Sztochasztikus folyamatok 9. feladatsor Martingálok III. / Sztochasztikus félcsoportok

9.1 Azuma-egyenlőtlenség, avagy nagy eltérés-becslés martingálokra Legyenek X_{1}, …, X_{n} független valószínűségi változók. Legyen φ olyan n változós függvény, hogy tetszőleges x_{1}, …, x_{n}-re és 1 ≤ k ≤ n-re és x̂_{k}-ra

|φ(x_{1}, …, x_{k}, …, x_{n}) − φ(x_{1}, …, x̂_{k}, …, x_{n})| ≤ 1

Legyen Y := φ(X_{1}, …, X_{n}). Bizonyítandó, hogy tetszőleges a ≥ 0-ra

P (Y − E(Y) ≥ a) ≤ e^{−a^{2}/2n},
P (Y − E(Y) ≤ −a) ≤ e^{−a^{2}/2n}.

(a) Legyenek X_{1}, …, X_{n} független valószínűségi változók és F_{k} = σ(X_{1}, X_{2}, …, X_{k}) az általuk generált természetes filtráció. Legyen φ olyan n változós függvény, hogy tetszőleges x_{1}, …, x_{n}- re és 1 ≤ k ≤ n-re és x̂_{k}-ra

|φ(x_{1}, …, x_{k}, …, x_{n}) − φ(x_{1}, …, x̂_{k}, …, x_{n})| ≤ 1

Mutassa meg, hogy ha M_{k} = E(φ(X_{1}, …, X_{n})|F_{k}), akkor

P( |M_{k} − M_{k−1}| ≤ 1) = 1

(b) Gauss-dominancia Legyen X olyan valószínűségi változó, amire E(X) = 0 és P(|X| ≤ 1) = 1. Lássa be, hogy

E(e^{βX}) ≤ e^{\frac{β^{2}}{2}}

Súgás: vegye mindkét oldal logaritmusát, és alkalmazza a logaritmikus momentumgeneráló függvény első és második deriváltjának valószínűségszámítási jelentéséről tanultakat. Megj: Azért hívják ezt Gauss-dominanciának, mert az egyenlőtlenség jobb oldalán a standard normális eloszlás momentumgenerálófüggvénye áll.

(c) Lássa be, hogy ha M_{n} martingál, M_{0} = 0, és P( |M_{k} − M_{k−1}| ≤ 1) = 1, akkor

E (e^{βM_{n}}) ≤ e^{\frac{β^{2}}{2} n} (d) Az előző részfeladat feltevései mellett lássa be, hogy

P ( max_{1≤k≤n} M_{k} ≥ a) ≤ e^{− \frac{a^{2}}{2n}}

9.2 Jelölje P_{x} az x ∈ ℤ-ből indított egyszerű, szimmetrikus bolyongás szerinti valószínűséget és T_{y} az y ∈ ℤ elérési idejét. A feladat célja a következő egyenlőtlenségek bizonyítása:

\frac{1}{2\sqrt{2}} \frac{1}{\sqrt{n}} ≤ P_{1}(T_{0} > n) ≤ 2\frac{1}{\sqrt{n}}

(a) A felső becslés bizonyításához súgás: Legyen y ∈ ℕ tetszőleges. Figyeljük a bolyongást addig, amíg bele nem ütközik az y magas és n széles doboz falába valahol. Lássa be, hogy

P_{1}(T_{0} > n) ≤ P_{1}(A doboz oldalába vagy a tetejébe ütközik) ≤ P_{1}(T_{0}∧T_{y} > n)+P_{1}(T_{y} < T_{0})

majd alkalmazza a Markov-egyenlőtlenéget.

(b) Az alsó becsléshez lássa be először, hogy tetszőleges y ∈ ℕ-re

P_{y}(T_{0} ≤ n) = P_{0}(T_{y} ≤ n) ≤ P_{0}(T_{y} ∧ T_{−y} ≤ n) ≤ \frac{n}{y^{2}}

Segítség: alkalmazza martingál-megállítási tételt az S_{k}^{2}−k martingálra, és legyen a megállási idő T = T_{y} ∧ T_{−y} ∧ n.

(c) Az alsó becslés bizonyításához: P_{1}(T_{0} > n) ≥ P_{1}(T_{0} > n | T_{y} < T_{0})P_{1}(T_{y} < T_{0}).

Nevezetes folytonos idejű és állapotterű sztochasztikus félcsoportok:

A sodródó (angolosan: driftes) Brown mozgás félcsoportja. Állapottér: S = ℝ. Rögzített paraméterek: szórás: σ > 0; sodródási együttható (vagy drift): m ∈ R.

p_{t}(x, A) := ∫_{A} \frac{1}{\sqrt{2πσ^{2}t}}e^{− \frac{(y−x−mt)^{2}}{2σ^{2}t}} dy.

A Cauchy folyamat félcsoportja (standard paraméter választással). Állapottér: S = ℝ.

p_{t}(x, A) := ∫_{A} \frac{1}{π} \frac{t}{t^{2} + (y − x)^{2}} dy.

9.3 Ellenőrízzük a fenti magfüggvényekre a p_{s+t}(x, A) = ∫_{S} p_{s}(x, dy)p_{t}(y, A) félcsoport tulajdonságot.

9.4 Bizonyítsuk be, hogy a driftes Brown mozgás esetében minden x ∈ S-re és minden ε > 0-ra

p_{h}(x, (x − ε, x + ε)) = 1 − o(h)

vagy, ami ugyanaz:

p_{h}(x, S \ (x − ε, x + ε)) = o(h)

amint h → 0. Mi a helyzet a Cauchy folyamattal?