Normált algebrák elemei
Fizikusok, matematikusok normált algebrák elemei választható előadása,
2022/2023 I. félévében.
Tárgykövetelmény: Normált algebrák elemei.
Vizsgakövetelmény: Tételsor.
Vázlatos tematika:
Az előadások tematikái:
Hét: | Előadás anyaga: |
1. hét |
Def.
Algebra (a.), egységelemes algebra (ee.a.).
Algebra-morfizmus. Ideál, reguláris ideál, maximális ideál, valódi ideál.
Karakter, karaktertér ($X(A)$). Tétel. Egységelemesítés létezik és izomorfia erejéig egyértelmű. Def. Algebra egységelemesítése. Standard egységelemesítés ($\tilde{A}$). Def. Faktoralgebra, műveletek a faktoralgebrában. Tétel. A $\pi:A\to A/m$, $a\mapsto a/\sim\ $ faktorleképezés algebramorfizmus. Tétel. Az $m$ ideál pontosan akkor reguláris, ha $A/m$ egységelemes és nem nulla dimenziós. Tétel. Karakter magja 1 kodimenziós reguláris ideál. |
2. hét |
Tétel.
$\mathrm{Ker}:X(A)\to\{m\subseteq A : m\ \mbox{1 kodimenziós reguláris ideál}\}$ bijekció. Tétel. Ee.a.-ban minden valódi ideál része egy maximális ideálnak. Tétel. Ha $m$ reguláris maximális ideál A-ban, akkor létezik olyan $\tilde{m}$ maximális ideál $\tilde{A}$-ban, hogy $m=\tilde{m}\cap A$. Tétel. Ha $m$ reguláris maximális ideál a $K$ test feletti kommutatív $A$ algebrában, akkor $A/m$ testbővítése $K$-nak. Tétel. Ha $V$ normált tér, $m\subseteq V$ lineáris altér akkor a $p:V/m\to\mathbb{R}$, $\eta\mapsto\inf\{\Vert x\Vert: x\in\eta\}$ leképezés pontosan akkor norma a $V/m$ faktortéren, ha $m$ zárt. Tétel. Ha $V$ normált tér, $m\subseteq V$ zárt lineáris altér akkor a $p:V/m\to\mathbb{R}$, $\eta\mapsto\inf\{\Vert x\Vert: x\in\eta\}$ leképezés folytonos és nyílt. |
3. hét |
Tétel.
Ha $V$ Banach-tér és $m$ zárt lineáris altér, akkor $V/m$ is Banach-tér. Tétel. Ha $A$ normált algebra és $m$ zárt ideálja, akkor $A/m$ is normált algebra. Tétel. Ha $A$ Banach-algebra és $m$ zárt ideálja, akkor $A/m$ is Banach-algebra. Def. Gelfand-topológia a karaktertéren. Tétel. A Gelfand-topológia szerinti konvergencia megegyezik a pontonkénti konvergencia topológiájával. Def. Gelfand-transzformáció: $\mathcal{G}:A\to\mathcal{F}(X(A),K)$, $a\mapsto\bigl(\chi\mapsto \chi(a) \bigr)$. Tétel. A Gelfand-transzformáció algebra morfizmus és a Gelfand-transzformált folytonos függvény. Def. Elem spektrálsugara ($\rho(a)$). Tétel. Ha $A$ normált algebra és $a\in A$, akkor $\displaystyle\rho(a)=\lim_{n\to\infty}\root{n}\of{\Vert a^{n}\Vert}$. Tétel. Ha $A$ normált algebra, $a,b\in A$, $\lambda\in\mathbb{K}$ és $k\in\mathbb{N}^{+}$, akkor $\rho(\lambda a)=\vert\lambda\vert\rho(a)$, $\rho(a^{k})=\rho(a)^{k}$ és $ab=ba$ esetén $\rho(ab)\leq\rho(a)\rho(b)$. Tétel. Carl Neumann-sorfejtés: Ha $A$ egységelemes Banach-algebra és az $a\in A$ elemre $\rho(a)<1$ teljesül, akkor $(1-a)$ invertálható és $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a^{n}=(1-a)^{-1}$. Tétel. Ha $G(A)$ jelöli az $A$ egységelemes Banach-algebra invertálható elemeinek halmazát, akkor minden $a\in G(A)$ esetén $B_{\frac{1}{\Vert a^{-1}\Vert}}(a)\subseteq G(A)$ teljesül; $G(A)$ nyílt halmaz; továbbá az $i:G(A)\to G(A)$, $i(a)=a^{-1}$ invertálás folytonos művelet. |
4. hét |
Tétel.
Ideál lezártja ideál. Tétel. Banach-algebrában minden reguláris maximális ideál zárt. Def. Egységelemes algebrában elem spektruma illetve tetszőleges algebrában elem vesszős spektruma. Tétel. Jacobson-lemma: Ha $A$ egységelemes algebra, akkor minden $a,b\in A$ esetén $\mathrm{Sp}(ab)\cup\left\{ 0\right\}=\mathrm{Sp}(ba)\cup\left\{ 0\right\}$. Tétel. Ha $A$ egységelemes algebra, akkor minden $a\in A$ és $\chi\in X(A)$ esetén $\chi(a)\in \mathrm{Sp}(a)$. Tétel. Ha $A$ és $B$ egységelemes algebra, valamint $\pi:A\to B$ egységelemtartó algebra morfizmus, akkor minden $a\in A$ esetén $\mathrm{Sp}(\pi(a))\subseteq \mathrm{Sp}(a)$ teljesül. Tétel. Rickart-tétel: Ha $A$ nem nulladimenziós egységelemes komplex normált algebra és $a\in A$, akkor létezik olyan $z\in \mathrm{Sp}(a)$, melyre $\left\vert z\right\vert\geq\rho(a)$ teljesül. Tétel. Gelfand-Mazur-tétel: Ha $A$ olyan egységelemes komplex normált algebra, melyben a nullán kívül minden elem invertálható, akkor $A=\mathbb{C}\cdot 1$. |
5. hét |
Tétel.
Kommutatív $\mathbb{C}$ feletti Banach-algebrában minden reguláris maximális ideál $1$ kodimenziós. Tétel. Egy $K$ test feletti egységelemes algebrában ha $p$ legalább elsőfokú polinom, akkor minden $a\in A$ elemre $p(\mathrm{Sp}(a))\subseteq \mathrm{Sp}(p(a))$ teljesül, valamint ha $K$ algebrailag zárt akkor $p(\mathrm{Sp}(a))=\mathrm{Sp}(p(a))$. Tétel. Ha $A$ egységelemes Banach-algebra és $a\in A$, akkor $\mathrm{Sp}(a)\subseteq\mathbb{K}$ kompakt halmaz, valamint $\mathrm{Sp}(a)\subseteq \overline{B_{\rho(a)}(0)}$. Tétel. Spektrálsugár minimalitási tulajdonsága: Ha $A$ $\mathbb{C}$ feletti Banach-algebra, akkor minden $a\in A$ esetén $\rho(a)=\min\left\{r\in\mathbb{R}\vert\ \mathrm{Sp}'(a)\subseteq\overline{B_{r}(0)} \right\}$. Tétel. Ha $A$ Banach-algebra, akkor minden $a\in A$ elemre és $\chi\in X(A)$ karakterre $\vert\chi(a)\vert\leq\rho(a)\leq\Vert a\Vert$ teljesül. Tétel. Ha $A$ Banach-algebra, akkor $X(A)$ lokálisan kompakt topologikus tér, valamint ha $A$ egységelemes is, akkor $X(A)$ kompakt. (Nem bizonyítjuk.) Tétel. Ha $A$ Banach-algebra és $a\in A$, akkor $\mathcal{G}(a)\in\overline{\mathscr{K}}(X(A),\mathbb{K})$ és $\Vert\mathcal{G}(a)\Vert\leq\rho(a)$. Tétel. Ha $A$ egységelemes kommutatív $\mathbb{C}$ feletti Banach-algebra, akkor minden $a\in A$ elemre $\mathrm{Ran}(\mathcal{G}(a))=\mathrm{Sp}(a)$, valamint $\Vert\mathcal{G}(a)\Vert=\rho(a)$. Tétel. Ha $A$ kommutatív $\mathbb{C}$ feletti Banach-algebra, akkor a $\mathcal{G}$ Gelfand-transzformáció pontosan akkor izometria, ha minden $a\in A$ elemre $\Vert a^{2}\Vert=\Vert a\Vert^{2}$ teljesül. Tétel. Ha $A$ kommutatív $\mathbb{C}$ feletti Banach-algebra, akkor $$\mathrm{Ker}(\mathcal{G})=\left\{a\in A\vert\ \rho(a)=0 \right\} =\left\{a\in A\vert\ \mathrm{Sp}'(a)=\{0\} \right\} =\bigcap_{\chi\in X(A)}\mathrm{Ker}(\chi) =\bigcap_{\begin{array}{c} m\subseteq A\\ m\ \text{reg. max. id.}\end{array}} m.$$ Def. Algebra Jacobson-radikálja. Tétel. Egészfüggvény számítás: Legyen $A$ egységelemes $\mathbb{C}$ feletti Banach-algebra, $a\in A$ és jelölje $\mathscr{E}$ a $\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ holomor függvények halmazát. Ekkor $\mathscr{E}\to A$, $f\mapsto f(a)$ olyan egységelem tartó algebra morfizmus, melyre minden $f\in\mathscr{E}$ esetén $f(\mathrm{Sp}(a))\subseteq\mathrm{Sp}(f(a))$ teljesül. |
6. hét |
Def.
Involúció, valódi involúció. *-algebra, normált *-algebra,
Banach-algebra, Banach-*-algebra.
*-Algebrában: önadjungált, normális, pozitív, idempotens és projektor elem,
egységelemes *-algebrában unitér elem.
*-algebra-morfizmus. Def. Komplex számtest feletti *-algebrában lineáris funkcionál adjungáltja, pozitív és önadjungált funkcionálok. Tétel. Komplex számtest feletti *-algebrán értelmezett funkcionál pontosan akkor önadjungált, ha minden önadjungált elemen valós az értéke. Def. Pre-C*-algebra és C*-algebra. Tétel. C*-algebra egységelemesítése: Legyen $\mathcal{A}$ C*-algebra és $\tilde{\mathcal{A}}=\mathbb{C}\times\mathcal{A}$ az egységelemesítésnél bevezetett algebrai műveletekkel ellátva. Ha $\mathcal{A}$ egységelemes, akkor $\tilde{\mathcal{A}}$ a $\Vert(\lambda,a)\Vert=\max\{\vert\lambda\vert,\Vert a+\lambda \Vert \}$ normával egységelemes C*-algebra; ha $\mathcal{A}$ nem egységelemes, akkor $\tilde{\mathcal{A}}$ a $\displaystyle\Vert(\lambda,a)\Vert=\sup_{\Vert x\Vert\leq 1}\Vert \lambda x+ax\Vert$ normával egységelemes C*-algebra. Tétel. Ha $A$ C*-algebra, akkor normális $a\in A$ elemre $\rho(a)=\Vert a\Vert$ teljesül. Tétel. Az $A$ egységelemes C*-algebrában minden untér $u\in A$ elemre $\mathrm{Sp}(a)\subseteq\mathbb{T}$ teljesül. Tétel. Az $A$ C*-algebrában minden önadjungált $a\in A$ elemre $\mathrm{Sp}(a)\subseteq\mathbb{R}$ teljesül. Tétel. Ha $A$ C*-algebra, akkor minden $\chi\in X(A)$ karakterre $\chi^{*}=\chi$ teljesül. Tétel. Gelfand-Naimark-tétel: Ha $\mathcal{A}$ kommutatív C*-algebra, akkor a $\mathcal{G}:\mathcal{A}\to\overline{C_{0}(X(\mathcal{A}),\mathbb{C})}$ Gelfand-transzformáció izometrikus *-algebra izomorfizmus. |
7. hét |
Tétel.
Ha $\mathcal{A}$ Banach-*-algebra, $\mathcal{B}$ pre-C*-algebra és $\pi:\mathcal{A}\to\mathcal{B}$ *-algebra morfizmus, akkor
minden $a\in\mathcal{A}$ esetén $\Vert\pi(a)\Vert\leq\Vert a\Vert$. Tétel. Ha $\mathcal{A}$ *-algebra C*-algebra a $\Vert\cdot\Vert_{1}$ és a $\Vert\cdot\Vert_{2}$ normával, akkor $\Vert\cdot\Vert_{1}=\Vert\cdot\Vert_{2}$. Tétel. Ha $\mathcal{A}$ C*-algebra, $\mathcal{B}$ normált *-algebra és $\pi:\mathcal{A}\to\mathcal{B}$ injektív *-algebra morfizmus, akkor minden $a\in\mathcal{A}$ esetén $\Vert a\Vert\leq\Vert\pi(a)\Vert$. Tétel. Ha $1\in B\subseteq A$, ahol $A$ egységelemes Banach-algebra, $B$ zárt részalgebra, akkor minden $b\in B$ elemre $\mathrm{Fr}(\mathrm{Sp}_{B}(b))\subseteq \mathrm{Fr}(\mathrm{Sp}_{A}(b))$ teljesül, ahol $\mathrm{Fr}(\Omega)=\overline{\Omega}\setminus \mathrm{Int}(\Omega)$. Tétel. Ha $A$ egységelemes C*-algebra és $B$ ennek olyan C*-részalgebrája, melynek eleme $A$ egységeleme, akkor $\forall b\in B$ elemre $\mathrm{Sp}_{B}(b)=\mathrm{Sp}_{A}(b)$. |
8. hét |
Tétel.
