Tematika és segédletek a Differenciálegyenletek műszaki és közgazdasági alkalmazásai című tárgyhoz

A Gazadaság- és Társadalomtudományi Kar gazdálkodási szakos közgazdász hallgatói számára indított tárgy (BMETE925313, 2 óra előadás, 2 óra fakultatív gyakorlat, 2 kredit)

Tartalom:

Előadások

Az előadás beosztása

Az előadásokat kedden délelőtt 10 óra 15' és 12 óra között tartom az St épület 413-as termében. Igyekszem korábban érkezni, így előadás előtt, után és a szünetben is lehet kérdezősködni; jöhetnek a fogadó órámra, írhatnak levelet.

A tematika

alant található, de a pontos anyag az, amit előadáson leadtam, és amit gyakorlaton gyakoroltak. Menet közben leírom, hogy pontosan mi volt az előadásokon.

Elsőrendű közönséges differenciálegyenletek II. 12.

Honnan jönnek a differenciálegyenletek? Mit tudunk már róluk? Verifikálás, kvalitatív vizsgálat. A függvényvizsgálat általánosítása: az irányvonalak módszere. Iránymezők. Explicit közönséges elsőrendű differenciálegyenlet és megoldása. Az előadáson kitűzött feladatok
  • Hogyan módosul a radioaktív bomlás modellje, ha az időt diszkrétnek vesszük?
  • Babbage szerint percenként 1 ember hal meg, és 17/16 ember születik. Összeegyeztethetők-e ezek az adatok József Attila kétmilliárdjával, és a 2000-es év mondjuk hatmilliárdos lélekszámával?
  • Jellemezzük a szétosztott egyenletek megoldásait kvalitatív szempontból.

    • A legegyszerűbb típusok II. 19.

    Közvetlenül integrálható, autonóm és szétválasztható változójú egyenletek. Alkalmazási példák: differenciálegyenletek felírásának módszerei. Kezdetiérték-probléma (avagy Cauchy-feladat).

    Általános tételek II. 26.

    Alapkérdések:
  • Mi az egyenlet, mi a megoldás?
  • Létezik-e, egyértelmű-e?
  • Hogyan lehet előállítani
  • szimbolikusan,
  • numerikusan.
  • Hogyan lehet a megoldást jellemezni, anélkül, hogy előállítanánk?
  • Hogyan függ a megoldás az adatoktól és a választott modell jóságától?
    • A Cauchy-Peano-tétel és a Picard-Lindelöf-tétel. A bizonyítások alapötlete egy-egy numerikus módszer alapja. Az Euler-módszer. A fokozatos közelítés számokkal és függvényekkel. Az előadáson kitűzött feladatok
  • A keresletre, kínálatra és árra fölírt egyszerű modell diszkrét idő esetén hogyan viselkedik? Közeledik-e a megoldás az egyensúlyhoz vagy távolodik tőle? Hogyan függ ez a paraméterektől?
  • Különböznek-e a közgazdasági következtetések a diszkrét és a folytonos idejű modell esetén?
  • Oldjuk meg Euler módszerével az y'(x)=x^2+y(x)^2 y(0)=0 Cauchy-feladatot a [0,1] intervallumon 1/4 lépésközzel. Aki tudja használni a Mathematicát, az persze próbálja meg rendszeresen vizsgálni pl. a lépésköz hatását.
  • Oldjuk meg a fokozatos közelítés módszerével a P'=-3P+5 P(0)=1 feladatot. Kézzel: néhány iterációt végezzünk, majd próbáljuk meg kitalálni a megoldást. Géppel: szimbolikusan, numerikusan, NestList felhasználásával.

    • Hibák. A legegyszerűbb típusok III. 04.

