Alul olvashatjátok a zh eredményeket. Az első feladat a gyakorlaton megoldotthoz nagyon hasonló volt, a paraméter apesteriori eloszlása gamma lett csak le kellett olvasni a várható értékeket. A második feladat nem volt könnyű. Fel kellett írni a likelihood-hányadost, megnézni, hogy milyen jól kezelhető (értsd amire a következő mondat igaz) statisztikában monoton. Ezután kis számolással észre lehetett venni, hogy ez a statisztika nullhipotézis esetén gamma eloszlású (n=1 esetén exponenciális), majd a megfelelő kvantilissel megszerkeszthető volt a kritikus tartomány. Megjegyzem, hogy az n=1 eset, vagyis a (b) rész kis kézi számolással egyszerű volt. A harmadik feladat a különbségváltozóra futtatott egymintás, egyoldali t-próba volt. A negyedik feladat pedig becsléses chi-négyzet illeszkedésvizsgálat volt.
A negyedik gyakorlat anyagát kicsit kommentálom illetve kiegészítem. Először is két hasznos forrás (többek között) valószínűségi változók különböző konvergenciáiról és azok kapcsolatáról (mindkét anyag a kelleténél sokkal részletesebb):
Gyakorlaton a következő állításokról volt szó: a majdnem biztosan és az L2 konvergenciából következik a valószínűségbeli konvergencia, de egymásból nem következnek.
A feladatgyűjtemény 2.2-es fejezetének 32-es feladatában a maximum likelihood becslés a mintaelemek abszolútértékének a maximuma volt. Mivel ez 1 valószínűséggel kisebb alfánál, ezért nem torzítatlan becslése az alfának. Kiegészítésképpen megállapítottuk, hogy aszimptotikusan viszont torzítatlan becslése az alfának. Ezen a ponton elhittük (de egy későbbi érvelésből precízen következett), hogy az abszolút maximum statisztika 1 valószínűséggel (így persze valószínűségben is) tart alfához. Ezután kis félrebeszélés után táblánál beláttuk, hogy ha egy valószínűségi változó sorozat egy konstanshoz tart valószínűségben és korlátos (közös a korlát), akkor a várható értékek sorozata is tart a konstanshoz (megjegyzem, hogy a fent belinkelt forrásokban sok egyéb tétel szerepel amit használhattunk volna ehelyett: Beppo-Levi tétel, dominált konvergencia tétel stb.). Ebből az egyszerű állításból következett az abszolút maximum statisztika alfára való aszimptotikus torzítatlansága.
Van két szép feladat amire nem maradt időnk. Az első könnyű a második egy kicsit nehezebb. Ha van időtök gondolkodjatok rajtuk.
Az első feladat a példatár 2.1/3-as feladata. Érdemes először kiszámolni a maximum-likelihood becslést. A gyakorlat anyagon van egy kiegészítő kérdés: meg kell arról győződni, hogy a minimális elégséges statisztika függvénye a kapott becslés. Ezt legegyszerűbb úgy megtenni, hogy igazoljátok, hogy a háttéreloszlás (amiből a mintákat vettük) tagja az exponenciális eloszláscsaládnak, és abból a tanult módon képezni a teljes, minimális elégséges statisztikát (a paramétertér tartalmaz 1 dimenziós téglát). Megjegyzem, hogy nem teljesen triviális feladat belátni, hogy a kérdéses 1 paraméterű eloszláscsalád tagja az exponenciális eloszláscsaládnak.
A második feladat a példatár 2.1/22-es feladata a megszokott kiegészítő kérdéssel. Itt nem nehéz belátni, hogy a medián a maximum-likelihood becslés. Viszont számomra meglepő volt, hogy itt a minimális elégséges statisztika az összes rendezett mintaelem. Ha van időtök akkor a likelihood hányadosos tétellel próbáljátok meg ezt belátni.
