]>
A párosítási kísérlet egy véletlen kísérlet, amít számos érdekes módon meg tudunk fogalmazni:
Ezek a kísérletek matematikai szempontból nyilvánvalóan ekvivalensek és megfelelnek egy, a populációból származó vektor véletlen permutációjának a kiválasztásának.
Itt van a fenti példák interpretációja:
Modellünk feltevése természetesen az, hogy egyenletes eloszlású permutációinak mintaterén. Az objektumok száma, a kísérlet alapparamétere. Vizsgálni fogjuk a populációból vett visszatevéses mintavétel esetét is, mivel az elemzés sokkal könnyebb, de mindazonáltal betekintést ad erre a mintavételre is. Ebben az esetben a halmazon független, azonos eloszlású valószínűségi változóknak egy sorozata.
Azt mondjuk, hogy a párosítás a -edik pozicióban jött létre, ha . Így , a párosítások száma valószínűségi változó, matematikailag a következőképpen definiálható:
ahol indikátor változó a -edik pozicióban létrejövő párosítás eseményére. A problémánk, hogy kiszámítsuk a párosítások számának eloszlását. Ez a valószínűségszámításban egy régi és ismert probléma, amit először Pierre-Remond Montmort vizsgált; ezért tiszteleti okokból néha, mint Montmort féle párosítási problémára hivatkozunk.
Oldjuk meg előszőr a párosítási problémát a könnyű esetben, amikor a mintavétel visszatevéses.
Mutassuk meg, hogy az minta Bernoulli kísérletnek egy sorozata, ahol a vizsgált esemény valószínűsége!
Következtessünk arra, hogy a párosítások száma, és paraméterű binomiális eloszlású.
Felhasználva a binomiális eloszlás alaperedményeit mutassuk meg, hogy
Így, a párosítások számának várható értéke és szórásnégyzete 1, tekintet nélkül -re, ami elsőre némileg meglepő eredmény.
Felhasználva az analízis egyik alapvető határértékét, mutassuk meg, hogy ha esetén.
Mint függvénye, ennek a kifejezésnek a jobboldala egy 1 paraméterű Poisson eloszlás sűrűségfüggvénye. Így a párosítások számának eloszlása 1 paraméterű Poisson eloszláshoz tart, ha növekszik. Ez egy speciális esete a Binomiális eloszlás Poisson eloszláshoz való konvergenciájának.
Most vizsgáljuk azt a valódi jelentőségű esetet, amikor a mintavétel visszatevés nélküli úgy, hogy elemeinek egy véletlen permutációja.
Ahhoz, hogy meg tudjuk adni sűrűségfüggvényét, meg kell határoznunk permutációinak a számosságát párosítások egy meghatározott számával. Ezt könnyen elő tudjuk állítani, ha megszámoltuk a párosítás nélküli permutációk számát; ezeket működési zavarainak fogjuk nevezni. azon permutációinak a számát, amelyek pontosan párosítást tartalmaznak
-val fogjuk jelölni.Így működési zavarainak a száma.
Mutassuk meg, hogy a működési zavarok száma
Felhasználva a kombinatorika szorzási elvét mutassuk meg, hogy
Felhasználva az előző gyakorlat eredményét, mutassuk meg, hogy -nek van sűrűségfüggvénye, melyet az alábbiakban megadunk. Hasonlítsuk össze a 2. gyakorlat eredményét azzal, amikor a mintavétel visszatevéses.
A párosítási kísérletben változtassuk az paramétert és figyeljük meg a sűrűségfüggvény helyét és alakját. kiválasztott értékeire végezzük el a kísérletet 1000-szer, 10-esével frissítve. Figyeljük meg az empirikus sűrűségfüggvény nyilvánvaló konvergenciáját a valódi sűrűségfüggvényhez.
Mutassuk meg, hogy . Adjunk egy valószínűségszámítási bizonyítást, hogy a szóbanforgó esemény lehetetlen és egy algebrai bizonyítást ugyanerre az eseményre, a 7. gyakorlatban szereplő sűrűségfüggvényt használva.
Felhasználva az analízisből származó (végtelen) sorokkal kapcsolatos ismereteket mutassuk meg, hogy ha esetén.
Valamint ahogy a visszatevéses mintavétel esetében, a párosítások számának az eloszlása az 1 paraméterű Poisson eloszláshoz konvergál, ahogy növekszik. A konvergencia rendkivül gyors. Valóban a párosítások számának az eloszlása esetén lényegében ugyanaz, mint a párosítások számának az eloszlása esetén!
