]> Többdimenziós normális eloszlás
  1. Virtual Laboratories
  2. 4. Nevezetes eloszlások
  3. 1
  4. 2
  5. 3
  6. 4
  7. 5
  8. 6
  9. 7
  10. 8
  11. 9
  12. 10
  13. 11
  14. 12
  15. 13
  16. 14
  17. 15

7. Többdimenziós normális eloszlás

Kétdimenziós normális eloszlás

Definíció

Legyenek U és V független, standard normális eloszlású valószínűségi változók. A következő öt paraméterre lesz szükségünk: μ 1 , μ 2 , σ 1 0 , σ 2 0 és ρ 1 1 . Legyenek X és Y a következő valószínűségi változók:

X μ 1 σ 1 U ,  Y μ 2 σ 2 ρ U σ 2 1 ρ 2 V .

Ekkor az X Y pár együttes eloszlását nevezik kétdimenziós normális eloszlásnak μ 1 μ 2 σ 1 σ 2 ρ paraméterekkel.

Alaptulajdonságok

A következő feladatokban használjuk fel a várható érték, szórásnégyzet, kovariancia és a normális eloszlás tulajdonságait!

Igazoljuk, hogy X normális eloszlású μ 1 várható értékkel és σ 1 szórással!

Igazoljuk, hogy Y is normális eloszlású μ 2 várható értékkel és σ 2 szórással!

Igazoljuk, hogy X Y ρ .

Igazoljuk, hogy X és Y pontosan akkor függetlenek, ha X Y 0 .

Tehát ha két valószínűségi változó együttesen normális eloszlású, akkor pontosan akkor függetlenek, ha korrelálatlanok.

A kétdimenziós normális eloszlás kísérletében változtatgassuk X és Y szórását! Figyeljük meg, hogyan változik a sűrűségfüggvény alakja! Most változtassuk a korrelációt, és vegyük észre, hogy X és Y sűrűségfüggvényi nem változnak! Néhány paraméterválasztás mellett szimuláljunk 2000 kísérletet (frissítsük az ábrát minden tizedik után), figyeljük meg a pontfelhőt, valamint azt, hogyan konvergál az empirikus sűrűségfüggvény a valódi sűrűségfüggvényhez!

Sűrűségfüggvény

A változócserére vonatkozó formula segítségével most meghatározzuk az X Y együttes sűrűségfüggvényét.

Igazoljuk, hogy jelen esetben az inverz transzformáció az alábbi:

u x μ 1 σ 1 ,  v x μ 1 σ 1 1 ρ 2 ρ y μ 2 σ 2 1 ρ 2 .

Igazoljuk, hogy az előző feladatbeli transzformáció Jacobi mátrixának determinánsa

∂ u v ∂ x y 1 σ 1 σ 2 1 ρ 2 .

Vegyük észre, hogy a Jacobi mátrix determinánsa konstans, ez azért van, mert a leképezés lineáris.

Az előző feladat segítségével igazoljuk, hogy mivel U és V függetlenek, ezért az X Y vektor együttes sűrűségfüggvénye a következő

f x y 1 2 σ 1 σ 2 1 ρ 2 1 2 1 ρ 2 x μ 1 2 σ 1 2 2 ρ x μ 1 y μ 2 σ 1 σ 2 y μ 2 2 σ 2 2 ,  x y 2 .

Ha c egy konstans, akkor a x y 2 f x y c halmazt az f függvény szintvonalának nevezzük (ezek olyan görbék, melyek pontjaiban a sűrűségfüggvény értéke konstans).

Igazoljuk, hogy

  1. f szintvonalai μ 1 μ 2 középpontú ellipszisek,
  2. az ellipszisek tengelyei pontosan akkor párhuzamosak a koordinátatengelyekkel, ha ρ 0 .

A kétdimenziós normális eloszlás kísérletében néhány paraméterválasztás mellett szimuláljunk 2000 kísérletet (frissítsük az ábrát minden tizedik után), figyeljük meg a pontfelhőt, valamint azt, hogyan konvergál az empirikus sűrűségfüggvény a valódi sűrűségfüggvényhez!

