\documentclass[a4paper,10pt]{article} % \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[magyar]{babel} \usepackage{amsmath} % \usepackage{amsthm} % \usepackage{amssymb} % \usepackage{epsfig} % \usepackage{psfrag} % \usepackage[mathscr,mathcal]{eucal} % \usepackage{enumerate} % %\usepackage{t1enc} %\usepackage[latin2]{inputenc} %\usepackage{latexsym} %\usepackage{pslatex} \usepackage{dsfont} \newtheorem {theorem} {Theorem} \newtheorem {lemma} {Lemma} \newtheorem {corollary} {Corollary} \newtheorem {proposition} {Proposition} \newtheorem {definition} {Definition} \newtheorem* {theorem*} {Theorem} \newtheorem* {lemma*} {Lemma} \newtheorem* {corollary*} {Corollary} \newtheorem* {proposition*} {Proposition} \newtheorem* {definition*} {Definition} \newtheorem* {remark*} {Remark} \newtheorem {remark} {Remark} \newtheorem* {remarks*} {Remarks} \newtheorem {conjecture} {Conjecture} \newtheorem* {claim*} {Claim} \newtheorem {claim} {Claim} \textwidth 6.40in \textheight8.7in \oddsidemargin.10in \topmargin0in %Szamok \newcommand{\N} {\mathbb N} \newcommand{\Z} {\mathbb Z} \newcommand{\Q} {\mathbb Q} \newcommand{\R} {\mathbb R} \newcommand{\C} {\mathbb C} %Kalligrafikus \newcommand{\cB} {\mathcal{B}} \newcommand{\cK} {\mathcal{K}} \newcommand{\cV} {\mathcal{V}} \newcommand{\cE} {\mathcal{E}} \newcommand{\cF} {\mathcal{F}} \newcommand{\cD} {\mathcal{D}} \newcommand{\cC} {\mathcal{C}} \newcommand{\cH} {\mathcal{H}} \newcommand{\cL} {\mathcal{L}} \newcommand{\cS} {\mathcal{S}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} %Betutipusok, ekezetek \def\boV{\mathbf{V}} \def \wt {\widetilde} \def\wh{\widehat} \def\lan{\langle} \def\ran{\rangle} \def \rbV {\mathbf{V}} \def \rbE {\mathbf{E}} \def \E {\mathbb E} \def\ul{\underline} %Matek, de nem valszam \newcommand{\vct}[1]{ \text{\boldmath{$\mathrm{#1}$}} } \newcommand{\conf}[1]{\underline{\mathbf{#1}}}% configuration \def \Ordo {\mathcal{O}} \def\ordo{o} \newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|} \def \barn {\bar\N} \def \ind{\mathds{1}} %\def \ind{1{\hskip -2.5 pt}\hbox{I}} %\def \ind{1\!\!1} \def\vareps{\varepsilon} \def\px{\partial_x} \def\ps{\partial_s} \def\pss{\partial^2_{ss}} \def \rbeps {\varepsilon} \def \spect {t^*} \def \rbt {\tilde{t}} \def \rbtfin {\bar{t}} \def\ot{\overline{t}} \def \rbch {\xi} \def \rbu {u} \newcommand{\rv} {v} \newcommand{\myN} {\mathbf{V}} % This is how we denote the set of nonnegative summable sequences \newcommand{\myNz} {\mathbf{V}^*} %This is how we denote the set of nonnegative sequences with only finitely many positive elements \newcommand{\gt} {T^g} %gelation time \newcommand{\bt} {T^b} %burning time \newcommand{\rbspace} {\cW} \newcommand{\epslam} {\delta(\lambda)} %we need this for the proof of the alternating limit theorem \newcommand{\ER} {Erd\H{o}s-R\'enyi } \newcommand{\deri}[2]{\ensuremath{{#1}'}} % egy ketvaltozos fuggveny,aminek a neve #1 derivaltja a #2 nevu ter-valtozoja szerint \newcommand{\kderi}[2]{\ensuremath{{#1}''}} % egy ketvaltozos fuggveny,aminek a neve #1 masodik derivaltja a #2 nevu ter-valtozoja szerint \newcommand{\phiinf} {E_{inf}} \newcommand{\phisup} {E_{sup}} \newcommand{\mycond} {\text{ } | \text{ }} \def \heueq{ \stackrel{\infty}{=}} \def \heusim{ \stackrel{\infty}{\sim}} \def \rd{\cD} %degree of vertex in random multigraph \def \mybart { t^*} \def \D {\mathbb D} % Val.szam. \def \toprob {\,\,\buildrel \mathbf{P} \over\longrightarrow\,\,} \def \toinp {\buildrel {\text{d}}\over{\longrightarrow}} \def \weak {\Rightarrow} \newcommand{\Prb} {\mathbb{P}} \def \P {\mathbb P} \def \mypoi{\mathbf{p}} \def \mybin{\mathbf{b}} \def \mygamma{\mathbf{g}} \def \probp{\mathbf{P}} \newcommand{\prob}[1]{\ensuremath{\mathbf{P}\big(\,#1\,\big)}} \newcommand{\expect}[1]{\ensuremath{\mathbf{E}\big(\,#1\,\big)}} \newcommand{\var}[1]{\ensuremath{\mathbf{D}^2\left(#1\right)}} \newcommand{\cov}[2]{\ensuremath{\mathbf{Cov}\big(\,#1\,,\,#2\,\big)}} \newcommand{\condprob}[2]{\ensuremath{\mathbf{P}\big(\,#1\,\big|\,#2\,\big)}} \newcommand{\condexpect}[2]{\ensuremath{\mathbf{E}\big(\,#1\,\big|\,#2\,\big)}} \newcommand{\condvar}[2]{\ensuremath{\mathbf{D}^2\left(#1\,\big|\,#2\right)}} \newcommand{\condcov}[3]{\ensuremath{\mathbf{Cov}\big(\,#1\,,\,#2,\,\big|\,#3\,\big)}} \begin{document} \begin{center} {\large \bf RLV2026, Problémák a véletlen folyamatok világából } \end{center} \begin{enumerate} \item Tekintsük azt a gráfot, ami két csúcsból áll ($A$ és $B$), van köztük egy él, továbbá a $B$ csúcson van egy hurok-él. Mi a stacionárius eloszlása az egyszerű bolyongásnak ezen a gráfon? \item Lássuk be, hogy ha a \emph{részletes egyensúly} feltétel teljesül (azaz ha $\pi(x)P_{x,y}=\pi(y)P_{y,x}$ minden $x,y \in S$-re), akkor $\pi$ stacionárius eloszlása annak a Markov-láncnak, aminek az átmenet-mátrica $P$. \item Fának hívunk egy olyan gráfot, ami összefüggő és kör-mentes. Rögzítsünk egy véges fát. Mi a stacionárius eloszlása az egyszerű bolyongásnak ezen a gráfon? \item Tekintsünk azt a gráfot, aminek a csúcsai $A, B, C, D, E$ és élei: $AB, AC, BC, CD, BD, BE, DE$. Mi a stacionárius eloszlása az egyszerű bolyongásnak ezen a gráfon? \item Tekintsük azt a Markov-láncot az $S=\{1,2,\dots,n \}$ állapottéren, amire $ P_{1,2}=1$, valamint minden $k=2,\dots,n-1 $ esetén $P_{k,k+1}=\frac{2}{3}$ és $P_{k,k-1}=\frac{1}{3}$, továbbá $P_{n,n-1}=1$. Mi a stacionárius eloszlása? \item {\bf Ehrenfest modell keverésre}. Van két kutya (egy vizsla és egy labrador) és $n$ bolha. A bolhák ide-oda ugrálhatnak a kutyák között. Minden lépésben egy egyenletesen választott bolha gondol egyet, és átugrik a másik kutyára. \begin{enumerate} \item Lássa be, hogy a vizslán levő bolhák száma Markov láncot alkot az $S=\{ 0,1,\dots,n \}$ állapottéren. Mik az átmenet-valószínűségek? \item Mi a vizslán levő bolhák számának stacionárius eloszlása? \end{enumerate} \item {\bf Bernoulli-Laplace urnamodell keverésre}. Két urnában vannak golyóink: $N$ darab mindkettőben. A golyók közül $N$ kék és $N$ piros. A golyókat a következőképpen keverjük: időegységenként kiválasztunk véletlenszerűen egy-egy golyót mindkét urnából és a kettőt kicseréljük. (Az egyes urnákban lévő golyók száma nem változik, de a színek eloszlása igen.) \begin{enumerate} \item Tekintsük a bal urnában levő piros golyók számát. Írjuk le a folyamat $S$ állapotterét és $P$ átmenetmátrixát. \item Mi a folyamat stacionárius eloszlása? \end{enumerate} \item {\bf Maxwell-Boltzmann eloszlás}: $n$ urnában $k$ golyó van. Minden körben egy golyót véletlenszerűen kisorsolunk és áttesszük egy véletlenszerűen választott urnába. Staci eo? \item {\bf Fermi-Dirac eloszlás}: $n$ urnában $k$ golyó van. Minden körben egy golyót véletlenszerűen kisorsolunk és áttesszük egy véletlenszerűen választott másik urnába, amennyiben az üres (de ha nem az, akkor semmit nem teszünk). Staci eo? \item {\bf Bose-Einstein eloszlás}: $n$ urnában $k$ golyó van. Minden körben véletlenszerűen kisorsolok egy urnát és ha van benne golyó, akkor egyet közülük megfogok és átteszem egy véletlenszerűen választott urnába. Staci eo? \end{enumerate} \end{document}