Sztochasztikus folyamatok 10. feladatsor Brown mozgás I.

10.1 Konstruáljon olyan végtelen bináris fát, aminek a 0-dik szintjén van egy N(m = 0, σ^{2} = 1) eloszlású ős, az n-edik szinten 2^{n} darab független N(m = 0, σ^{2} = 2^{−n}) eloszlású leszármazott, és minden csúcsra igaz, hogy az ott ülő valószínűségi változó a két gyerekének az összege.

10.2 (a) Legyenek Y_{1}, Y_{2}, …, Y_{n} nulla várható értékű valószínűségi változók. Bizonyítandó, hogy akkor és csak akkor együttesen normális eloszlásúak, ha léteznek X_{1}, X_{2}, …, X_{n} független N(0, 1) (standard normális) eloszlású valószínűségi változók és a_{ij}, i, j = 1, 2, …, n valós számok, úgy hogy

Y_{i} = a_{i1}X_{1} + a_{i2}X_{2} + ⋯ + a_{in}X_{n}.

(b) Legyen B(t) standard Brown mozgás ás 0 ≤ s_{1} ≤ s_{2} ≤ ⋯ ≤ s_{n}. Magyarázzuk meg, hogy miért következik a Brown mozgás értelmezéséből, hogy B(s_{1}), B(s_{2}), …, B(s_{n}) együttesen normális eloszlásúak, azaz adjuk meg azokat az a_{ij} együtthatókat, amiknek a segítségével előállíthatóak független standard normálisokból.

(c) Határozzuk meg az B(s_{1}), B(s_{2}), …, B(s_{n}) valószínűségi változók kovariancia mátrixát (Ha [A]_{i,j} := a_{ij}, akkor C = AA^{T}).

10.3 A Brown mozgás skála invarianciája. Legyen X_{t} standard Brown mozgás és Y_{t} := a^{−1/2}X_{at}, ahol a > 0 rögzített konstans. Bizonyítandó, hogy Y_{t} is standard Brown mozgás.

10.4 A Brown mozgás időinverziója. Legyen X_{t} standard Brown mozgás és Y_{t} := tX_{1/t}. Bizonyítandó, hogy Y_{t} is standard Brown mozgás.

10.5 Legyen X_{t} standard Brown mozgás. Határozzák meg – lehetőleg szenvedés nélkül – a

P(X_{2} > 0|X_{1} > 0)

feltételes valószínűséget. Függetlenek-e az {X_{1} > 0} és {X_{2} > 0} események?

10.6 Legyenek X_{t} és Y_{t} független standard egy dimenziós Brown mozgások. Bizonyítsák be, hogy Z_{t} := X_{t} − Y_{t} szintén egy dimenziós Brown mozgás. Mennyi a Z_{t} Brown mozgás szórás (σ) paramétere?

10.7 Jelölje Φ(t) a standard normális eloszlás eloszlásfüggvényét. Lássa be a tükrözési elv segítségével, hogy a standard Brown-mozgás [0, t] intervallumon vett maximumának, M_{t}-nek az eloszlásfüggvénye 2Φ (\frac{x}{\sqrt{t}}) − 1, ha x ≥ 0, továbbá azt is, hogy P(M_{t} > x) ≤ 2 exp(−\frac{x^{2}}{2t}).

10.8 Jelölje B a standard Brown-mozgást. Mutassa meg, hogy B(t) feltételes sűrűségfüggvénye

\frac{x}{t} exp (\frac{−x^{2}}{2t} ) 11\{x > 0\}

amellett a feltétel mellett, hogy B(s) ≥ 0 minden 0 ≤ s ≤ t-re. Segítség: A feltétel valószínűsége nulla, így a tükrözési elv segítségével lássa be először, hogy x, ε > 0 esetén

P (B(t) ≥ x − ε | min_{0≤s≤t} B(s) ≥ −ε) = \frac{Φ (\frac{ε−x}{\sqrt{t}}) − Φ (\frac{−ε−x}{\sqrt{t}})}{2Φ (\frac{ε}{\sqrt{t}}) − 1}

majd tartson ε-nal 0-hoz.

10.9 Jelölje T_{x} azt a véletlen időpontot, amikor a standard Brown-mozgás először éri el az x magasságot. Határozza meg T_{x} eloszlásfüggvényét és lássa be, hogy P(T_{x} > t) ≈ \frac{1}{\sqrt{2π}} \frac{x}{\sqrt{t}}, ha 1 ≪ t.

10.10 (a) Jelölje B a standard Brown-mozgást. Lássa be, hogy

M(t) = exp (λB(t) − \frac{1}{2}λ^{2}t)

martingál az F_{t} := σ(B(s) : 0 ≤ s ≤ t) természetes filtrációra nézve, azaz mutassa meg, hogy s < t esetén E(M(t) | F_{s}) = M(s).

(b) Jelölje T_{x} azt a véletlen időpontot, amikor a standard Brown-mozgás először éri el az x magasságot. Lássa be, hogy λ ≥ 0 esetén E (exp(−λT_{x})) = e^{−x\sqrt{2λ}}, azaz határozza meg T_{x} eloszlásának Laplace-transzformáltját. Segítség: M(t ∧ T_{x}) korlátos martingál, P(T_{x} < ∞) = 1.

(c) Jelölje F_{x} a T_{x} eloszlását. Lássa be kétféleképp (az előző részfeladat alapján, illetve a Brown-mozgás tulajdonságaiból levezetve), hogy

F_{x} ∗ F_{y} = F_{x+y}

(d) Lássa be kétféleképp, hogy x^{2} · T_{1} ∼ T_{x}.

10.11 Jelölje B(t), t ≥ 0 a standard Brown-mozgást. Lássa be, hogy az X(t) := e^{−t}B(e^{2t}), t ∈ ℝ folyamat egy stacionárius Markov-folyamat, és határozza meg az átmenenetmagfüggvényét, azaz azt a p_{t}(x, y) függvényt, amire P(X(s + t) ∈ A | X(s) = x) = ∫_{A} p_{t}(x, y)dy.