Viszgaidőpontok: június 19 szerda, du 2-6, H406 és június 20 du, pontos helyszín később.
(Ha alább a karakterek hülyén jönnek át, váltsd át a böngésződ kódolását Unicode UTF-8-ra. Ha ez sem segít, szólj.)
Fejenként félórás előadásra készüljetek (a tapasztalatok szerint úgyis hosszabb lesz, pld mert belekérdezek). A cél, hogy legalább egy nemtriviális bizonyítást jól megértsetek és elmondjatok; nem kell áttekintést adni egy egész területről. Minden téma után odaírtam, hogy szerintem kb hány ember kell hozzá, de ettől nyugodtan eltérhettek: ha kevesebben vagytok, akkor esetleg nehezebb földolgozni a témát, meg esetleg az előadásban nem juttok el a fő tétel bizonyításáig, vagy a fő tétel bizonyításában föl kell használni egy lemmát, amit senki sem bizonyít, na bumm; ha meg többen vagytok, és készüléskor látjátok, hogy nem elég az anyag annyi félórás előadáshoz, akkor kérjetek még tőlem anyagot. Az olvasásban és a feladatmegoldásban is segítek, ha kell. Amint egy téma elkelt, itt bejelölöm.
Az egy témát választók egy napon vizsgázzanak, és ha ráértek, gyertek el mások vizsgáira, valószínűleg érdekesek lesznek, a vizsgázók pedig örülni fognak az érdeklődésnek. Ha akartok vetíteni, szóljatok a vizsga előtt egy nappal, de nehogy powerpoint filet hozzon valaki, csak pdf-et.
Jún 19.
Váradi Mónika, 15, de lehet, hogy mégse.
Nagy László, 3.
Homoki Tibor és Nika Zsolt, 7.
Lovas Anett és Mirk Katinka, 9.
Jún 20.
Csomós Gergely, 6.
Bartha Zsolt és Szép Enikő, 8.
Bekényi Balázs, 11.
1. Reguláris fán bolyongás visszatérési valszínének pontos aszimptotikája: \rho^n n^{-3/2}. A valszámos megközelítéshez nem tudok olvasnivalót, hanem a PGG jegyzet Exercise 1.3, 1.4, 1.5 gyakorlatait kell végigcsinálni. [1-2 ember: Aczél Gergely, feladatmegoldás]
2. Szimmetrikus bolyongás csoportokon: a nulla sebesség ekvivalens a Liouville tulajdonsággal (minden korlátos harmonikus fgv konstans). Az egyetlen ismert bizonyítás entrópiát és Poisson határt használ, tehát sok lépés, új fogalmakkal, de nagyon szép. Az eredeti fő cikk Kaimanovich-Vershik (1983), én a PGG jegyzet Sections 9.3, 9.4, 9.5 fejezeteit javaslom. A feladat része az Exercises 9.8, 9.9, 9.11, 9.13 megoldása (pld a Theorem 9.16 bizonyításának kitalálása), de nem kell az Exercise 9.14 és a non-amenable Liouville graph konstrukciója és az utána következő feladatok. [2-3-4 ember]
3. A lámpagyújtogató csoport egy első ránézésre nagyon furcsa tulajdonsága: habár a szimmetrikus bolyongás sebessége nulla, az origó felé vonzódó bolyongás (homesick random walk) már pozitív sebességgel távolodik az origótól. Lyons-Pemantle-Peres (1996). A bizonyítás annyiból haladó, hogy használ ergodelméletet. Section 4 már nem kell. Plusz, a SztoMoHF.pdf Gyakorlat 6-7-8 közül meg kell csinálni annyit, ahányan csináljátok ezt a vizsgafeladatot. [1-2 ember: Nagy László, jún 19]
4. Minden tranzitív gráfon a bolyongás legalább diffúzív. Lee-Peres (2009) Sections 1, 2, mínusz Subsection 2.1, plusz PGG jegyzet Exercise 10.5 megoldása. A PGG jegyzet Sections 10.1, 10.2-ben esetleg lehetnek a cikk megértését segítő magyarázatok. [1-2-3 ember]
5. Korlátos fokú véges síkgráfok lokális gyenge limesze mindig rekurrens. A Benjamini-Schramm cikk, ahol bevezették a lokális gyenge konvergenciát. A bizonyítás körpakolásokat használ, nagyon szép. Plusz PGG jegyzetből Exercises 14.1, 14.13. [1-2-3 ember]
