1. Vizsgazárthelyi megoldásokkal

1999/2000 tél II. évf. 13.-18.tk.

1. Legyen F a z-tengelyu R sugarú m magasságú egyenes körhengerpalást. ${\displaystyle \int_F \,r\,df \,=\,\,?}$

MO. ${\displaystyle \int_F \,v\,df \,= \int_F \,v_n\,\vert df\vert = \int_F \,R\,\vert df\vert = R \int_F \,\vert df\vert= R \vert F\vert = R\cdot2R\pi m=2R^2\pi m}$

2. Számítsuk ki a div $(\vert r\vert(k \times r))$ értékét minden $r \in {\mathbb R}^3\,, \, r\neq 0$ esetén!

MO. div $(\vert r\vert(k \times r))= \vert r\vert{\rm div}\,(k \times r) + (k \times r) \cdot {\rm grad\,}\vert r\vert = 0$, mert ${\rm div}\,(k \times r)= 0$ (pl. azért mert $k \times r$ antiszimmetrikus) és ${\rm grad\,}\vert r\vert = \frac {r}{\vert r\vert} \parallel r\,,\, k \times r \perp r$, így skalárszorzatuk 0.

3. Legyen H az a háromszögvonal, melynek csúcsai a $(-a,0)\,,\, (0,b)\,,\,(c,0)$ pontok. Legyen
v(x,y)=(x²-2y,2x+y²) minden $(x,y)\in {\mathbb R}^2$-re. ${\displaystyle \int_H \,v\,dr \,=\,\,?}$

MO. rot ${\displaystyle v = \left \vert \begin{array}{cc} \frac{\partial }{\partial x}... ...}{\partial y} \\ x^2-2y & 2x+y^2 \\ \end{array} \!\right \vert \, \, = 4 }$ így Stokes tétellel (F a H által bezárt háromszöglap):

${\displaystyle \int_H \,v\,dr \,= \int_F \,{\rm rot\,}v\,df \,=4 \int_F \,df\,= 4 \vert F\vert = 2(c+a)b\,.}$

4. A derivált definíciója alapján állapítsa meg, hogy hol deriválható az ${\displaystyle f(z)=\overline{z}^2}$ függvény!

MO.

Csak az origóban, mert ${\displaystyle\frac{\overline{z + h}^2-\overline{z}^2}{h}= \frac{\overline{z}^... ...\,} \exists \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\overline{z + h}^2-\overline{z}^2}{h}}$

IFF z=0 hiszen ${\displaystyle \vert\frac{\overline{h}}{h}\vert=1\mbox{\,\,\,\,\raisebox{-0.5mm... ...} \overline{h}\frac{\overline{h}}{h} \xrightarrow[h \longrightarrow 0]{} 0\,,}$ továbbá ${\displaystyle \raisebox{0.4mm} {\hspace{-0.4mm}$\not$ }\hspace{0.4mm}\exists \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\overline{h}}{h}}$ és két olyan függvény összegének nincs határértéke, melyek közül pontosan egynek van.

5. Adja meg az ${\displaystyle f(z)=\frac{1}{z-1}}$ függvény z = 1 és z = 0 körüli összes Laurent sorát! MO.

a) z = 1: ${\displaystyle f(z)=\frac{1}{z-1}}$

b) z = 0: 1) ${\displaystyle f(z)=\frac{1}{z-1}= -\frac{1}{1-z}= -\sum_{n=0}^\infty z^n}$ 2) ${\displaystyle f(z)=\frac{1}{z-1} = \frac{1}{z}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{z}}= ... ...c{1}{z}\sum_{n=0}^ \infty \frac{1}{z^n}= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{z^{n+1}}}$

6. ${\displaystyle \int_{\vert z\vert=1}\,z^3\cos\,\frac{3}{z^2}\,dz =\,?}$

MO.

Az $f(z)=z^3\cos\,\frac{3}{z^2}$ függvény origó körüli Laurent-sora: ${\displaystyle z^3 \cdot \big( 1 - \frac{1}{2!}\big(\frac{3}{z^2})^2 \pm \ldots\big)= z^3 - \frac{9}{2!}\cdot\frac{1}{z} \pm \ldots}$, így Res _z=0f(z)= -4,5 tehát residuum tétellel:

${\displaystyle\int_{\vert z\vert=1}\,z^3\cos\,\frac{3}{z^2}\,dz = 2\pi j\cdot {\rm Res}\,_{z=0}f(z) = 2\pi j\cdot- 4,5 =- 9 \pi j}$