    A Peano-egyenlőtlenség és következményei: Modellhiba, mérési hiba, egyértelműség. Fölrobbanás. Nem egyértelmű megoldás: olvasni a könyvből, 34-37. oldal. Közvetlenül integrálható egyenletek, autonóm egyenletek, szétválasztható változójú egyenletek, homogén egyenlet mint visszavezethető típus. Az előadáson kitűzött feladatok
  • Bizonyítsuk be, hogy az x'(t)=f(t,x(t)) egyenlet pontosan akkor homogén, ha f nulladfokú homogén függvény.
  • Vezessük vissza szétválasztható változójúra az x'(t)=g((at+bx(t))/(ct+dx(t))) egyenletet.
  • Mutassuk meg, hogy a szokásos feltevések mellett a lineáris egyenlet jobb oldala folytonos és a második változója szerint folyotnosan differenciálható.
  • A 200 m^3 térfogatú szobában 0.15% szén-dioxid gáz van. A ventillátor percenként 20 m^3 friss levegőt fúj be, amelyben csak 0.04% szén-dioxid van. (A friss levegő a bentivel azonnal elkeveredik, és ugyanannyi levegő ki is áramlik a szobából.) Mennyi idő múlva csökken a szoba levegőjében lévő szén-dioxid mennyisége a harmadára?
  • A radioaktív anyag eredeti mennyiségének 50%-a elbomlott 30 nap alatt. (Felezési ideje tehát 30 nap. Ha ez reális érték, akkor melyik anyagé?) Mennyi idő múlva marad meg az eredeti mennyiség 10%-a?
  • A kemencéből kivett kenyér 10 perc alatt 100 C fokról 60 fokra hűlt le. A környező levegő hőmérséklete 20 C fok. Mikorra hűl le 25 C fokra?

    • Lineáris egyenletek III. 11.

    Az elsőrendű lineáris differenciálegyenlet megoldása. Az állandó variálásának módszere. Bernoulli-egyenlet. Az előadáson kitűzött feladatok
  • Fejezzük be az x Integrate[y(s),{s,0,x}]=(x+1)Integrate[s y(s),{s,0,x}] egyenlet megoldását.
    • Oldjuk meg az alábbi egyenleteket:
  • x^2y'(x)+xy(x)+1=0
  • y(x)=x(y'(x)-x cos(x))
  • y'(x)+2y(x)=y(x)^2exp(x)

    • Egzakt differenciálegyenletek. III. 18.

    Definíció. Az egzaktság feltételeli, szükséges, elégséges. A megoldás inverzére vonatkozó egyenlet. Egzakttá tehető egyenletek: Az integráló tényező. Az előadáson kitűzött feladatok
  • Vizsgáljuk meg a konvex, egyszeresen összefüggő és pontra nézve csillagszerű tulajdonságok viszonyát. (Következik-e egyikből a másik, kizárja-e stb. Bizonyítsunk, vagy adjunk példákat.)
  • Mutassuk meg, hogy az autonóm egyenletek tekinthetők egzaktnak.
  • Írjunk programot, amely az együtthatófüggvények ismeretében megoldja az egzakt differenciálegyenletet, illetve adott alakú integráló tényezőt keres.
    • Az alábbi egyenletek megoldása közben vizsgáljuk meg azt is, hogy az együtthatófüggvények hol veszik fel a nulla értéket.
  • (2x+3x^2y)dx+(x^3-3y^2)dy=0
  • (x^2+y^2+1)dx-2xydy=0 phi(y^2-x^2) alakú integráló tényezővel.
  • (2xy^2-3y^3)dx+(7-3xy^2)dy=0 phi(y) alakú integráló tényezővel.
  • Mutassuk meg, hogy a P(x,y):=-y/(x^2+y^2) Q(x,y):=x/(x^2+y^2) képlettel értelmezett függvénypár teljesíti az egzaktság szükséges feltételét, a függvénypárnak mégsincs P és Q teljes értelmezési tartományán definiált primitív függvénye.

    • Lineáris rendszerek III. 25.

    Elsőrendű lineáris állandó együtthatós differenciálegyenlet-rendszerek. Lineáris függetlenség. Az előadáson kitűzött feladatok
  • Vizsgáljuk meg a konvex, egyszeresen összefüggő és pontra nézve csillagszerű tulajdonságok viszonyát. (Következik-e egyikből a másik, kizárja-e stb. Bizonyítsunk, vagy adjunk példákat.)
  • Mutassuk meg, hogy a közvetlenül integrálható, az autonóm és a szétválasztható változójú egyenletek egyaránt tekinthetők egzakt egyenletekenek.
  • Írjunk programot, amely képes szimbolikusan megoldani egzakt differenciálegyenleteket!
  • Írjunk programot, amely képes integráló tényezőt keresni!

    • Magasabb rendű egyenletek IV. 1.

    Az átviteli elv. Homogén és inhomogén magasabbrendű lineáris differenciálegyenletek és ilyenekre vonatkozó kezdetiérték-problémák. Az előadáson kitűzött feladatok
  • Számoljuk ki az n-edrendű lineáris állandó együtthatós egyenletből átviteli elvvel kapott elsőrendű lineáris állandó együtthatós rendszer karakterisztikus egyenletét.
  • Oldjuk meg az y^(iv)+2y''+y=0 y^(i)=2^i (i=0,1,2,3) Cauchy-feladatot!
  • Az állandók variálásának módszerével oldjuk meg: y''(x)-2y'(x)-3y(x)=e^(4x).

