Felsőbb matematika villamosmérnököknek - Haladó lineáris algebra (BMETE90MX54) 2016

• 1. ZH
• 2. ZH
• 1. pótZH
• 2. pótZH

Előadások

• Vektorok, egyenletrendszerek
• Mátrixok, determinánsok

A készülő jegyzet (V.15-04-27) folyamatosan frissülő változata itt található, valamint néhány alkalmazás a Lineáris algebra alkalmazásai című jegyzetben.

Gyakorlatok

1. feladatsor
2. feladatsor
3. feladatsor
4. feladatsor
5. feladatsor
6. feladatsor

ZH időpontok

• 1. ZH: 15-04-10 16:00 ChMax
• 2. ZH: 15-05-08 16:00 ChMax
• pótZH: 15-05-21 12:00 EIC
• pótpótZH: 15-05-27 12:00 EIA

Eredmények

Az összes kijavított házi és a két ZH eredményei (kétféle szélességben). Az utolsó oszlopban azt látni, hogy miből kell pótolni. Akinek HÁZI áll a neve mellett, azoknak a kevés összpontszám miatt valamelyik ZH-t meg kell ismételniük úgy, hogy az összpontszám elérje a 40-et.

Házi feladatok

Mindegyik feladat 1 pont, hacsak nincs a feladathoz írva valami más. (A megoldásokat papíron kérjük, de végszükség esetén lehet a felsobb pont mat kukac gmail pont com címre is.

1. feladat: Írjunk fel egy valós 4x5-ös mátrixot (véletlen nem 0-elemekkel), melynek rangja 3. Írjunk fel egy másik 4x5-ös 3-rangú mátrixot is, melynek elemei a 2-elemű testből valók (itt elég, ha minden sorban vannak nemnulla elemek). Határozzuk meg mindkét mátrix alapvető altereinek (azaz a sortér, az oszloptér, a nulltér és a transzponált nulltér) egy-egy bázisát.
   Határidő: 3. előadás kezdete, 2015-03-01 10:15
2. feladat: Írjunk fel egy 2 egyeneletből álló valós, konzisztens 4-ismeretlenes egyenletrendszert. Adjuk meg az összes megoldását és az egyetlen sortérbe eső megoldást. A sorvektorok megfelelő lineáris kombinációjával igazoljuk (ellenőrizzük), hogy a megoldás valóban a sortérben van. Határidő: 3. előadás kezdete, 2015-03-01 10:15

Konzultációk

1. ZH anyaga

egyenletrendszer megoldhatóságának mátrixrangos feltétele

a megoldások tereinek jellemzése

(egyik bázisról a másikra való) áttérés mátrixa

invertálhatóság és az egyenletrendszerek kapcsolata (5.15)

a determinánsfüggvény soronkénti linearitása, determináns és a mátrixműveletek kapcsolata, determináns értékének kiszámítása elemi sorműveletekkel, sor vagy oszlop szerinti kifejtéssel, kígyók determinánsainak összegére bontással

mátrixleképezés, lineáris leképezés

merőleges vetítés és a legjobb közelítés, a legjobb közelítés ONB esetén (7.65)

polinomiális regresszió

pszeudoinverz fogalma és a Moore-Penrose-tétel

(szemi)ortogonális mátrixok

speciális mátrixok sajátértékei

hasonlóság, diagonalizálhatóság, sajátalterek direkt összege és a diagonalizálhatóság (8.40)

Gersgorin-körök

Cayley–Hamilton-tétel

ortogonális és unitér diagonalizálás (9.3, 9.9)

Schur-felbontás

kvadratikus formák, mátrixok definitsége

2. ZH anyaga

• Gyakorlati feladattípusok:
  1. Szinguláris értékek, bal és jobb szinguláris vektorok, SVD, redukált SVD, SVD diadikus alakjának meghatározása
  2. Euklideszi, Frobenius-, p-norma, ∞-norma kiszámítása
  3. mátrixnorma kiszámítása
  4. egy 3×3-as mátrix Jordan-bázisának és Jordan-felbontásának meghatározása
  5. Jordan-féle normálalak meghatározása a (A-λI)^k-ra vonatkozó ismeretekből
  6. minimálpolinom meghatározása a Jordan-normálalak (vagy a definíció) alapján
  7. mátrixfüggvény kiszámítása a Jordan-normálalakból
  8. mátrixfüggvény kiszámítása polinominterpolációval
  9. mátrix (ir)reducibilitásának és primitívségének eldöntése
  10. (A/r)^k határértékének kiszámítása a Perron-vektorokkal
• Elméleti témák:
  1. Szinguláris értékek és vektorok fogalma, kapcsolatuk a négy alapvető altérrel
  2. Az SVD hatása R² → R² függvényekre
  3. norma definíciója
  4. normák ekvivalenciája (R-ben és C-ben)
  5. mátrixnorma definíciója, indukált norma és ekvivalens alakjai
  6. Eckart–Young-tétel (kis rangú approximáció tétele)
  7. a szinguláris értékek kapcsolata a 2- és a Frobenius-normával
  8. alterek direkt összegére bontás és a blokkdiagonális mátrix kapcsolata
  9. általánosított sajátvektor, Jordan-lánc, Jordan-bázis fogalma
  10. minimálpolinom és tulajdonságai
  11. f definiálva van az A spektrumán jelentése
  12. Perron-tételek pozitív mátrixokra
  13. Perron-vektorok
  14. Perron–Frobenius-tételek nemnegatív mátrixokra
  15. Collatz–Wieland-tétel és a spektrálsugár becslése
  16. sztochasztikus és duplán sztochasztikus mátrixok
  17. Frobenius–Kőnig-tétel
  18. Birkhoff-tétel
• Bizonyítások:
  1. A szinguláris értékek létezése (A^HA hasonló Σ^HΣ-hoz, önadjungált, pozitív szemidefinit)
  2. Polárfelbontás előállítása SVD-ből (P pozitív szemidefinit, Q unitér)

Régi hasonló gyakorlatok feladatsorai

1. feladatsor és megoldása
2. feladatsor és megoldása
3. feladatsor és megoldása
4. feladatsor és megoldása
5. feladatsor és megoldása
6. feladatsor és megoldása