Transzformációk

A következő feladatban azt látjuk be, hogy a kétdimenziós normális eloszlások családja zárt az affin transzformációkra nézve.

Legyen W a 1 X b 1 Y c 1 és Z a 2 X b 2 Y c 2 . A változók cseréjére vonatkozó formula segítségével igazoljuk, hogy W Z kétdimenziós normális eloszlású! Határozzuk meg a várható értékeket, a szórásnégyzeteket és a korrelációt!

Igazoljuk, hogy Y feltételes eloszlása az X x feltétel mellett normális az alábbi várható értékkel és szórásnégyzettel:

  1. Y X x μ 2 ρ σ 2 x μ 1 σ 1 ,
  2. Y X x σ 2 2 1 ρ 2 .

Az X és Y változók definíciója segítségével (ahol fontos, hogy U és V független standard normális eloszlásúak) igazoljuk, hogy

Y μ 2 ρ σ 2 X μ 1 σ 1 σ 2 1 ρ 2 V .

Ennek alapján adjunk egy másik bizonyítást a 12. feladat állítására! (Vegyük figyelembe, hogy X és Y függetlenek!)

A kétdimenziós normális eloszlás kísérletében legyen X szórása 1,5, Y szórása 0.5, a korreláció pedig 0.7.

  1. Szimuláljunk 1000 kísérletet, és frissítsük az ábrát mindegyik után!
  2. Minden egyes kísérletnél határozzuk meg Y X x értékét, ami Y jósolt értéke X ismeretében.
  3. Határozzuk meg az Y jósolt és valódi értékei közötti eltérések négyzetei átlagának gyökét!

A következő feladat jó alkalom a változócserére vonatkozó formula gyakorlására, és akkor is hasznos lesz, amikor a normális eloszlású változók szimulációját tárgyaljuk.

Ahogy eddig is, U és V független standard normális eloszlású valószínűségi változók, és legyenek R Θ az U V vektor polárkoordinátái, azaz U R Θ , V R Θ , ahol R 0 és 0 Θ 2 . Igazoljuk, hogy

  1. R sűrűségfüggvénye g r r 12 r 2 ,  r 0 ;
  2. Θ egyenletes eloszlású a 0 2 intervallumon;
  3. R és Θ függetlenek.

Az R változó eloszlását nevezik Rayleigh eloszlásnak (William Strutt, Lord Rayleigh tiszteletére). Ez az eloszlás a Weibull eloszláscsalád tagja, amelyet pedig Wallodi Weibull-ról neveztek el.

Általános többdimenziós normális eloszlás

Az általános többdimenziós normális eloszlás természetes általánosítása a fent tárgyalt kétdimenziós normális eloszlásnak. Ennek a tárgyalásához azonban némi lineáris algebrai ismeretre szükség van, mert a várható érték vektor és kovariancia mátrix bevezetése nélkül a képletek rendkívül bonyolultak lennének. Az alábbiakban A jelöli az A mátrix transzponáltját.

Standard normális eloszlás

Legyen Z Z 1 Z 2 Z n független standard normális eloszlású valószínűségi változókból álló vektor. Ekkor definíció szerint Z n -dimenziós standard normális eloszlású.

Igazoljuk, hogy Z 0 (az n -beli nullvektor).

Igazoljuk, hogy VC Z I (az n n méretű egységmátrix).

Igazoljuk, hogy Z valószínűségi sűrűségfüggvénye

g z 1 2 n 2 12 z z ,  z n .

Igazoljuk, hogy Z momentum generáló függvénye

t Z 12 t t ,  t n .

Általános normális eloszlás

Legyen most Z n -dimenziós standard normális eloszlású, továbbá μ n és A n n egy invertálható mátrix. Ekkor azt mondjuk, hogy az X μ A Z véletlen vektor n -dimenziós normális eloszlású.

Igazoljuk, hogy X μ .

