\documentclass[a4paper,10pt]{article} %

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath} %
\usepackage{amsthm} %
\usepackage{amssymb} %


\usepackage{epsfig} %
\usepackage{psfrag} %

\usepackage[mathscr,mathcal]{eucal} %
\usepackage{enumerate} %

%\usepackage{t1enc}
%\usepackage[latin2]{inputenc}

%\usepackage{latexsym}
%\usepackage{pslatex}
\usepackage{dsfont}



\newtheorem  {theorem}       {Theorem}
\newtheorem  {lemma}         {Lemma}
\newtheorem  {corollary}     {Corollary}
\newtheorem  {proposition}   {Proposition}
\newtheorem  {definition}    {Definition}
\newtheorem* {theorem*}      {Theorem}
\newtheorem* {lemma*}        {Lemma}
\newtheorem* {corollary*}    {Corollary}
\newtheorem* {proposition*}  {Proposition}
\newtheorem* {definition*}   {Definition}
\newtheorem* {remark*}       {Remark}
\newtheorem  {remark}        {Remark}
\newtheorem* {remarks*}      {Remarks}
\newtheorem  {conjecture}    {Conjecture}
\newtheorem* {claim*}        {Claim}
\newtheorem  {claim}        {Claim}


\textwidth 6.40in
\textheight8.7in
\oddsidemargin.10in
\topmargin0in




%Szamok
\newcommand{\N} {\mathbb N}
\newcommand{\Z} {\mathbb Z}
\newcommand{\Q} {\mathbb Q}
\newcommand{\R} {\mathbb R}
\newcommand{\C} {\mathbb C}

%Kalligrafikus


\newcommand{\cB} {\mathcal{B}}
\newcommand{\cK} {\mathcal{K}}
\newcommand{\cV} {\mathcal{V}}
\newcommand{\cE} {\mathcal{E}}
\newcommand{\cF} {\mathcal{F}}

\newcommand{\cD} {\mathcal{D}}
\newcommand{\cC} {\mathcal{C}}
\newcommand{\cH} {\mathcal{H}}
\newcommand{\cL} {\mathcal{L}}

\newcommand{\cS} {\mathcal{S}}

\newcommand{\cW}{\mathcal{W}}


%Betutipusok, ekezetek
\def\boV{\mathbf{V}}
\def \wt {\widetilde}
\def\wh{\widehat}
\def\lan{\langle}
\def\ran{\rangle}
\def \rbV {\mathbf{V}}
\def \rbE {\mathbf{E}}
\def \E {\mathbb E}
\def\ul{\underline}



%Matek, de nem valszam
\newcommand{\vct}[1]{ \text{\boldmath{$\mathrm{#1}$}} }
\newcommand{\conf}[1]{\underline{\mathbf{#1}}}% configuration

\def \Ordo {\mathcal{O}}
\def\ordo{o}
\newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}
\def \barn {\bar\N}
\def \ind{\mathds{1}}
%\def \ind{1{\hskip -2.5 pt}\hbox{I}}
%\def \ind{1\!\!1}
\def\vareps{\varepsilon}
\def\px{\partial_x}
\def\ps{\partial_s}
\def\pss{\partial^2_{ss}}

\def \rbeps {\varepsilon}
\def \spect {t^*}
\def \rbt {\tilde{t}}
\def \rbtfin {\bar{t}}
\def\ot{\overline{t}}
\def \rbch {\xi}
\def \rbu {u}
\newcommand{\rv} {v}
\newcommand{\myN} {\mathbf{V}} % This is how we denote the set of nonnegative summable sequences
\newcommand{\myNz} {\mathbf{V}^*} %This is how we denote the set of nonnegative sequences with only finitely many positive elements
\newcommand{\gt} {T^g} %gelation time
\newcommand{\bt} {T^b} %burning time
\newcommand{\rbspace} {\cW}
\newcommand{\epslam} {\delta(\lambda)} %we need this for the proof of the alternating limit theorem
\newcommand{\ER} {Erd\H{o}s-R\'enyi }
\newcommand{\deri}[2]{\ensuremath{{#1}'}} % egy ketvaltozos fuggveny,aminek a neve #1 derivaltja a #2 nevu ter-valtozoja szerint
\newcommand{\kderi}[2]{\ensuremath{{#1}''}} %  egy ketvaltozos fuggveny,aminek a neve #1 masodik derivaltja a #2 nevu  ter-valtozoja szerint
\newcommand{\phiinf} {E_{inf}}
\newcommand{\phisup} {E_{sup}}
\newcommand{\mycond} {\text{ } | \text{ }}
\def \heueq{ \stackrel{\infty}{=}}
\def \heusim{ \stackrel{\infty}{\sim}}
\def \rd{\cD} %degree of vertex in random multigraph
\def \mybart { t^*}
\def \D {\mathbb D}


% Val.szam.
\def \toprob {\,\,\buildrel \mathbf{P} \over\longrightarrow\,\,}
\def \toinp {\buildrel {\text{d}}\over{\longrightarrow}}
\def \weak {\Rightarrow}
\newcommand{\Prb} {\mathbb{P}}
\def \P {\mathbb P}