    • Folytatás. Állandó együtthatós lineáris rendszerek IV. 22.

    Euler-egyenlet. Peremértékfeladatok. Sajátértékfeladatok. Lineáris rendszerek megoldáshalmazának szerkezete. Alaprendszer meghatározása különböző sajátértékek esetén. Az előadáson kitűzött feladatok
  • y''(x)-2y'(x)-3y(x)=exp(4x)
  • x^2y''(x)-xy'(x)-3y(x)=0
  • x^3y''(x)-2xy(x)=6ln(x)
  • y''+y=1 y(0)=0 y(pi/2)=0
  • y''(x)+y(x)=4exp(x) y(0)=4 y'(0)=-3
  • x'=x-3y y'=3x+y
  • x'+x+5y=0 y'-x-y=0

    • A kvalitatív elmélet elemei: Stabilitás

    Alapfogalmak. Példák. Phillips modellje. Stabilizációs stratégiák. Az előadáson kitűzött feladatok
  • Stabilis-e az x'(t)=t-x(t) x(0)=1 egyenlet megoldása?
    • Itt tartunk: 2008. május 1.

    Segédletek az elmélethez

  • Tóth J., Simon L. P.: Differenciálegyenletek. Bevezetés az elméletbe és az alkalmazásokba, TYPOTEX Kiadó, Budapest, 2005. Itt megrendelhető, meg itt. A kiadóban (Retek u. 33., a Moszkva térnél) és az Olvasók Boltjában (Pesti B. u. 4.) mindenféle egyéb érdekességek és kedvezmények is találhatók.

    Gyakorlatok

    A gyakorlatok beosztása

    Időpont HelyszínGyakorlatvezető
    Hétfő, 8 30'-10  St 413Csikja Rudolf

    A gyakorlatok anyaga

    Az aktuális gyakorlatok anyagát Csikja Ruditól kapják. Folyamatosan készül ezekről jegyzet, amit a zárthelyi előtt :) föl fogunk tenni.
  • Íme, itt van, máris, annak jeleként, hogy közelg a zh.

    • Segédletek a gyakorlatokhoz

  • Előkészítő feladatok a korábbi tárgyakból. Enélkül nincs értelme hozzáfogni a tárgy tanulmányozásához. Szóval amíg ennek kilencven százalékát nem tudják és értik biztonságosan, addig ne foglalkozzanak differenciálegyenletekkel.
    Rásegítő, .dvi alakban,
    Rásegítő, .pdf alakban,
    Rásegítő, .ps alakban.
  • Simon Péter gyakorlati anyaga az ELTE TTK matematikus hallgatói számára.
  • Kovács Sándor: Beadandó feladatok másodéves matematikusoknak, (Hallgatók|ELTE|Matematikus|KDE).

    • Zárthelyik

    A zárthelyik beosztása

     
    NapIdőpont  Helyszín
    2007. április 3. csütörtök18-20 Első zárthelyi H ép. VI. em. 61.
    2007. május 8. csütörtök18-20 Második zárthelyiH ép. VI. em. 61.

    Tudnivalók a zárthelyikhez

  • A zárthelyiket elsősorban, de nem kizárólag feladatmegoldásból írjuk, előtte ismertetünk egy mintazárthelyit.
  • A zárthelyikhez egy A/4-es oldalnyi (nem lapnyi!) saját kézzel (a viták elkerülése érdekében nem fekete tintával) írott, nem másolt segédeszközt lehet használni; mást - beleértve bármilyen számológépet, mobiltelefont - nem.
  • A zárthelyikre mindenki a feladatok számával megegyező számú, otthon előre összetűzött, megszámozott, névvel ellátott A/4-es papírral és személyi vagy diákigazolvánnyal jelenjen meg.
  • Minden feladat megoldását külön lapra (nem oldalra!) írják, mert az egyes feladatokat más-más javítja.
  • A táblázatban most a névsor.

    Segédletek a zárthelyikhez

    Korábbiak, mire jön az aktuális, fölfrissítem. Nagyon más lesz: több lesz az elmélet, és külön az elméletből és a gyakorlatból is el kell érni a 40 %-ot.
  • Ezekből válogatjuk az elméleti kérdéseket.
  • 1. mintazárthelyi és megoldása a mintazárthelyi .pdf alakban, a mintazárthelyi megoldása .pdf alakban.
  • 2. mintazárthelyi .dvi alakban, .pdf alakban, .ps alakban.

