Bevezetés az általános topológiába
Fizikusok, matematikusok bevezetés az általános topológiába választható előadása,
2013/2014 II. félévében.
A tantárgy
adatlapja és
követelményei.
Rövid kedvcsináló az órához.
A tárgyhoz tartozó vizsgakövetelmény.
A vázlatos tematika:
- Topologikus tér fogalma.
- Topológia fogalma.
- Topológia képe és inverz képe.
- Altértopológia, szorzattopológia, összegtopológia, faktortopológia.
- Környezet fogalma, topológia bázisa, M1 és M2 terek.
- Rácsok és szűrők.
- Belső pont, érintési pont és torlódási pont fogalma.
- Halmaz belseje és lezártja.
- Függvények folytonossága, függvényműveletek folytonossága.
- Összefüggőség fogalma és jellemzése.
- Szétválasztási tulajdonságok.
- T0, T1 és T2-terek, valamint ezek jellemzése.
- Általánosított sorozatok.
- Topológia jellemzése általánosított sorozatok konvergenciájával.
- Átviteli elv határértékre és folytonosságra általánosított sorozatokkal.
- Reguláris, teljesen reguláris és normális terek, valamint T3 és T4-terek.
- Tyihonov-lemma, Uriszon-tétel Tietze-tétel.
- Egységosztás fogalma és egységosztás-tétel normális terekre.
- Félmetrika által generált topológia, és a teljesen reguláris topológiák jellemzése.
- Uriszon beágyazási tétele és Uriszon metrizációs tétele.
- Kompakt és lokálisan kompakt terek.
- Lindelöf-terek.
- Kompakt és lokálisan kompakt terek fogalma.
- Centrált halmazok tulajdonságai.
- Cantor-féle közösrész-tétel.
- Bolzano-Weierstrass-tétel.
- Tyihonov-tétel.
- Kompakt téren értelmezett folytonos függvények tulajdonságai.
- Weierstrass-féle maximum-minimum elv.
- Alulról- és felülről félig folytonos függvények fogalma.
- Alulról félig folytonos függvények folytonos approximációja metrizálható tereken.
- Kompakt terek metrizálhatóságának a jellemzése.
- Kompakt tér normálissága.
- Lokálisan kompakt halmazok jellemzése.
- Az egypontú kompaktifikáció egzisztenciája és unicitása.
- Uriszon-tétel, Tietze-tétel és egységosztás-tétel lokálisan kompakt terekre.
- Baire-féle kategória-tétel teljesen metrizálható és lokálisan kompakt terekre.
- Parakompakt terek fogalma.
- Parakompakt T2-terek normálissága.
- Egységosztás-tétel parakompakt terekre.
- σ-kompakt terek fogalma.
- Lokálisan kompakt terek metrizálhatóságának a jellemzése.
Javasolt irodalom: