%% Hetedik gyakorlat
%% Nemlineáris egyenletek: Newton módszer.
%
% Cél: Az f(x)=0 egyenlet megoldása, ahol f adott, szép tulajdonságú (pl. folytonosan deriválható) függvény, azaz keressük az f függvény gyökeit/zérushelyeit.
%
%% Egy változós eset
% Ötlet: Lépjünk a feltételezett zérushely irányába az érintő behúzásával, majd az így kapott ponton vizsgáljuk a függvény értékét.
%
% (Kép forrása: elméleti jegyzet)
% A módszer képlete:
% x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}.
% Tétel: Ha az f függvény "szép" (kétszer folytonosan deriválható), a vizsgált intervallumon első és második deriváltja se lesz sehol nulla és f''(x_0) f(x_0)>0, akkor a Newton-módszer konvergál a zérushelyhez.
% 1. feladat: Keressük meg az előző gyakorlaton bemutatott
% f(x) = x^3 + 2 x^2 + 10 x - 20
% függvény zérushelyét a Newton-módszer segítségével!
% Megoldás:

...

%
% 2. feladat: Keressük az alábbi függvény zérushelyét:
% f(x) = x^3 - 5 x^2 + 8 x - 4.
% Alkalmazzuk rá a Newton-iterációt! Honnan indítsuk, hogy konvergens legyen?
% Megoldás:

... 

%
%% Newton módszer alkalmazása egyenletrendszerekre
% Tekintsük az alábbi nemlineáris egyenletrendszert:
% f_1 (x_1, x_2, \dots x_n) = 0, \\
% f_2 (x_1, x_2, \dots x_n) = 0,\\
% \dots \\
% f_n (x_1, x_2, \dots x_n) = 0,
% ahol f_1,\; f_2,\dots \;f_n: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}  adott függvények.
% A Newton-módszer egyenletrendszerre:
% x_{k+1} = x_k - (J(x_k))^{-1} f(x_k),
% ahol (J(x))^{-1} az alábbi Jacobi mátrix inverze:
% J(x) = \left( \matrix{\frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1}{\partial x_2} & \dots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \cr
% \frac{\partial f_2}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2 }{\partial x_2} & \dots & \frac{\partial f_2}{\partial x_n} \cr \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \cr \frac{\partial f_n}{\partial x_1} & \frac{\partial f_n}{\partial x_2} & \dots & \frac{\partial f_n}{\partial x_n}} \right).
% Megfelelő feltételek mellett a módszer konvergens lesz, és (bizonyos feltételek mellett) másodrendű.
%
% 3. feladat: Tekinsük az alábbi egyenletrendszert:
% \begin{cases}
% 5 x^2 - y^2 &= 0,\\
% y - 0.25(\sin x +\cos y) &= 0.
% \end{cases}
% Newton módszer segítségével keressük ennek a (x_0,y_0)=(0.25,0.25) pont környezetében lévő megoldását!
% Megoldás:

...