NUMERIKUS MÓDSZEREK SZEMINÁRIUM


BME TTK Analízis Tanszék - Szemináriumvezető: Horváth Róbert (rhorvath(at)math.bme.hu)


2008/09. II. félév

 

2009. március 4.

Hujter Mihály (BME MI, Differenciálegyenletek Tanszék) ->

Gráfok merev körökkel és alkalmazásuk a Gauss-Jordan-eliminációnál és valószínűségi becsléseknél

 

A merev körű gráfokat Hajnal András, Surányi János, Gallai Tibor, Dirac Gábor Endre és mások vezették be fél évszázada. Az alaptételek jól alkalmazhatók ritka mátrixokra a Gauss-Jordan elimináció lépésszámának és numerikus pontosságának javítására. Ugyanakkor, a merev körű gráfok segítségével egyszerű de javított pontosságú felső becslések is adhatók események úniójának valószínűségére.

 

Bevezető irodalom: http://math.bme.hu/~hujter/fedlap4.pdf, http://math.bme.hu/~hujter/operkut4.pdf

 

2009. március 18.

Horváth Róbert (BME MI, Analízis Tanszék) ->

Parciális differenciálegyenletek numerikus megoldásainak kvalitatív tulajdonságai

 

A differenciálegyenletek numerikus megoldása során az egyik legfontosabb követelmény a módszer konvergenciája, azaz hogy a numerikus megoldások sorozata „tartson” a feladat pontos megoldásához. A gyakorlatban nem szoktuk meghatározni a numerikus megoldások sorozatának határértékét, hanem mindig egy rögzített rácshálón szoktunk számolni. Vajon az így kapott numerikus megoldás mindig tükrözni fogja az eredeti egyenlet által leírt folyamat kvalitatív tulajdonságait? Természetesen nem. Az előadásban a hővezetési egyenlet példáján keresztül megvizsgáljuk, hogy milyen rácsokat választhatunk a kvalitatív tulajdonságok megőrzéséhez. Látni fogjuk, hogy az ezt biztosító feltételek jóval szigorúbbak, mint a konvergencia feltétele.

 

2009. április 1.

Gyurkovics Éva (BME MI, Differenciálegyenletek Tanszék) ->

Sampled-data control and stability of sets for nonlinear systems

 

This paper is devoted to the investigation of the relation between stability properties of nonlinear closed-loop control systems and those of families of approximations with respect to a given set. Firstly, such relation is derived for continouos-time closed-loop systems and the associated sampled-data systems. Secondly, stability results are presented for parametrized families of exact and approximate discrete-time models considered with parametrized family of feedbacks. In both cases, the sampling period is allowed to vary from step to step, and the stability is investigated with respect to nonempty closed (not necessarily compact) sets. Necessary and sufficient conditions are presented on the stability of approximations ensuring stability of the approximated systems.

 

2009. április 15.

Kálvin Sándor (MTA KFKI, Részecske- és Magfizikai Kutatóintézet)

Inverz problémák megoldása Bayes statisztikus módszerekkel

 

A fizikában a mérési adatok kiértékelésénél és az eredmények értelmezésénél talán az egyik leggyakrabban előforduló feladat a lineáris vagy nemlineáris inverz probléma. Nagyon gyakran a probléma ill-posed, így zajjal terhelt mérési adatok esetén még egyszerű feladatoknál is problémát jelent a megoldás. A Bayes elméleten alapuló statisztikus feldolgozás konzisztens módszert kínál ezen problémák megoldására. Az előadásban konkrét fizikai mérések megoldásának bemutatásával bizonyítom a módszer használhatóságát, és rámutatok a felmerülő numerikus problémákra.

 

2009. április 29.

Faragó István (ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematika Tanszék) ->

Az operátorszeletelési eljárás

 

Az operátorszeletelés (angolul: operator splitting) egy olyan eljárás, amelynek segítségével a viszonylag bonyolult, időben változó feladatokat több, egyszerűbb szerkezetű feladatok sorozatával közelítjük. Az előadáson ismertetjük a lehetséges felbontási módszereket, milyen hibák léphetnek fel ezen megközelítés esetén, hogyan érdemes numerikus módszert választani a felbontott, egyszerűbb feladatok megoldására. Ismertetünk néhány lehetséges

alkalmazási területet is, és összefoglalásként összegezzük ezen megközelítés előnyeit illetve hátrányait.

 

2009. május 13.

Garay Barnabás (BME MI, Differenciálegyenletek Tanszék) ->

A klasszikus fizikai inga kaotikus mozgásai

(közös munka Bánhelyi Balázzsal, Csendes Tiborral és Hatvani Lászlóval – SIAM J. Appl. Dyn. 7(2008), 843-867.)

 

The present talk is devoted to studying Hubbard's pendulum equation

.

By rigorous/interval methods of computation, the main assertion of Hubbard on chaos properties of the induced dynamics is lifted from the level of experimentally observed facts to the level of a theorem completely proved. A distinguished family of solutions is shown to be chaotic in the sense that on consecutive time intervals

(2k,2(k+1)), kZ, individual members of the family can freely “choose” between the following possibilities: the pendulum either crosses the bottom position exactly once clockwise or does not cross the bottom position at all or crosses the bottom position exactly once counterclockwise. The proof follows the topological index/degree approach by Mischaikow, Mrozek, and Zgliczynski. The novelty is a definition of the transition graph for which the periodic orbit lemma, the key technical result of the approach aforementioned, turns out to be a consequence of Brouwer's fixed point theorem. The role of wholly automatic versus “trial and error with human overhead” computer procedures in detecting chaos is also discussed. (Az előadás magyar nyelvű lesz.)