Projektív síkok

  

Véges projektív síknak nevezzük pontoknak nevezett elemek egy véges halmazát, ha abban bizonyos részhalmazok ki
vannak tüntetve, amelyeket egyeneseknek nevezünk, ha teljesülnek a következő axiómák:
I.  Két ponthoz pontosan egy egyenes van, amelyen a két pont rajtafekszik.
II. Két különböző egyenesnek egy és csak egy közös pontja van.
III.Van négy pont, amelyek közül bárhogyan választunk ki három pontot, azok nem fekszenek egy egyenesen.

Hogyan konstruálhatunk véges projektív síkokat?  

 Vegyünk egy véges GF(pn) testet és képezzük ennek elemeiből az összes olyan (x1, x2, x3) elemhármast, amelynek
komponensei nem mind egyenlők 0-val. Ha  a  a GF(pn) test tetszőleges 0-tól külömböző eleme, az (x1, x2, x3)  és
(ax1, ax2, ax3)  számhármasokat tekintsük ugyanazon pont különböző előállításainak. Az  x1, x2, x3 a pont
 projektív koordinátái.
Bármely három a1, a2, a3  GF(pn)-beli elemhez, amelyek nem mind egyenlők 0-val az  [a1, a2, a3]  egyenest mint azon (x1, x2, x3)
 pontok halmazát definiáljuk, amelyek eleget tesznek az

a1x1 + a2x2 + a3x3 = 0
egyenletnek.
 
A kegkisebb projektív sík az un. Fano sík, amelyet az ábra mutat. Ennél p = 2, n = 1, azaz a  GF(2)-t tekintjük amelynek elemei 0 és 1:

 

 A geometria pontjainak projektív koordinátái:

1 = (1,1,1),
2 = (1,1,0),
3 = (0,0,1),
4 = (1,0,1),
5 = (0,1,0),
6 = (0,1,1),
7 = (1,0,0).

A geometria egyeneseinek projektív koordinátái:

1,2,3  pontokon átmenő egyenesé [1,1,0],
1,4,5  pontokon átmenő egyenesé [1,0,1],
1,6,7  pontokon átmenő egyenesé [0,1,1],
2,4,6  pontokon átmenő egyenesé [1,1,1],
2,5,7  pontokon átmenő egyenesé [0,0,1],
3,4,7  pontokon átmenő egyenesé [0,1,0],
3,5,6  pontokon átmenő egyenesé [1,0,0].
 
Az így megkonstruált projektív síkokban teljesül a Desargues tétel. Létezik azonban olyan projektív sík, amelyben az nem teljesül.