Bevezetés az általános topológiába

Fizikusok, matematikusok bevezetés az általános topológiába választható előadása,
2013/2014 II. félévében.

A tantárgy adatlapja és követelményei.

Rövid kedvcsináló az órához.

A tárgyhoz tartozó vizsgakövetelmény.

A vázlatos tematika:

• Topologikus tér fogalma.
  • Topológia fogalma.
  • Topológia képe és inverz képe.
  • Altértopológia, szorzattopológia, összegtopológia, faktortopológia.
  • Környezet fogalma, topológia bázisa, M₁ és M₂ terek.
  • Rácsok és szűrők.
  • Belső pont, érintési pont és torlódási pont fogalma.
  • Halmaz belseje és lezártja.
  • Függvények folytonossága, függvényműveletek folytonossága.
  • Összefüggőség fogalma és jellemzése.
• Szétválasztási tulajdonságok.
  • T₀, T₁ és T₂-terek, valamint ezek jellemzése.
  • Általánosított sorozatok.
  • Topológia jellemzése általánosított sorozatok konvergenciájával.
  • Átviteli elv határértékre és folytonosságra általánosított sorozatokkal.
  • Reguláris, teljesen reguláris és normális terek, valamint T₃ és T₄-terek.
  • Tyihonov-lemma, Uriszon-tétel Tietze-tétel.
  • Egységosztás fogalma és egységosztás-tétel normális terekre.
  • Félmetrika által generált topológia, és a teljesen reguláris topológiák jellemzése.
  • Uriszon beágyazási tétele és Uriszon metrizációs tétele.
• Kompakt és lokálisan kompakt terek.
  • Lindelöf-terek.
  • Kompakt és lokálisan kompakt terek fogalma.
    • Centrált halmazok tulajdonságai.
    • Cantor-féle közösrész-tétel.
    • Bolzano-Weierstrass-tétel.
    • Tyihonov-tétel.
  • Kompakt téren értelmezett folytonos függvények tulajdonságai.
    • Weierstrass-féle maximum-minimum elv.
    • Alulról- és felülről félig folytonos függvények fogalma.
    • Alulról félig folytonos függvények folytonos approximációja metrizálható tereken.
  • Kompakt terek metrizálhatóságának a jellemzése.
  • Kompakt tér normálissága.
  • Lokálisan kompakt halmazok jellemzése.
  • Az egypontú kompaktifikáció egzisztenciája és unicitása.
  • Uriszon-tétel, Tietze-tétel és egységosztás-tétel lokálisan kompakt terekre.
  • Baire-féle kategória-tétel teljesen metrizálható és lokálisan kompakt terekre.
  • Parakompakt terek fogalma.
    • Parakompakt T₂-terek normálissága.
    • Egységosztás-tétel parakompakt terekre.
  • σ-kompakt terek fogalma.
  • Lokálisan kompakt terek metrizálhatóságának a jellemzése.

Javasolt irodalom:

• Kristóf János: A matematikai analízis elemei III.
• Horst Schubert: Topológia. Műszaki könyvkiadó, Budapest 1986.
• Topology Atlas: Education
• Topology Atlas: Topology Explained