Sztochasztikus folyamatok 4. feladatsor

Bolyongások ℤ-n: differencia egyenletek, tükrözési elv

4.1 Legyen X_{t}, t = 0, 1, 2 … egyszerű szimmetrikus bolyongás az egydimenziós ℤ egész rácson. Legyen τ_{a} := inf{t ≥ 0 : X_{t} = a}, az a ∈ ℤ rácspont első elérésének ideje. Legyen a < b két rögzített rácspont. Számoljuk ki az

\begin{matrix}f_{[a,b]} : [a, b] ∩ ℤ → [0, 1], & f_{[a,b]}(x) := P(τ_{a} < τ_{b}|X_{0} = x) \\ g_{[a,b]} : [a, b] ∩ ℤ → ℝ, & g_{[a,b]}(x) := E(min(τ_{a}, τ_{b})|X_{0} = x) \end{matrix}

függvényeket.

4.2 Határozzuk meg azt az f : {0, 1, 2, …, 10} → ℝ függvényt, amely kielégíti az

f(n) = \frac{1}{4}f(n − 1) + \frac{3}{4}f(n + 1), n = 1, 2, …, 9,

differencia egyenletet és a az f(0) = 0, f(10) = 1 peremfeltételeket. Adjunk valószínűségszámítási értelmezést az f függvénynek.

4.3 (a) Legyenek a > 0 rögzített egész szám. Oldjuk meg a következő peremérték problémát: λ ∈ (0, 1) rögzített paraméter és f : [−a, a] → ℝ kielégíti a következő feltételeket:

\frac{1}{2}f(x + 1) + \frac{1}{2}f(x − 1) = λ^{−1}f(x), ha − a < x < a,

f(−a) = 1 = f(a).

Adjunk valószínűségszámítási értelmezést az f_{[a,b]} függvénynek.

(b) Oldjuk meg ugyanezt a feladatot az [a, b] intervallumban, ahol a < b egész számok.

4.4 Határozzuk meg azt az f : ℤ_{+} → ℝ függvényt, amely kielégíti az

f(n) = \frac{1}{3}f(n − 1) + \frac{1}{3}f(n + 1) + \frac{1}{3}f(n + 2), n = 1, 2, …

differencia egyenletet és az

f(0) = 0,  lim_{n→∞} f(n) = 1

peremfltételeket. Adjunk valószínűségszámítási értelmezést az f függvénynek.

4.5 Határozzuk meg azokat az f : ℤ → ℝ függvényeket, amelyek kielégítik

az

f(n) = \frac{1}{2}f(n + 1) + \frac{1}{2}f(n − 1) − 1

differenciaegyenletet. Útmutatás: Előbb mutassuk meg, hogy f(n) = n^{2} megoldása a fenti egyenletnek, majd feltéve, hogy f_{1} és f_{2} megoldás, írjunk fel differencia egyenletet g = f_{2} − f_{1}-re.

4.6 A Fibonacci számokat a következő módon értelmezük: F_{1} = 1, F_{2} = 1 és n > 2-re F_{n} = F_{n−1} + F_{n−2}. A differencia egyenlet megoldásával találjunk formulát F_{n}-re.

4.7 A fagylaltosnál egy gombóc fagyi ára 10 peták. (m + n) ember áll sorba fagyiért, véletlen sorrendben. Ezek közöl m-nek van 10 petákos érméje, n-nek viszont csak 20 petákos érméje van (m ≥ n), mindannyian egy gombóc fagyit akarnak venni. Feltesszük, hogy kezdetben üres a fagylaltos kasszája. Mennyi annak a valószínűsége, hogy senkinek sem kell várakoznia a visszajáró pénzére.

Az alábbi feladatokban tekintsük az egy dimenziós, origóból kiinduló egyszerű bolyongási trajektóriákat. a, b, c és n pozitív egész számokat jelölnek. Az \binom{x}{y} kifejezésre a megszokott konvenciók érvényesek

4.8 (a) Bizonyítandó, hogy azon n-lépéses trajektóriák száma, amelyek nem érik el a −b szintet és az a szinten végződnek, egyenlő a következő kifejezéssel:

\binom{n}{\frac{n+a}{2}} − \binom{n}{\frac{n+a+2b}{2}}.

(b) Tegyük fel, hogy b > a. Bizonyítandó, hogy azon n-lépéses trajektóriák száma, amelyek nemérik el a b szintet és az a szinten végződnek, egyenlő a következő kifejezéssel:

\binom{n}{\frac{n+a}{2}} − \binom{n}{\frac{n+2b−a}{2}}.

4.9 Tegyük fel, hogy a < c Bizonyítandó, hogy azon n-lépéses trajektóriák száma, amelyek előbb elérik a c szintet, majd az n-edik lépéskor az a szinten végződnek, úgy, hogy a c szint első elérése után a −b szintet már nem érik el, egyenlő a következő kifejezéssel:

\binom{n}{\frac{n+a−2c}{2}} − \binom{n}{\frac{n+a+2b+2c}{2}}.

4.10 Legyen X_{n} egyszerű szimmetrikus bolyongás ℤ-n, mely az origóból indul, X_{0} = 0. Bizonyítandó, hogy

P(X_{2n} = 0, max_{0<j<2n} X_{j} ≥ k) = P(X_{2n} = 2k).