Algebra tematika

Elsõ félév   (Algebra I.)       2005. tavasz:

     I. rész. Általános alapfogalmak

1.   Halmazelméleti alapfogalmak, relációk és a közöttük végezhetõ  mûveletek, ekvivalencia reláció, rendezés,
       leképezés, diagram, descartes szorzás.  Algebrai struktúra, részstruktúra,  homomorfizmus és kongruenciareláció.

    II. rész. Félcsoportok és csoportok

2.     Félcsoportok, csoportok különféle definíciói, részcsoport, lezárási rendszer, generátorrendszer, ciklikus csoportok leírása.
3.     Komplexus által generált részcsoport. Mellékosztály, Lagrange tétele, normális részcsoport és annak kapcsolata a
        homomorfizmussal ill. kompátibilis osztályozással. 
4.     Homomorfizmus tétel, izomorfizmus tételek.  Permutációcsoport, szimmetrikus és alternáló csoport. Cayley  tétel.
5.     Alternáló csoportok egyszerûsége. Szabad félcsoportok és szabad csoportok.
 6.    A félcsoportok beágyazása  csoportba. Csoportok megadása definiáló relációkkal  (Dyck tétele). Normállánc,
        feloldható  csoport, Jordan-  Hölder tétel.
7.     Direkt szorzat. Abel csoport felbonása  p-csoportok direkt szorzatára,.
8.     A véges Abel-csoportok alaptétele (az unicitás bizonyítása  nélkül).
9.     Centrum,  centralizátor, normalizátor. Prímhatványrendű csoportok feloldhatók. Sylow tételek (csak az elsőt bizonyítjuk).

    III. rész. Gyûrük I.

 10.    Gyûrû definíciója, példák. Ideál és maradékosztály. Boole-gyûrû.
11.     Beágyazási tételek: egységelemes gyűrűbe való beágyazás, Dorroh-féle bõvités, hányadostest.
12.     Egyértelmû prímfelbontás.  Fõideálgyûrû és euklídeszi gyûrû.

Második félév   (Algebra II.)     

  III. rész. Gyûrük II.

13.    Noether és Dedekind gyûrûk.
14.    Teljes mátrixgyûrû.
15.    Féligegyszerû gyûrûk. A Wedderburn -Artin struktúratételek.

   IV. rész. Testelmélet

16.    Testbõvítés, prímtestek , egyszerû testbõvítések leírása. Algebrai testbõvítés, normális
testbõvítés.
17.    Véges testek jellemzése. Galois elmélet alapjai. Galois csoport.  Néhány
geometriai alkalmazás. Geometriai szerkesztések.

    V. rész.  Modulusok, algebrák

18.   Modulusuk és vektorterek. R-homomorfizmus, homomorfizmusok csoportja.
 Algebrák, Frobenius tétele. 
19.    Lie algebrák.

   VI. rész. Hálóelmélet

 20.   Algebrai hálók és lezárási rendszerek. Moduláris és disztributív hálók struktúratételei.
 21.   Jordan-Dedekind láncfeltétel, Kuros-Ore tétel. Boole-algebra, szabad Boole-algebra.
 22.   Geometriai tér és a hálók, projektív és affin tér, Neumann-féle folytonos geometria és
a kvantum elmélet. Rendezett csoportok és gyûrûk.

   VII. rész. Univerzális algebrák és modell elmélet

 23.  Primitív osztály, varietás, szabad algebra, Birkhoff-féle azonosságelmélet. Függvénykalkulus,
ultraszorzat. Axiomatizálhatóság.

2005 március 30.