3-dimenziós Euklideszi térbeli kockarács

Elsőnek vizsgáljuk meg, hogy az egyszerű kockarács D-szimbólumát hogyan készítjük el. Először is vegyünk egy kockát, és állítsuk elő az optimális baricentrikus felbontását (1. ábra). Az optimális baricentrikus felbontás megőrzi az eredeti alakzat minden szimmetriáját, ezért a testközéppontot, majd egy lapközéppontot, egy élközéppontot végül egy csúcsot kell vennünk.

Figure: A kocka teljes baricentrikus felbontása, illetve egyetlen szimplex a felbontásból

Látható, hogy az összes előálló szimplex egybevágó, és így síkra tükrözésekkel egymásba vihetők,²így egyetlen egy szimplex-pályát kell csak vizsgálni. Tehát a D-diagram 1 elemű (lásd fig:kocka1d. ábrát). Az $1$ -elemű D-diagramon jelöltük a hurok-éleket is, de a továbbiakban az átláthatóság könnyítése érdekében elhagyjuk. (A D-diagram minden csúcsából kiindul mindegyik színű él, így most $3+1=4$ ``szín'' azaz ``jel'' lép fel.)

Figure: A kockarács leggazdagabb szimmetriájú (automorfizmus) egybevágóság csoportjához tartozó D-diagram

Most állítsuk elő a kockakövezés $\mathcal{M}$ mátrix-függvényét. Mivel egy szimplex-pályáról beszélünk, ez csak egy mátrix. Konkrétan a következő:

$$\mathcal{M}(D_1)= \left( \begin{array}{cccc} 1 & 4 & 2 & 2\ 4 & 1 & 3 & 2\ 2 & 3 & 1 & 4\ 2 & 2 & 4 & 1 \end{array} \right)$$

3 dimenziós Euklideszi poliéderrács esetén (de más terek egyféle poliéderrel történő kövezésénél is) a következőt jelentik a szabad paraméterek értékei:

• $(\sigma_0,\sigma_1)$ : az $m_{01}$ mátrixelem azt mutatja, hogy a poliéder megfelelő lapja hány oldalú
• $(\sigma_1,\sigma_2)$ : a megfelelő csúcsban hány él találkozik csak a tekintett baricentrikus szimplexhez tartozó poliéderen
• $(\sigma_2,\sigma_3)$ : a megfelelő él hány rács poliéder közös éle.

Ezzel egybevág a fenti mátrix: 4 oldalú a kocka egy lapja, 3 él indul ki egy csúcsból és 4 kocka találkozik egy élben.