]>
Legyenek és független, standard normális eloszlású valószínűségi változók. A következő öt paraméterre lesz szükségünk: , , , és . Legyenek és a következő valószínűségi változók:
Ekkor az pár együttes eloszlását nevezik kétdimenziós normális eloszlásnak paraméterekkel.
A következő feladatokban használjuk fel a várható érték, szórásnégyzet, kovariancia és a normális eloszlás tulajdonságait!
Igazoljuk, hogy normális eloszlású várható értékkel és szórással!
Igazoljuk, hogy is normális eloszlású várható értékkel és szórással!
Igazoljuk, hogy
Igazoljuk, hogy és pontosan akkor függetlenek, ha .
Tehát ha két valószínűségi változó együttesen normális eloszlású, akkor pontosan akkor függetlenek, ha korrelálatlanok.
A kétdimenziós normális eloszlás kísérletében változtatgassuk és szórását! Figyeljük meg, hogyan változik a sűrűségfüggvény alakja! Most változtassuk a korrelációt, és vegyük észre, hogy és sűrűségfüggvényi nem változnak! Néhány paraméterválasztás mellett szimuláljunk 2000 kísérletet (frissítsük az ábrát minden tizedik után), figyeljük meg a pontfelhőt, valamint azt, hogyan konvergál az empirikus sűrűségfüggvény a valódi sűrűségfüggvényhez!
A változócserére vonatkozó formula segítségével most meghatározzuk az együttes sűrűségfüggvényét.
Igazoljuk, hogy jelen esetben az inverz transzformáció az alábbi:
Igazoljuk, hogy az előző feladatbeli transzformáció Jacobi mátrixának determinánsa
Vegyük észre, hogy a Jacobi mátrix determinánsa konstans, ez azért van, mert a leképezés lineáris.
Az előző feladat segítségével igazoljuk, hogy mivel és függetlenek, ezért az vektor együttes sűrűségfüggvénye a következő
Ha egy konstans, akkor a halmazt az függvény szintvonalának nevezzük (ezek olyan görbék, melyek pontjaiban a sűrűségfüggvény értéke konstans).
Igazoljuk, hogy
A kétdimenziós normális eloszlás kísérletében néhány paraméterválasztás mellett szimuláljunk 2000 kísérletet (frissítsük az ábrát minden tizedik után), figyeljük meg a pontfelhőt, valamint azt, hogyan konvergál az empirikus sűrűségfüggvény a valódi sűrűségfüggvényhez!
A következő feladatban azt látjuk be, hogy a kétdimenziós normális eloszlások családja zárt az affin transzformációkra nézve.
Legyen és . A változók cseréjére vonatkozó formula segítségével igazoljuk, hogy kétdimenziós normális eloszlású! Határozzuk meg a várható értékeket, a szórásnégyzeteket és a korrelációt!
Igazoljuk, hogy feltételes eloszlása az feltétel mellett normális az alábbi várható értékkel és szórásnégyzettel:
Az és változók definíciója segítségével (ahol fontos, hogy és független standard normális eloszlásúak) igazoljuk, hogy
Ennek alapján adjunk egy másik bizonyítást a 12. feladat állítására! (Vegyük figyelembe, hogy és függetlenek!)
A kétdimenziós normális eloszlás kísérletében legyen szórása 1,5, szórása 0.5, a korreláció pedig 0.7.
A következő feladat jó alkalom a változócserére vonatkozó formula gyakorlására, és akkor is hasznos lesz, amikor a normális eloszlású változók szimulációját tárgyaljuk.
Ahogy eddig is, és független standard normális eloszlású valószínűségi változók, és legyenek az vektor polárkoordinátái, azaz , , ahol és . Igazoljuk, hogy
Az változó eloszlását nevezik Rayleigh eloszlásnak (William Strutt, Lord Rayleigh tiszteletére). Ez az eloszlás a Weibull eloszláscsalád tagja, amelyet pedig Wallodi Weibull-ról neveztek el.
Az általános többdimenziós normális eloszlás természetes általánosítása a fent tárgyalt kétdimenziós normális eloszlásnak. Ennek a tárgyalásához azonban némi lineáris algebrai ismeretre szükség van, mert a várható érték vektor és kovariancia mátrix bevezetése nélkül a képletek rendkívül bonyolultak lennének. Az alábbiakban jelöli az mátrix transzponáltját.
Legyen független standard normális eloszlású valószínűségi változókból álló vektor. Ekkor definíció szerint -dimenziós standard normális eloszlású.
Igazoljuk, hogy (az -beli nullvektor).
Igazoljuk, hogy (az méretű egységmátrix).
Igazoljuk, hogy valószínűségi sűrűségfüggvénye
Igazoljuk, hogy momentum generáló függvénye
Legyen most -dimenziós standard normális eloszlású, továbbá és egy invertálható mátrix. Ekkor azt mondjuk, hogy az véletlen vektor -dimenziós normális eloszlású.
Igazoljuk, hogy .
Igazoljuk, hogy és hogy ez a mátrix invertálható és pozitív definit.
Legyen . A többdimenziós változócserére vonatkozó tétel segítségével igazoljuk, hogy valószínűségi sűrűségfüggvénye
Igazoljuk, hogy momentum generáló függvénye
Vegyük észre, hogy a transzformációban tekintett mátrix nem egyértelmű, azonban a , úgynevezett variancia-kovariancia mátrix egyértelmű. Általában egy adott pozitív definit mátrixhoz sok invertálható mátrix létezik, melyre . Viszont lineáris algebrai tétel garantálja, hogy pontosan egy, a fenti tulajdonsággal rendelkező alsó háromszög mátrix létezik.
Határozzuk meg az alsó háromszög mátrixot a kétdimenziós normális eloszlás esetén!
A többdimenziós normális eloszlások családja invariáns két fontos transzformáció típusra, az invertálható mátrixú affin transzformációkra és a koordináták részhalmazainak vételére.
Legyen -dimenziós normális eloszlású, és legyen , továbbá invertálható. Igazoljuk, hogy többdimenziós normális eloszlású. Határozzuk meg a várható érték vektorát és a variancia-kovariancia mátrixát!
Legyen -dimenziós normális eloszlású. Igazoljuk, hogy az koordinátáinak tetszőleges permutációjával kapott vektor szintén -dimenziós normális eloszlású! Határozzuk meg a várható érték vektort és a variancia-kovariancia mátrixot! Segítség: koordinátáinak permutációja megfelel egy permutáció mátrixszal való szorzásnak (ez egy olyan, csupa nullából és egyből álló mátrix, melynek minden oszlopában és sorában pontosan egy darab egyes szerepel).
Legyen -dimenziós normális eloszlású. Igazoljuk, hogy ha , akkor -dimenziós normális eloszlású! Határozzuk meg a várható érték vektort és a variancia-kovariancia mátrixot!
A 26. feladat és a 27. feladat eredményeinek segítségével igazoljuk, hogy ha -dimenziós normális eloszlású, és különböző indexek sorozata, akkor -dimenziós normális eloszlású.
Legyen -dimenziós normális eloszlású, , továbbá olyan mátrix, melynek sorai lineárisan függetlenek (így speciálisan ). Igazoljuk, hogy -dimenziós normális eloszlású. Segítség: létezik egy olyan invertálható méretű mátrix, melynek első sora megegyezik soraival. Ezután használjuk a 25. feladat és a 27. feladat eredményét!
Vegyük észre, hogy a 25., 26., 27. és 28. feladatban bizonyított állítások speciális esetei a 29. feladat állításának.
Legyen -dimenziós normális eloszlású, pedig -dimenziós normális eloszlású véletlen vektor, továbbá legyenek és függetlenek. Igazoljuk, hogy eloszlása dimenziós normális eloszlás! Határozzuk meg a várható érték vektort és a variancia-kovariancia mátrixot!
Legyen egy -beli, pedig egy -beli véletlen vektor úgy, hogy -dimenziós normális eloszlású. Igazoljuk, hogy és pontosan akkor függetlenek, ha (az méretű csupa nullákból álló mátrix).