természetes statisztikái pedig

u j X i 1 n h j X i ,  j 1 2 k .
  1. Virtual Laboratories
  2. 4. Nevezetes eloszlások
  3. 1
  4. 2
  5. 3
  6. 4
  7. 5
  8. 6
  9. 7
  10. 8
  11. 9
  12. 10
  13. 11
  14. 12
  15. 13
  16. 14
  17. 15