Igazoljuk, hogy VC X A A és hogy ez a mátrix invertálható és pozitív definit.

Legyen V VC X A A . A többdimenziós változócserére vonatkozó tétel segítségével igazoljuk, hogy X valószínűségi sűrűségfüggvénye

f x 1 2 n 2 V 12 x μ V x μ ,  x n .

Igazoljuk, hogy X momentum generáló függvénye

t X μ t 12 t V t ,  t n .

Vegyük észre, hogy a transzformációban tekintett A mátrix nem egyértelmű, azonban a V , úgynevezett variancia-kovariancia mátrix egyértelmű. Általában egy adott V pozitív definit mátrixhoz sok invertálható A mátrix létezik, melyre A A V . Viszont lineáris algebrai tétel garantálja, hogy pontosan egy, a fenti tulajdonsággal rendelkező L alsó háromszög mátrix létezik.

Határozzuk meg az L alsó háromszög mátrixot a kétdimenziós normális eloszlás esetén!

Transzformációk

A többdimenziós normális eloszlások családja invariáns két fontos transzformáció típusra, az invertálható mátrixú affin transzformációkra és a koordináták részhalmazainak vételére.

Legyen X n -dimenziós normális eloszlású, és legyen a n , továbbá B n n invertálható. Igazoljuk, hogy Y a B X többdimenziós normális eloszlású. Határozzuk meg a várható érték vektorát és a variancia-kovariancia mátrixát!

Legyen X n -dimenziós normális eloszlású. Igazoljuk, hogy az X koordinátáinak tetszőleges permutációjával kapott vektor szintén n -dimenziós normális eloszlású! Határozzuk meg a várható érték vektort és a variancia-kovariancia mátrixot! Segítség: X koordinátáinak permutációja megfelel egy permutáció mátrixszal való szorzásnak (ez egy olyan, csupa nullából és egyből álló mátrix, melynek minden oszlopában és sorában pontosan egy darab egyes szerepel).

Legyen X X 1 X 2 X n n -dimenziós normális eloszlású. Igazoljuk, hogy ha k n , akkor W X 1 X 2 X k k -dimenziós normális eloszlású! Határozzuk meg a várható érték vektort és a variancia-kovariancia mátrixot!

A 26. feladat és a 27. feladat eredményeinek segítségével igazoljuk, hogy ha X X 1 X 2 X n n -dimenziós normális eloszlású, és i 1 i 2 i k különböző indexek sorozata, akkor W X i 1 X i 2 X i k k -dimenziós normális eloszlású.

Legyen X n -dimenziós normális eloszlású, a m , továbbá B m n olyan mátrix, melynek sorai lineárisan függetlenek (így speciálisan m n ). Igazoljuk, hogy Y a B X m -dimenziós normális eloszlású. Segítség: létezik egy olyan invertálható n n méretű C mátrix, melynek első m sora megegyezik B soraival. Ezután használjuk a 25. feladat és a 27. feladat eredményét!

Vegyük észre, hogy a 25., 26., 27. és 28. feladatban bizonyított állítások speciális esetei a 29. feladat állításának.

Legyen X n -dimenziós normális eloszlású, Y pedig m -dimenziós normális eloszlású véletlen vektor, továbbá legyenek X és Y függetlenek. Igazoljuk, hogy X Y eloszlása m n dimenziós normális eloszlás! Határozzuk meg a várható érték vektort és a variancia-kovariancia mátrixot!

Legyen X egy m -beli, Y pedig egy n -beli véletlen vektor úgy, hogy X Y m n -dimenziós normális eloszlású. Igazoljuk, hogy X és Y pontosan akkor függetlenek, ha X Y 0 (az m n méretű csupa nullákból álló mátrix).

  1. Virtual Laboratories
  2. 4. Nevezetes eloszlások
  3. 1
  4. 2
  5. 3
  6. 4
  7. 5
  8. 6
  9. 7
  10. 8
  11. 9
  12. 10
  13. 11
  14. 12
  15. 13
  16. 14
  17. 15