]>
Ebben a fejezetben egy olyan eloszlással foglalkozunk, ami nagyon fontos a matematikai statisztikában. Nevezetesen, ilyen eloszlású egy normális eloszlásból származó minta átlagának az empirikus szórással való standardizáltja.
Legyen standard normális eloszlású, pedig chi-négyzet eloszlású szabadsági fokkal, továbbá és függetlenek. Legyen
A következő feladatban azt láthatjuk be, hogy sűrűségfüggvénye a következő függvény
Igazoljuk a következő lépések segítségével, hogy sűrűségfüggvénye az előbb megadott függvény!
A változó eloszlását nevezik szabadsági fokú Student féle eloszlásnak. Az eloszlás minden esetén jól definiált, de csak egész értékekre kapunk gyakorlati szempontból fontos eloszlást. Először William Gosset írta le ezt az eloszlást, aki a Student írói álnevet használta. Azon kívül, hogy az 1. feladat igazolja a sűrűségfüggvény alakját, egy fontos képet is ad a eloszlásról, miszerint a eloszlást kapunk, ha a 0 várható értékű normális eloszlás szórásnégyzetét egy bizonyos módon véletlenítjük.
A valószínűségi változók kísérletében válasszuk a Student eloszlást. Változtassuk az paraméter értékeit, és figyeljük meg a sűrűségfüggvény alakját. Néhány értékre szimuláljunk 1000 kísérletet (frissítsük az ábrát minden tizedik után), és figyeljük meg, hogyan konvergál az empirikus sűrűségfüggvény a valódi sűrűségfüggvényhez!
Vázoljuk a Student eloszlás sűrűségfüggvényét. Ehhez először igazoljuk, hogy az jelöléssel:
Speciálisan azt kaptuk, hogy az eloszlás unimodális (egycsúcsú
), és a módusza, mely egyben a mediánja is,
.
Az 1 szabadsági fokú eloszlást nevezik Cauchy eloszlásnak (ezt Augustin Cauchy-ról nevezték el). Igazoljuk, hogy ennek sűrűségfüggvénye
A Cauchy eloszlás sűrűségfüggvényét az alábbi függvény normálásával kapjuk
Vegyük észre, hogy az arkusz tangens függvény deriváltja. Egyes helyeken gráfját Agnesi boszorkányának nevezik az olasz matematikus, Maria Agnesi tiszteletére.
Az általános eloszlás eloszlásfüggvénye és kvantilis függvénye nem írható fel zárt elemi alakban. Közelítő értékeit azonban megkaphatjuk a eloszlás táblázata, a kvantilis applet, vagy sok matematikai statisztikai programcsomag segítségével. Azonban a Cauchy eloszlás speciális esetében egyszerű formulák adódnak.
Jelölje a Cauchy eloszlás eloszlásfüggvényét. Igazoljuk, hogy
A kvantilis appletben válasszuk a Student eloszlást. Változtassuk a paraméter értékeit, és figyeljük meg a sűrűség- és eloszlásfüggvények alakjait. Az alábbi esetek mindegyikében határozzuk meg a mediánt, az alsó és a felső kvartilis értékét és az interkvartilis terjedelmet!
Legyen Student féle -eloszlású szabadsági fokkal. A fent tárgyalt valószínűségi változó reprezentációsegítségével meghatározhatjuk várható értékét, szórásnégyzetét és egyéb momentumait.
Igazoljuk, hogy
Speciálisan a Cauchy eloszlásnak nem létezik a várható értéke.
Igazoljuk, hogy
Vegyük észre, hogy amint .
A valószínűségi változók kísérletében válasszuk a Student féle eloszlást! Változtassuk az paraméter értékét, és figyeljük meg a várható értéket és szórást jelölő intervallum helyét és hosszát! Az alábbi értékre szimuláljunk 1000 kísérletet (frissítsük az ábrát minden tizedik után), és vessük össze az empirikus momentumok viselkedését a 7. feladatban és a 8. feladatban kapott elméleti eredményekkel:
Igazoljuk, hogy
A korábbi feladatok megoldása során már észre vehettük, hogy a sűrűségfüggvény nagyon hasonlít a standard normális sűrűségfüggvényhez. Pontosabban, a hasonlóság a következőt jelenti:
Igazoljuk, hogy rögzített esetén
A jobb oldalon megjelenő függvény természetesen a standard normális eloszlás sűrűségfüggvénye.
A fenti valószínűségi változó reprezentációban a nagy számok erős törvényét használva igazoljuk, hogy 1 valószínűséggel
A eloszlás nagyobb súlyt helyez a nagy abszolút értékű számokra és kisebbet a nulla közeliekre, mint a standard normális eloszlás.
Legyen eloszlású szabadsági fokkal. Határozzuk meg a következő mennyiségek valódi értékét (a kvantilis applet segítségével), és közelítsük is őket a normális approximációval. Vessük össze a közelítő értékeket a valódi értékekkel!