6. David Wilson algoritmusa: véges gráf uniform véletlen feszítőfájának (UST) generálása körtörölt bolyongásokkal (LERW). Lyons-Peres könyv Section 4.1, plusz Exercise 4.27. [Ez így 1 ember, de a téma könnyen bővíthető 4-gyé is; Papp János feladatmegold; Csomós Gergely, jún 5]
7. A hatvány-farkú fokszámeloszlás bizonyítása a preferential attachment modellben, martingálokkal. van der Hofstad könyv Sections 8.3, 8.4., 8.5. Föltehető, hogy m=1, és akár \delta=0 is. Megoldandó még ugyanonnan az Exercises 8.14-17 közül annyi, ahányan csináljátok ezt a vizsgafeladatot. [1-2 ember: Homoki Tibor és Nika Zsolt]
8. A kromatikus szám koncentrációja 2\log_2 n körül az Erdős-Rényi G(n,1/2) gráfban, martingálokkal, Bollobás Béla tétele (1988). A fő forrás az Alon-Spencer könyv 4.5, 7.3, 10.3 szekciói. Kelleni fognak háttérként a 7.1, 7.2 szekciók is, ehhez javaslom még a PGG jegyzet 6.3 szekcióját is, van benne az Alon-Spencerből hiányzó magyarázat. Megoldandó még a PGG Exercises 6.11, 6.12 közül legalább egy. [1-2 ember: Bartha Zsolt és Szép Enikő, jún 19]
9. Négyzetrács élperkolációra p_c(\Z^2)=1/2 (a Kesten-tétel) bizonyítása. A Russo-Seymour-Welsh egyenlőtlenség föltehető vagy be is bizonyítható, az emberek számától függően. PGG jegyzet Section 12.3. Plusz, Exercises 12.34-36-ból legalább annyit, ahányan csináljátok ezt a vizsgafeladatot. Lásd még Grimmett könyv Sections 5.6, 5.8, ha több részletezés kell. [1-2 ember: Lovas Anett és Mirk Katinka]
10. Kritikus perkoláció konforminvarianciája, Smirnov bizonyítása a háromszögrácson. Wendelin Werner jegyzete, Chapter 2, a két szövegbeágyazott HF gyakorlattal együtt. [2 ember]
11. Végtelen tranzitív gráfon Bernoulli(p) perkoláció ergodikus, végtelen fürtök száma vagy 0, vagy 1, vagy végtelen, amenábilison csak 0 vagy 1 (Burton-Keane tétel). PGG jegyzet Section 12.1-ből Lemma 12.3, Lemma 12.4 és Theorem 12.11. Plusz Exercises 12.2, 12.3. [1 ember: Bekényi Balázs]
12. Végesen prezentált végtelen csoport Cayley gráfján p_c<1, Timár Ádám bizonyítása. PGG jegyzet Section 12.1-ből Proposition 12.6, plusz Exercise 12.4 vagy Exercises 12.5 + 12.6. [1 ember]
13. Az Edwars-Sokal csatolás bizonyítása a Potts(\beta,q) és az FK(p,q) modellek között. A négyzetrács FK(p,2) modellre az önduális pont meghatározása. PGG jegyzet Section 13.1 második fele, plusz Exercise 13.4. [1-2 ember]
14. Mermin-Wagner tétel: O(n) spin modellben \Z^2-en rekurrencia miatt nincs fázisátmenet. Marek Biskup jegyzetében Theorem 3.6. A Lie-algebráktól a bizonyításban nem kell megijedni: n=1-re elég a bizonyítás, ahol az R Lie-algebra elem minden előfordulása egyszerűen ignorálandó. A Dirichlet energiához háttérinfó: PGG jegyzet Sections 6.1, 6.2 első fele, és a (7.1)-es egyenlet. Plusz Exercises 6.3, 6.4, 6.5 közül legalább egy, és Exercises 6.8, 6.8, 6.9 közül legalább egy [1-2 ember].
15. Véletlen hex és más játékok: Peres-Schramm-Sheffield-Wilson Amer Math Monthly cikke. Plusz PGG jegyzet Exercise 12.33. [1-2 ember: Váradi Mónika és Torma Lídia Boglárka, jún. 19.]
16. Kommutatív homokszemmodellek. Egy rövid Levine-Propp kedvcsináló, és két survey: Redig illetve Holroyd et al. Gyakorlatot keresek, majd ha valaki ezt választja. [1-2-3 ember]
17. Wigner félkör határeloszlás GUE véletlen mátrixok spektrumára. Terry Tao kurzusából a negyedik előadás, és az ottaniakból fejenként két gyakorlat megoldása. [1-2-3 ember]