Bevezetés az általános topológiába

Fizikusok, matematikusok bevezetés az általános topológiába választható előadása,
2020/2021 II. félévében.

Tárgykövetelmény: Bevezetés az általános topológiába.

Tantárgy adatlapja: Bevezetés az általános topológiába adatlap.

Teams: A tárgy hivatalos Teams csatornája, illetve a csatorna kódja: rzoihv6.

Vizsgához: Tervek szerint a tárgyhoz tartozó tematika és a minimumkövetelmény.

Vázlatos tematika:

• Topologikus tér fogalma.
  • Topológia fogalma.
  • Topológia képe és inverz képe.
  • Altértopológia, szorzattopológia, összegtopológia, faktortopológia.
  • Környezet fogalma, topológia bázisa, M₁ és M₂ terek.
  • Rácsok és szűrők.
  • Belső pont, érintési pont és torlódási pont fogalma.
  • Halmaz belseje és lezártja.
  • Függvények folytonossága, függvényműveletek folytonossága.
  • Összefüggőség fogalma és jellemzése.
• Szétválasztási tulajdonságok.
  • T₀, T₁ és T₂-terek, valamint ezek jellemzése.
  • Általánosított sorozatok.
  • Topológia jellemzése általánosított sorozatok konvergenciájával.
  • Átviteli elv határértékre és folytonosságra általánosított sorozatokkal.
  • Reguláris, teljesen reguláris és normális terek, valamint T₃ és T₄-terek.
  • Tyihonov-lemma, Uriszon-tétel Tietze-tétel.
  • Egységosztás fogalma és egységosztás-tétel normális terekre.
  • Félmetrika által generált topológia, és a teljesen reguláris topológiák jellemzése.
  • Uriszon beágyazási tétele és Uriszon metrizációs tétele.
• Kompakt és lokálisan kompakt terek.
  • Lindelöf-terek.
  • Kompakt és lokálisan kompakt terek fogalma.
    • Centrált halmazok tulajdonságai.
    • Cantor-féle közösrész-tétel.
    • Bolzano-Weierstrass-tétel.
    • Tyihonov-tétel.
  • Kompakt téren értelmezett folytonos függvények tulajdonságai.
    • Kompakt halmaz folytonos függvény általi képe kompakt.
    • Weierstrass-féle maximum-minimum elv.
  • Kompakt terek metrizálhatóságának a jellemzése.
  • Kompakt tér normálissága.
  • Lokálisan kompakt halmazok jellemzése.
  • Az egypontú kompaktifikáció egzisztenciája és unicitása.
  • Uriszon-tétel, Tietze-tétel és egységosztás-tétel lokálisan kompakt terekre.
• Sűrűségi tételek.
  • Stone sűrűségi tétele.
  • Stone-Weiertrass sűrűségi tétele kompakt tereken.
  • Trigonometrikus függvények sűrűsége a folytonos periodikus függvények terében.
  • Stone-Weiertrass sűrűségi tétele lokálisan kompakt tereken.

Irodalom:

• Kristóf János: A matematikai analízis alapjai.
• Horst Schubert: Topológia. Műszaki könyvkiadó, Budapest 1986.
• Topology Atlas: Education
• Topology Atlas: Topology Explained