    • Vizsgák

    A vizsgák beosztása

    Nap Időpont   Helyszín
    2008. június 2. hétfő8-10Konzultáció R 505
    2008. június 3. kedd8-10Írásbeli vizsga K.3.14
    2008. június 3. kedd14-15Jegybeírás, szóbeli H 311
    2008. június 9. hétfő8-10Konzultáció R 505
    2008. június 10. kedd8-10Írásbeli vizsga K.3.14
    2008. június 10. kedd14-15Jegybeírás, szóbeli H 311
    2008. június 23. hétfő8-10Konzultáció R 505
    2008. június 24. kedd8-10Írásbeli vizsga K.3.14
    2008. június 24. kedd14-15Jegybeírás, szóbeli H 311

    Tudnivalók a vizsgákhoz

  • A NEPTUNon jelentkezni az írásbeli vizsgára kell, a vizsgát megelőző napon déli tizenkét óráig.
  • A vizsgát lemondani a dolgozatok kiosztásáig lehet.
  • A vizsgadolgozat egyszerű elméleti kérdésekből és feladatokból fog állni (olyanokból is, amelyek nem fértek be a zárthelyikbe: parciális differenciálegyenletek).
  • Minderre 120 perc fog a delikvensek rendelkezésére állni.
  • Az összes feladat teljes, hibátlan megoldásért 50 pont kapható.
  • A vizsgán is egy A/4-es oldalnyi, nem lapnyi, kézzel írott puska használható, javasoljuk erre fölírni az alapintegrálokat és (esetleg) a Laplace-transzformációra vonatkozó tudnivalókat is.
  • A jegybeírásra mindenki hozza el az indexét, azt a következő napi eredményhirdetésen visszakapják.

    • Követelmények, aláírás, osztályzat

    Különböző módokon lehet pontokhoz jutni, a vizsga után a pontok összege alapján adunk osztályzatot a szokásos határok szerint.

    Pontszerzés év közben

    Év közben pontokat a következő módokon lehet szerezni.
  • A gyakorlatokon mutatott teljesítmény alapján legfeljebb 5-öt.
  • Az előadáson kitűzött feladatok megoldásával.
    • Összesen várhatóan körülbelül 5-öt; szorgalmas évfolyamoknál az élmezőny sokkal többet is el szokott érni! A feladatokat a kitűzésük utáni héten kell az előadáson beadni.
  • A Mathematica alkalmazásával differenciálegyenletek (numerikus, grafikus és szimbolikus) vizsgálatára. Szóval amikor kedvük van, használják a programot.
  • És végül, de elsősorban a két írásbeli zárthelyiből legfeljebb 25-25 pontot.

    • Ha valaki az év közben mindkét zárthelyit legalább 10 pontosra megírta, akkor megkapja az aláírást (az aláírást tehát meg lehet külön is kapni, de vizsgajegy nélkül semmilyen értéke nincs!), és jöhet vizsgázni. Ellenkező esetben pótzárthelyit kell írni. Remélve, hogy erre nem lkesz szükség, a pótzárthelyinek egyelőre nincsen idpontja. Akinek ez sem sikerül, az a vizsgaidőszak első két vizsgáján pótolhat gyak. i.v. jeggyel, amikor a többiek vizsgáznak.

    Pontszerzés a vizsgán; osztályzás

    Először is: aki írt két sikeres zárthelyit, és ezekből (tehát nem pótzárthelyivel és nem a kiegészítő pontokkal) legalább 30 pontot szedett össze, annak megajánlunk egy közepes osztályzatot. A vizsgán az évközi teljesítményhez hozzáadjuk a vizsgadolgozat pontszámát, és osztályzatokat ajánlunk meg az alábbi táblázat szerint:
     
    -39elégtelen
    40-54elégséges
    55-69közepes
    70-jó
    Speciálisan: szóbeli vizsga nélkül jelest kapni nem lehet.

    Akinek a megajánlott osztályzata legalább közepes, az szóbeli vizsgán javíthat. Ennek célja annak eldöntése, hogy jogos-e az igénye jobb osztályzatra vagy éppen ellenkezőleg.

    Ne felejtsék el, hogy minden félévben egy tárgyból külön díj fizetése nélkül, de kérvénnyel lehet javítani. Ezzel a vizsgaidőszak végén érdemes próbálkozni.

    Közbülső és végső eredmények

    Mindenféle eredmény előbb-utóbb bekerül ebbe az állandóan ideiglenes EXCEL táblázatba.

