Homologikus algebra

2010/2011. II. félév

R - Rotman: An Introduction to Homological Algebra
M - MacLane: Homology
DK - Drozd--Kirichenko: Finite Dimensional Algebras, 11. fejezet: Elements of Homological Algebra

1. előadás (február 8.) Modulusok lánc- és kolánckomplexusai, homológiák és kohomológiák. Homotóp és homológ láncleképezések, ill. komplexusok. Homotóp láncleképezések homológok, de visszafelé nem következik (ld. Hf.1). Additív funktor megőrzi a homotópiát. Homológiák hosszú egzakt sorozata. (R 6.1.)

Beadandó házi feladatok (febr. 21-ig):
Hf1. Egy rövid egzakt sorozat pontosan akkor homotóp a 0• sorozattal, ha felhasadó.
Hf2. Komplexusok 0•→X•→ Y•→Z•→0• rövid egzakt sorozatához tartozó homológiák hosszú egzakt sorozatában az egzaktság bizonyítása Hn(Y)-nál.

2. előadás (február 15.) A homológiák összekötő leképezése természetes. Kígyó-lemma. Projektív és injektív modulusok jellemzése és tulajdonságai. Projektív fedő és injektív burok. Véges dimenziós algebrák fölötti modulusokra és Abel-csoportokra a projektívek és injektívek leírása. Projektív és injektív feloldás. Egy modulushomomorfizmus fölemelhető a modulusok projektív feloldásaira, és ez a fölemelés homotópia erejéig egyértelmű. (R 3.1.,3.2., 6.2. eleje)

3. előadás (február 22.) Derivált funktorok definíciója. Patkó-lemma, deriváltfunktorok hosszú egzakt sorozata. Egzakt, balegzakt, jobbegzakt funktorok; a Hom(M,-) és Hom(-,N) funktor. A derivált funktorok axiomatikus jellemzése.

Beadandó házi feladat (márc. 7-ig):
Hf3. Bizonyítsuk be, hogy egy additív kovariáns funktor akkor és csak akkor visz minden rövid egzakt sorozatot jobbról egzaktba (0→X→Y→Z→0 egzakt => F(X)→F(Y)→F(Z)→0 egzakt), ha minden X→Y→Z→0 egzaktra F(X)→F(Y)→F(Z)→0 egzakt.

4. előadás (március 1.) Az Extn(M,N) kétféle deriváltfunktorral való definiálása. Példa: Ext1(Z2,Z2). Modulusok bővítései, bővítések ekvivalenciája, Ex(M,N). Felhasadó bővítések. Pullback és pushout. ξ∈Ex(M,N), f∈Hom(M',M), g∈Hom(N,N')-re fξ és ξg definíciója.

Beadandó házi feladat (márc. 18-ig):
Hf4. Határozzuk meg az Ext1(Z3,Z3) csoportot, és adjunk meg Ex1(Z3,Z3)-ban annyi nem ekvivalens, nem felhasadó bővítést, amennyi nem nulla eleme van Ext1(Z3,Z3)-nak.

5. előadás (március 8.) A Baer-összeg. Ex(M,N) Abel-csoport a Baer-összegre nézve, és End(M)-End(N)-bimodulus. Példa: Ex(Z4,Z4).

Beadandó házi feladat (márc. 22-ig):
Hf5. Határozzuk meg az Ext1(Zpn,Zqm) csoportot, ahol p, q (nem feltétlenül különböző) prímek.

6. előadás (március 22.) Ex(-,-) bifunktor. A hosszú egzakt sorozat eleje Ex(M,N)-nel. Ex(M,N) és Ext1 izomorfiája. Ext1 és bővítések kiszámítása gráfalgebra fölötti modulusokra. Bővítések Yoneda-szorzata, n hosszú bővítések ekvivalenciája.

7. előadás (március 29.) Minden bővítés ekvivalens egy olyan bővítéssel, amelynek az első kivételével a többi közbülső tagja projektív. Exn(M,N) Abel-csoport, sőt End(M)-End(N)-bimodulus. Exn(-,-) és Extn(-,-) természetesen izomorf bifunktorok. Hosszú bővítések gráfalgebra faktora fölött; Loewy-diagramokkal való számolás. Modulusok tenzorszorzata.

Beadandó házi feladat (ápr. 12-ig):
Hf6. Bizonyítsuk be, hogy Q-nak önmagával vett Z fölötti tenzorszorzata izomorf Q-val.
Hf7. Legyen Γ: 1→2→3 gráf (az első nyíl α, a második β), A a KΓ gráfalgebra, és B=A/I, ahol I=(αβ). Bizonyítsuk be, hogy a 0→S(3)→PB(2)→PB(1)→S(1)→0 bővítés A fölött 0, de B fölött nem. (Használjuk például az Exn és Extn közötti izomorfizmust!)

8. előadás (április 5.) Hom és tenzorszorzat bimodulusokon. Adjungált funktorok. A -⊗RB és HomS(B,-) funktorok adjungáltak egy RBS bimodulusra. Minden modulusnak létezik injektív burka.

9. előadás (április 12.) Generátor és kogenerátor. Projektív, injektív, generátor és kogenerátor modulusok jellemzése soroztok és Hom funktorral vett képük egzaktságának kapcsolatával. A tenzor funktor jobbegzakt. Lapos modulusok. Torn(M,N) definíciója, visszavezetése az Ext-re véges dimenziós algebra fölötti modulus esetén.

Hf8. Bizonyítsuk be, hogy egy MR modulus akkor és csak akkor generátor, ha valamilyen véges n-re RR direkt összeadandója az M modulus n példányából alkotott direkt összegnek.
Hf9. Bizonyítsuk be, hogy minden lapos Abel-csoport torziómentes, azaz nincs véges rendű eleme.

10. előadás (április 19.) Projektív és injektív dimenzió definíciója, és ekvivalens jellemzései. Egy rövid egzakt sorozat tagjainak projektív dimenziói közötti kapcsolat. Globális dimenzió definíciója, és kiszámítása általában, illetve Artin-gyűrű fölött. Féligegyszerű és öröklődő gyűrűk globális dimenziója. R/Rx és R fölötti projektív dimenzió kapcsolata, ha x centrális és nem nullosztó.

Hf10. Legyen I ideál A-ban, IA projektív, és B=A/I. Bizonyítsuk be, hogy minden XB modulusra pdAX≤pdBX+1.

11. előadás (április 26.) Hilbert syzygy-tétele. Auslander tétele: minden véges dimenziós algebra beágyazható véges globális dimenziósba.

Hf11. Legyen Γ az a gráf az 1,2,3,4 szögpontokon, amelyben i-ből i+1-be αi, i+1-ből i-be βi megy i=1,2,3-ra, és I=(αiαi+1, βi+1 βi, βiαi- αi+1βi+1, β3α3 | i=1,2,3) a KΓ ideálja. Határozzuk meg KΓ/I globális dimenzióját.

12. előadás (május 3.) Az Auslander-tétel bizonyításának befejezése. Kvázi-öröklődő algebrák globális dimenziója.