\def \mypoi{\mathbf{p}}
\def \mybin{\mathbf{b}}
\def \mygamma{\mathbf{g}}

\def \probp{\mathbf{P}}
\newcommand{\prob}[1]{\ensuremath{\mathbf{P}\big(\,#1\,\big)}}
\newcommand{\expect}[1]{\ensuremath{\mathbf{E}\big(\,#1\,\big)}}
\newcommand{\var}[1]{\ensuremath{\mathbf{D}^2\left(#1\right)}}
\newcommand{\cov}[2]{\ensuremath{\mathbf{Cov}\big(\,#1\,,\,#2\,\big)}}
\newcommand{\condprob}[2]{\ensuremath{\mathbf{P}\big(\,#1\,\big|\,#2\,\big)}}
\newcommand{\condexpect}[2]{\ensuremath{\mathbf{E}\big(\,#1\,\big|\,#2\,\big)}}
\newcommand{\condvar}[2]{\ensuremath{\mathbf{D}^2\left(#1\,\big|\,#2\right)}}
\newcommand{\condcov}[3]{\ensuremath{\mathbf{Cov}\big(\,#1\,,\,#2,\,\big|\,#3\,\big)}}

\begin{document}
\begin{center}
{\large \bf RLV2026, Problémák a véletlen folyamatok világából
}
\end{center}


\begin{enumerate}
  \item Tekintsük azt a gráfot, ami két csúcsból áll ($A$ és $B$), van köztük egy él, továbbá a $B$ csúcson van egy hurok-él. Mi a  stacionárius eloszlása az egyszerű bolyongásnak ezen a gráfon?
  \item Lássuk be, hogy ha a \emph{részletes egyensúly} feltétel teljesül (azaz ha $\pi(x)P_{x,y}=\pi(y)P_{y,x}$  minden $x,y \in S$-re), akkor $\pi$ stacionárius eloszlása annak a Markov-láncnak, aminek az átmenet-mátrica $P$.
  
  \item Fának hívunk egy olyan gráfot, ami összefüggő és kör-mentes. Rögzítsünk egy véges fát.  Mi a  stacionárius eloszlása az  egyszerű bolyongásnak ezen a gráfon?
        
  \item Tekintsünk azt a gráfot, aminek a csúcsai $A, B, C, D, E$ és élei: $AB, AC, BC, CD, BD, BE, DE$.
   Mi a  stacionárius eloszlása az  egyszerű bolyongásnak ezen a gráfon?   


\item Tekintsük azt a Markov-láncot az $S=\{1,2,\dots,n \}$ állapottéren, amire
$ P_{1,2}=1$, valamint minden $k=2,\dots,n-1 $ esetén $P_{k,k+1}=\frac{2}{3}$ és $P_{k,k-1}=\frac{1}{3}$, továbbá $P_{n,n-1}=1$. 
Mi a stacionárius eloszlása?

\item {\bf Ehrenfest modell keverésre}. Van két kutya (egy vizsla és egy labrador) és $n$ bolha. A bolhák ide-oda ugrálhatnak a kutyák között.
Minden lépésben egy egyenletesen választott bolha gondol egyet, és átugrik a másik kutyára.
\begin{enumerate}
  \item Lássa be, hogy a vizslán levő bolhák száma Markov láncot alkot az $S=\{ 0,1,\dots,n \}$ állapottéren. Mik az átmenet-valószínűségek?
  \item Mi a vizslán levő bolhák számának stacionárius eloszlása?
\end{enumerate}
 
\item {\bf Bernoulli-Laplace urnamodell keverésre}.
Két urnában vannak golyóink: $N$ darab mindkettőben. A golyók közül $N$ kék és $N$ piros. A golyókat a
következőképpen keverjük: időegységenként kiválasztunk véletlenszerűen egy-egy golyót mindkét urnából
és a kettőt kicseréljük. (Az egyes urnákban lévő golyók száma nem változik, de a színek eloszlása igen.)
\begin{enumerate}
\item Tekintsük a bal urnában levő piros golyók számát. Írjuk le a folyamat $S$ állapotterét és $P$ átmenetmátrixát. 
\item  Mi a folyamat stacionárius eloszlása?
\end{enumerate}  
 
\item {\bf Maxwell-Boltzmann eloszlás}: $n$ urnában $k$ golyó van. Minden körben egy golyót véletlenszerűen kisorsolunk és áttesszük egy véletlenszerűen választott urnába. Staci eo?

\item {\bf Fermi-Dirac eloszlás}: $n$ urnában $k$ golyó van. Minden körben egy golyót véletlenszerűen kisorsolunk és áttesszük egy véletlenszerűen választott másik urnába, amennyiben az üres (de ha nem az, akkor semmit nem teszünk). Staci eo?
 
\item {\bf Bose-Einstein eloszlás}: $n$ urnában $k$ golyó van. Minden körben véletlenszerűen kisorsolok egy urnát és ha van benne golyó, akkor egyet közülük megfogok és átteszem egy véletlenszerűen választott urnába. Staci eo?
    
    
 
\end{enumerate}

\end{document}