    További ajánlott irodalom

    Az irodalmat olyan sorrendben adom meg, amely jelzi a könyvek fontosságát a jelen előadás hallgatóinak szempontjából. Kérem, hogy amennyiben föl nem sorolt könyvet vagy példatárat használnának, előtte szóljanak nekem. (Van, amelyik árt.) Minden iromány minden hibája érdekel, nemcsak a sajátoméi; szóljanak, ha bármi gyanúsat találnak.

    Hasznos kiegészítők

  • Kósa A.: Kezdeti lépések a felsőbb matematikában. 1. Differenciálszámítás, LSI Budapest, 2002.
    • A könyvben (560.-589. oldal) szereplő elméleti anyag a miénknél sokkal kevesebb, ha valaki a félév elején elolvassa, sokkal könnyebben fogja az előadást követni, mint enélkül. (Nemcsak a differenciálegyenletekről szóló rész tanulságos!)
  • Izsák J., Juhász-Nagy P., Varga Z.: Bevezetés a biomatematikába, Tankönyvkiadó, Budapest, 1981., 1982.
    • A könyv IX. fejezetében szereplő elméleti anyag a miénknek valódi részhalmaza, tehát teljes egészében tudni kell. A feldolgozás módja nagyon közel áll ahhoz, amit az előadásokon követünk. Sok biológiai alkalmazást is tartalmaz.

    További példatárak

  • Babcsányi I., Csank L., Nagy A., Szép G., Zibolen E.: Matematikai feladatgyűjtemény III., BME TTK, Műegyetemi Kiadó, Budapest, 1997.
    • A 25. és a 27-30. fejezet több, mint elegendő feladatot tartalmaz, elméletit, szövegest, és összefoglalja a definíciókat és a tételeket is. A szétválasztható változójú egyenletekre vonatkozó rész elméletét nem ajánlom, az egzakt egyenleteket másképp tárgyalja.
  • Monostory I. (szerk.): Matematika példatár VIII. Differenciálegyenletek, BME GMK, Tankönyvkiadó, Budapest, 1986.
    • Ez is több, mint elegendő feladatot tartalmaz, elméletit és szövegest is, eredményekkel, és megoldásokkal, de kevesebb diszkusszióval, mint amennyit én szeretek.
  • Ponomarjov, K. K.: Differenciálegyenletek felállítása és megoldása (Gyakorlati feladatok), Tankönyvkiadó, Budapest, 1969.
    • Arra tanítja meg az olvasót, hogyan kell felírni egy differenciálegyenletet fizikai, kémiai biológiai ismereteink alapján. Az elméletet nem ajánlatos innen tanulni.

    Néhány további hasznos hely a hálózaton

    Szóljanak, ha valami nem működik, illetve, ha találnak valami közérdekűt.
  • Pfeil Tamás: Matematika az ELTE TTK biológus hallgatói számára. A differenciálegyenletek a végén jönnek.
  • Hatvani László, Krisztin Tibor, Makay Géza: Dinamikus modellek a közgazdaságban, Polygon, Szeged, 2001. Tartalomjegyzék. Innen sok példát fogok venni.
  • Tallos Péter: Dinamikai rendszerek alapjai, Aula, Budapest, 1999. Ezt tudja a konkurrencia :).
  • Az MIT differenciálegyenletek órája videofelvételről. Kicsit más stílusú, de hasznos kiegészítő.
  • Szili Lászlótól: A görög ábécé. Nem árt.

    • Hallgatóktól

    Itt megadok olyan munkákat, amelyeket korábbi hallgatók készítettek, és tanulás közben jól használhatók, vagy (még) érdekesek (is). Várom az aktuális hallgatók hozzájárulását!
  • Tartományok vizsgálata egzakt differenciálegyenleteknél, Várnai Anikótól, DERIVE felhasználásával. ZIP alakban, program és példa.
  • A differenciálegyenletek elméletében szerepet játszó néhány matematikusról: Matematikatörténeti írások.

    • Egyebek

  • Tóth János fogadó órája Kedden 8 és 10 óra között (vagy - külön megbeszélés alapján - akármikor). Helyszín: a 311-es szoba. (H épület). Levelekre igyekszem gyorsan válaszolni. Ha a gyakorlatvezetővel külön társalogni akarnak, azt velük beszéljék meg.

    •  
     
    Tóth János
     

    A Differenciálegyenletek műszaki és közgazdasági alkalmazásai című tantárgy előadója
    Vissza a magyar nyelvű változat elejére