A párosítási kísérletben növeljük értékét és figyeljük meg, milyen gyorsan stabilizálódik a sűrűségfüggvény. A kiválasztott értékével végezzük el a kísérletet 1000-szer, 10-esével frissítve. Figyeljük meg, a relatív gyakoriság függvény sűrűségfüggvényhez való nyilvánvalóan látható konvergenciáját.
A párosítások számának várható értéke és szórásnégyzete közvetlenül számolható az eloszlásból. Továbbá sokkal jobb a reprezentációt használni az indikátor változóval kapcsolatban. Ebben a fejezetben a cserélhető tulajdonság egy nagyon fontos eszköz.
Mutassuk meg, hogy minden -re.
Mutassuk meg, hogy . Útmutatás: Használjuk a 12. gyakorlat eredményét és a várható érték alaptulajdonságait.
Így, a párosítások számának várható értéke 1, tekintet nélkül -re, valaimnt arra, hogy a mintavétel visszatevéses.
Mutassuk meg, hogy minden -re.
Ha van egy párosításunk, akkor úgy tűnik, hogy ez valószínűbbé teszi, hogy lesz még további párosításunk egy másik helyen is. Így feltételezhetjük, hogy az indikátor változók pozitívan korreláltak.
Mutassuk meg, hogy különböző és értékekre, melyek -ből vannak,
A 15. gyakorlatból, amikor , az az esemény, hogy egy párosítás az 1-es pozicióban van teljesen korrelált azzal az eseménnyel, hogy a párosítás a 2-es pozicióban van. Indokoltnak tűnik ez az eredmény?
Mutassuk meg, hogy . Útmutatás: Használjuk fel az előző két gyakorlatot és a kovariancia alaptulajdonságait.
A párosítási kísérletben változtassuk az paramétert és figyeljük meg a várható érték/standard szórás grafikonjának helyzetét és alakját. A paraméter kiválasztott értékeire végezzük el a kísérletet 1000-szer, 10-esével ismételve. Figyeljük meg a mintaátlagnak és a minta standard szórásának a nyilvánvaló konvergenciáját az eloszlás várható értékéhez és standard szórásához.
Mutassuk meg, hogy különböző és esetén, melyek halmazból vannak, ha .
Így az az esemény, hogy a párosítás a -edik pozicióban van, közel független attól az eseménytől, hogy a párosítás a -adik pozicióban van, ha nagy. Nagy -re az indikátorváltozó csaknem ugyanúgy viselkedik, mint paraméterű Bernoulli kísérlet, amely természetesen akkor következik be, amikor a mintavétel visszatevéses.
Ebben a részfejezetben a párosítások számának eloszlásfüggvényére egy másik levezetést fogunk adni abban az értelemben, hogy egy paraméterű kísérletet beágyazunk egy paraméterű kísérletbe. Először vizsgáljuk meg -nek az véletlen permutációját.
Bizonyítsuk be, hogy -nek akkor és csak akkor véletlen permutációja, ha és
Felhasználva az előző gyakorlat eredményét bizonyítsuk be, hogy
Felhasználva az előző gyakorlat eredményét és a feltételes valószínűségről tanultakat mutassuk meg, hogy
Bizonyítsuk be, hogy
Végül, következtessünk arra, hogy esetén.
Megjegyezzük azt is, hogy .
Az előző két gyakorlatnak az eredményei használhatók arra, hogy megkapjuk sűrűségfüggvényét minden -re, rekurzív módon.
Emlékeztetünk arra, hogy generátorfüggvénye a következő:
Felhasználva az utolsó részfejezet eredményeit és az analízist, meg tudjuk mutatni, hogy a generátorfüggvény kielégíti a következő differenciálegyenletet és a kiegészítő feltételeket:
Megjegyezzük, hogy esetén. Ez a tény, az előző gyakorlatban szereplő differenciálegyetrendszerrel lehetővé teszi, hogy kiszámítsuk -t minden -re
Mutassuk meg, hogy esetén
Felhasználva a 25. gyakorlatot mutassuk meg, hogy
Felhasználva az előző gyakorlat eredményét és a generátorfüggvény alaptulajdonságait következtessünk arra, hogy
Egy titkárnő 5 levelet véletlenszerűen belarak 5 borítékba (mindegyikbe pontosan egyet).
Tíz házaspár véletlenszerűen párba áll és táncolnak.
A párosítási kísérletben, legyen . Végezzük el a kísérletet 1000-szer, 10-esével frissítve. Hasonlítsuk össze a következőket a párosítási számokra vonatkozólag: