\documentclass[a4paper,twocolumn,fleqn]{article}

%\usepackage{lmodern}
\usepackage{t1enc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}
\usepackage{amsmath,amssymb}



\addtolength{\voffset}{-34mm}
\addtolength{\hoffset}{-13mm}
\addtolength{\textheight}{68mm}
\addtolength{\textwidth}{26mm}
%\setlength\oddsidemargin{-24pt}
%\setlength{\paperwidth}{200mm}
%\setlength{\textwidth}{186mm}
%\setlength{\textheight}{278mm}
%\setlength{\parindent}{-1ex}
\DeclareMathOperator{\trace}{trace}

\newcounter{ci}
\newcommand{\lilabel}[1]{\stepcounter{ci}\mbox{\textsf{\textbf{\theci. #1:\ }}}\hfill}
\newenvironment{li}
 {\begin{list}{}%
   {\renewcommand{\makelabel}{\lilabel}
    %\usecounter{ci}
    \setlength{\labelwidth}{0pt}
    \setlength{\labelsep}{0em}
    \setlength{\itemsep}{0pt}
    \setlength{\leftmargin}{0pt}
    \setlength{\parsep}{0pt}
   }}
 {\end{list}}
%
%\newcommand{\cim}[1]{\stepcounter{cici}\textbf{\theci. #1}}
\newcommand{\cim}[1]{\list[#1]}

\newcommand{\bu}{$\bullet$\enspace}
\renewcommand{\AA}{\mathbf{A}}
\newcommand{\vect}{\mathbf}             % vektor
\newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbf{\mathsf{R}}}}

\newcounter{biz}
%\newcommand{\te}[1]{\stepcounter{biz}\textbf{\thebiz$\diamondsuit$}#1}
\newcommand{\te}[1]{{$\blacktriangleright$} #1}

\begin{document}

\pagestyle{empty}

  \onecolumn{}
  \twocolumn[{\textsf{\textbf{Vizsgakérdések -- Matematika A2b {\tiny
          \normalfont \qquad (1.0 változat)}\hfill
I.~év, II.~félév, 2014/15}}}\\
\noindent
%Jelölések: T3 = Thomas 3; 12.5 = Thomas 12.5 fejezet; 
%F4 = 4. Függelék; 
%1P = 1.~\textsc{példa};
%3T = 3.~\textsc{tétel}; 
%2K = 2.~\textsc{következmény}; 
A hivatkozások a LA segédletre, és a Thomas
3.~kötetére vonatkoznak.
%\emph{dőlt betűs szöveg} = fontos definíció, 
$\blacktriangleright$ = {kötelező bizonyítás}.\\]


%\bu %az $\R^n$ tér (3.D),
%lineáris kombináció, függetlenség, összefüggőség
%\te vektorok függetlenségének szükséges és elégséges
%feltétele (4T)
%
%speciális alakú mátrixok %, blokkmátrixok
%
%\bu az egyenletrendszer és a megoldás felírása lineáris kombinációval

\small
\begin{li}

\item[Egyenletrendszerek]
\bu (Ismétlés: síkbeli egyenes, térbeli egyenes és térbeli sík
egyenletei/egyenletrendszerei, hipersík (2.1--2.19)),
\bu \emph{lineáris egyenletrendszer} általános alakja, megoldása,
ekvivalens átalakításai (2.21-24)
%
\bu egyenletrendszer két modellje (sormodell: hipersíkok,
oszlopmodell: lineáris kombinációk)
%\te az elemi átalakítások ekvivalens átalakítások (2.29)
%\bu \emph{mátrix}, bővített mátrix
\bu \emph{elemi sorműveletek}
\bu \emph{(redukált) lépcsős alak} 
\bu mátrix (redukált) lépcsős alakra hozhatósága, 
\emph{Gauss-módszer} (2.36), \emph{Gauss--Jordan-módszer} 
\bu redukált lépcsős alak egyértelmű (2.44)
\bu szimultán egyenletrendszer megoldása
%
\item[Megoldhatóság, a megoldások tere]
\bu a főelemek oszlopai
\bu \emph{mátrix rangja} (3.2)
\bu kötött és szabad változók száma
\te az egyenletrendszer megoldhatóságának mátrixrangos feltétele
(3.5, 3.6)
\bu \emph{altér}, \emph{kifeszített altér}
\te homogén lineáris egyenletrendszer megoldásai alteret alkotnak
(3.8 (ez mátrixszorzással is igazolható), 3.12), \emph{nulltér}
\bu inhomogén és a hozzá tartozó homogén egyenletrendszer
megoldásainak kapcsolata (3.17) és az inhomogén ersz.~megoldhatóságának
oszlopteres feltétele (3.19)
%\bu a kiküszöbölés műveletigénye $2n^3/3$ lebegőpontos művelet (flop)
%\bu \emph{rosszul kondicionált (instabil)} egyenletrendszer
%\bu \emph{részleges főelemkiválasztás}
%\bu Jacobi-iteráció, Gauss\,--\,Seidel-iteráció
\bu lineáris függetlenség eldöntése (3.21)
\bu elemi sorműveletek hatása a sor- és oszloptérre (3.23, 3.24)
\bu bázis és ekvivalens definíciói (3.25, 3.28)
\bu bázistétel (3.30)
\bu \emph{dimenzió}
\bu dimenzió $=$ rang (3.33)
\bu dimenziótétel (3.36)
\te sortér és nulltér merőlegessége (3.38)
\bu merőleges kiegészítő altér
%\bu kiegészítő alterek tulajdonságai
%\bu a merőleges kiegészítő altér és tulajdonságai 
\bu a négy kitüntetett altér
\bu a lineáris algebra alaptétele (3.39)
%\te a lineáris egyenletrendszer megoldásainak jellemzése (3.46)
%\bu a sortérbe eső megoldás meghatározása

\item[Mátrixműveletek]
\bu \emph{mátrixműveletek}, műveletek blokkmátrixokkal
    (Kronecker-szorzat és hipermátrixok nem kell),
\bu mátrixszor\-za\-tos alakok (vektorok skaláris és diadikus szorzata,
    lineáris egyenletrendszer, szimultán egyenletrendszer, lineáris
    helyettesítés)
%
\bu szorzás standard egységvektorral
\bu báziscsere mátrixszorzatos alakja: áttérés mátrixa,
    koordináták változása báziscserénél (4.24, 4.25)
\bu egységmátrix, elemi mátrixok,
    elemi sorműveletek előállítása mátrixszorzással
\bu vektorokra particionált mátrixok, a mátrixszorzat
    kifejezése sor- és oszlopvektorokkal, a szorzat oszlopai és sorai (4.32)
\bu műveleti azonosságok (5.1-5.13)
\te a mátrixszorzás asszociativitásának bizonyítása
\te inverz egyértelműsége (5.7 utáni 3. megjegyzés)
\bu $(\mathbf I - \mathbf A)$ inverze, ha $\AA$ nilpotens (5.8)
\bu inverz létezéséhez elég az egyik feltétel, inverz kiszámítása
elemi sorműveletekkel, inverz tulajdonságai (5.14)
\te szorzat inverze (5.14 \textit{c)})
\bu az invertálhatóság és az egyenletrendszerek megoldhatósága (5.15)
\bu invertálhatóság, bázis, báziscsere (5.19--5.21)
\bu diagonális és permutációs mátrixok, permutációs mátrix inverze,
kígyók
\bu háromszögmátrixok, szimmetrikus és ferdén szimmetrikus
mátrixok, az ezek közti műveletek, $\AA^T\AA$ szimmetrikus (5.35)
\te mátrix fölbontása szimmetrikus és ferdén szimmetrikus összegére (5.34)
\bu LU-felbontás, egyenletrendszer megoldása, mátrix invertálása
LU-felbontással %, LU- és PLU-felbontás előállítása

\item[Determináns]
\bu vektorok által kifeszített parallelogramma előjeles területe,
ill.~pa\-ra\-le\-lepipedon előjeles térfogata
\bu \emph{determináns}
\bu 0 értékű determináns (6.2, 6.3)
\bu egyenletrendszer megoldhatósága és a determináns
\bu determináns értékének kiszámítása %elemi sorműveletekkel
\bu elemi mátrixok determinánsa
\bu műveletek determinánsokon, determinánsok szorzásszabálya
%\bu a determináns invariáns a hasonlóságra, \emph{lineáris leképezés
%  determinánsa} 
\bu permutációs mátrix determinánsa
\bu determináns, mint kígyók determinánsainak összege (Sarrus-szabály)
\bu előjeles aldetermináns, determináns rendjének csökkentése,
kifejtési tétel (6.21)
\bu \emph{Vandermonde-determináns} értékének kiszámítása
\bu Cramer szabály és mátrix inverzének elemei (inverz előállítása
előjeles aldeterminánsokkal)

\item[Lineáris leképezések]
\bu a vektori szorzással definiált mátrixleképezés mátrixa (7.1)
\bu mátrixleképezések és tulajdonságaik (7.4)
\bu lineáris leképezés, példák (differenciáloperátor, határozott
integrál, geometriai példák), 
\bu az $\R^n\to\R^m$ lineáris leképezések megegyeznek a mátrixleképezésekkel (7.9)
\bu lineáris leképezés mátrixa különböző bázisokban (7.12)
\bu \emph{hasonlóság} (7.14--16),
\bu tartomány mértékének változása lineáris transzformációban
\bu $\R^n\to\R^m$ függvények differenciálhatósága, Jacobi-mátrixa, és
annak kiszámítása, Jacobi-determináns
\bu láncszabály
\bu forgatás, tükrözés, vetítés mátrixának felírása (7.23, 7.29)
%\te legjobb közelítés tétele (7.41)
%\bu egyenletrendszer optimális megoldása (7.42)
%\bu lineáris regresszió
%\newpage
\bu ortogonális mátrixok (7.67, 7.70)
\newpage

\item[Sajátérték, sajátvektor]
\bu \emph{sajátérték, sajátvektor, sajátaltér}
\te sajátvektorok alterei (8.4, 8.5)
\bu \emph{karakterisztikus egyen\-let/po\-li\-nom} és annak gyökei,
algebrai és geometriai multiplicitása
\bu háromszögmátrix sajátértékei, $\det(\mathbf{A})$ és $\trace(\AA)$
kiszámítása sajátértékekkel (8.8, 8.9)
\bu mátrix invertálhatósága és a 0 sajátérték (8.16)
\bu mátrix hatványainak sajátértékei, mátrix hatványainak hatása
sajátvektorok lineáris kombinációján (8.17--18)
\bu szimmetrikus és ferdén szimmetrikus mátrixok sajátértékei (8.19 \emph{a), b)})
%
%\bu \emph{ortogonális} mátrixok
\bu lineáris leképezés sajátértékei, sajátvektorai
\te sajátértékhez kapcsolódó invariánsok (8.23)
\bu hasonlóság, diagonalizálhatóság
\te diagonalizálhatóság szükséges és elégséges feltétele (8.25)
\bu különböző sajátértékekhez tartozó sajátvektorok lin.\
függetlensége (8.30, 8.31)
\bu diagonalizálhatóság és a geometriai multiplicitás (8.33, 8.34)
\bu ortogonális diagonalizálhatóság (9.1), 
%\bu áttérés másik bázisra, lineáris leképezés mátrixának felírása új
%bázisban 
%\bu \emph{hasonlóság}, két mátrix hasonlóságának feltétele
%\te hasonló mátrixok karakterisztikus polinomja, determinánsa azonos
%\bu diagonalizálhatóság
\bu valós spektráltétel (9.3)
%\bu \emph{szimmetrikus mátrixok} \mbox{sajátértékei, főtengelytétel} 
%, spektrálfelbontás
%
%sajátértékre vonatkozó tételek
%$\bullet$~\textbf{minden mátrix előáll egy szimmetrikus és egy 
%ferdén szimmetrikus összegeként (20.3.3)} 

%\item[Vektortér]
%\bu a vektortér, altér, példák vektortérre
%\bu euklideszi tér
%\newpage
\bu (valós) kvadratikus formák, főtengelytétel (9.12)
\bu${}^*$ kvadratikus formák definitsége, és annak eldöntése a
sajátértékekből és a vezető főminorokból

%---------------------------------------------------
\item[Parciális deriváltak (Thomas 14.)]
\bu \emph{többváltozós} függvények
\bu tartomány belső és határpontja, nyílt, zárt, korlátos tartomány
\bu szintvonal, szintfelület
\bu kétváltozós függvény határértéke és folytonossága (14.2)
\bu két-út vizsgálat határérték nemlétezésének igazolására
\bu összetett függvény folytonossága
\bu \emph{parciális derivált} (14.3)
\bu a parciális derivált létezéséből nem következik a függvény
folytonossága (8P)
\bu magasabbrendű parciális deriváltak
\bu vegyes parciális deriváltak egyezése (2T)
\bu kétváltozós függvény deriváltja (281.o)
\bu függvény diffhatóságának elégséges feltétele (3T és következménye)
\te a diffhatóságból következik a folytonosság (281.o)
\bu láncszabály (5T, 6T, 7T + LA), implicit differenciálás (8T)
\bu \emph{iránymenti derivált}
\te iránymenti derivált kiszámítása (9T)
\te az iránymenti derivált tulajdonságai (max, min, nulla változás
irányai)
\bu \emph{érintősík} és egyenlete
\bu \emph{linearizáció} (303.o)
\bu \emph{teljes differenciál}

\item[Szélsőérték (Thomas 14.7)]
\bu helyi max/min
\bu par\-ciális deriváltak viselkedése szélsőértékhelyen
\bu kritikus pont, nyeregpont
\bu szélsőérték keresése második deriváltakkal (11T) (3-változós eset is!)
\bu absz. szélsőérték korlátos zárt tartományon

\item[Többes integrál]
\bu \emph{kettősintegrál}
\bu kettősintegrál kiszámítása kétszeres integrállal
téglalaptartományon (Fubini-tétel: 1T) és 
normáltartományon (Fubini-tétel erősebb alak: 2T)
\bu kettősintegrál határainak felírása, az integrálás sorrendjének cseréje
%
\bu kettősintegrál polárkoordinátákkal
\te körcikk területe és az $r$ szereplése az 
$\int\!\!\int
f(r,\theta)r \,\mathrm{d}r \,\mathrm{d}\theta$ képletben (371.o)
\bu hármasintegrál (15.4)
\bu hármasintegrál henger és gömbi koordinátarendszerben (15.6)
\bu helyettesítés többes integráloknál, Jacobi-determináns (403.o)

\item[Sorozatok]
\bu \emph{konvergens} és \emph{divergens} sorozatok, \emph{határérték}
%\bu végtelenhez divergáló sorozat
%\bu folytonosfüggvény tétel sorozatokra (3T: $f$ folyt.~és $a_n\to L$,
%akkor $f(a_n)\to f(L)$)
\bu gyakran előforduló, nevezetes határértékek 
%\bu monoton sorozat pontosan akkor konvergens, ha korlátos (6T)

\item[Sorok]
\bu \emph{végtelen sor}, \emph{részletösszeg}, \emph{sor
konvergenciája}, \emph{összege}
\te mértani sor konvergenciája és összege (81.o)
\bu az $n$-edik tagon alapuló divergenciateszt (7T)
\bu a tétel megfordítása nem igaz: a harmonikus sor divergens
\bu műveletek sorokkal (sorok összege, különbsége, skalárszorosa: 8T)
\bu integrálkritérium (9T)
\te $p$-sorok konvergenciája (3P)
\bu összehasonlító kritériumok
\te hányadoskritérium (12T)
\bu gyökkritérium (13T)
\bu alternáló sorok, Leibniz-tétel (14T), alternáló sor összegének
becslése (15T)
\bu \emph{abszolút és feltételes konvergencia}
\bu abszolút konvergens sor konvergens
\bu végtelen sor tagjainak átrendezése
%\bu sorok szorzata

\item[Függvénysorok]
\bu \emph{hatványsorok}
\bu hatványsor konvergenciatétele (Abel-tétel, 18T), valós hatványsor
konvergenciatartományának alakja
\bu hatványsor konvergenciasugara
\bu tagonkénti differenciálhatóság (19T), integrálhatóság (20T)
\bu hatványsorok (és sorok) szorzata
\bu Taylor és Maclaurin-sorok
\bu {Taylor-polinom} (120.o), Taylor-for\-mula (123.o 22T)
\bu kétváltozós Taylor-formula (336--337.o)
\bu $e^x$, $\cos x$, $\sin x$ Taylor-sora
\bu binomiális sor
%\te Euler-formula ($e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi$)
\bu Fourier-sor $2\pi$ és $2p$ szerint periodikus függvényekre ($2p$
esetén $\cos nx$ és $\sin nx$ helyébe $\cos \frac{n\pi x}{p}$ és $\sin
\frac{n\pi x}{p}$, a $\pi$ helyébe $p$ írandó)
\bu ($1+2+3+4+\dots=-1/12$ nem lesz)
\end{li}

\end{document}




\begin{comment}
\bu $\R^n$ alterei, 
\bu az $\mathbf{x}\mapsto\mathbf{Ax}$ leképezés képtere,
magtere
\te a képtér és a magtér altér (16-17T)
\te az inhomogén és a hozzá tartozó homogén egyenletrendszer
megoldásainak tere (18T)
\bu \emph{bázis}, \emph{dimenzió}
\bu \emph{sortér}, \emph{oszloptér}, és kapcsolatuk az
elemi sorműveletekkel (19-20T)
\bu \emph{rang} (21T)
\te egyenletrendszer megoldhatósága és az oszloptér kapcsolata, homogén 
lineáris egyenletrendszer nem-triviális megoldásának létezése (22T)
\bu szabad és kötött változók száma, képtér és magtér dimenziója (23T)
\end{comment}