Legyen $T$ lokálisan kompakt topologikus tér, $\mathcal{A}=\overline{C_{0}(T,\mathbb{C})}$ és minden $F\subseteq T$
esetén legyen $m_{F}=\left\{a\in\mathcal{A}\vert\ \forall t\in F:\ a(t)=0 \right\}$.
Ekkor
$$\left\{ F\subseteq T\vert\ F\ \text{zárt}\right\}\to\left\{m\subseteq A\vert\ m\ \text{zárt ideál} \right\}\qquad F\mapsto m_{f}$$
bijekció,
$$\left\{ F\subseteq T\vert\ F\neq\emptyset,\ F\ \text{kompakt}\right\}\to\left\{m\subseteq A\vert\ m\ \text{zárt reguláris ideál} \right\}
\qquad F\mapsto m_{f}$$
bijekció és ha minden $t\in T$ esetén $\varepsilon_{t}:\mathcal{A}\to\mathbb{C}$, $a\mapsto a(t)$, akkor
$\varepsilon:T\to X(\mathcal{A})$, $t\mapsto\varepsilon_{t}$ homeomorfizmus. Tétel. Ha $T$ és $S$ lokálisan kompakt topologikus tér, akkor minden $\pi:\overline{C_{0}(T,\mathbb{C})}\to \overline{C_{0}(S,\mathbb{C})}$ algebra izomofizmushoz létezik egyetlen $\sigma:S\to T$ homeomorfizmus, melyre $\sigma^{\sharp}=\pi$ teljesül, ahol $\sigma^{\sharp}:\overline{C_{0}(T,\mathbb{C})}\to \overline{C_{0}(S,\mathbb{C})}$, $\varphi\mapsto\varphi\circ\sigma$. Tétel. Ha $T$ és $S$ lokálisan kompakt topologikus tér, akkor a $\overline{C_{0}(T,\mathbb{C})}$, $\overline{C_{0}(S,\mathbb{C})}$ C*-algebrák pontosan akkor izomorfak, ha a $T$, $S$ terek homeomorfak. Tétel. Legyen $\mathcal{A}$ egységelemes C*-algebra, $a\in\mathcal{A}$ normális elem és jelölje $B$ az $1,a,a^{*}$ elemek által generált C*-részalgebrát. Ekkor létezik egyetlen $C_{a}:C(\mathrm{Sp}(a),\mathbb{C})\to\mathcal{A}$ egységelemtartó *-algebra morfizmus a $C_{a}(\mathrm{id}_{\mathrm{Sp}(a)})=a$ tulajdonsággal, továbbá $C_{a}$ izometria, valamint $\mathrm{Ran}(C_{a})=B$ teljesül. |
9. hét |
Tétel.
Ha $\mathcal{A}$ egységelemes C*-algebra, $a\in\mathcal{A}$ normális elem és $\varphi\in C(\mathrm{Sp}(a),\mathbb{C})$, akkor
$\mathrm{Sp}\varphi(a)=\varphi(\mathrm{Sp}(a))$. Tétel. Legyen $\mathcal{A}$ C*-algebra, $a\in\mathcal{A}$ normális elem és jelölje $B$ az $a,a^{*}$ elemek által generált C*-részalgebrát, továbbá legyen $C'(\mathrm{Sp}'(a),\mathbb{C})=\{\varphi\in C(\mathrm{Sp}'(a),\mathbb{C})\vert\ \varphi(0)=0 \}$. Ekkor létezik egyetlen $C_{a}':C'(\mathrm{Sp}'(a),\mathbb{C})\to\mathcal{A}$ *-algebra morfizmus a $C_{a}'(\mathrm{id}_{\mathrm{Sp}'(a)})=a$ tulajdonsággal, továbbá $C_{a}'$ izometria, valamint $\mathrm{Ran}(C_{a}')=B$ teljesül. Tétel. Legyen $\mathcal{A}$ C*-algebra $a\in\mathcal{A}$ normális elem és egységelemes esetben $\varphi\in C(\mathrm{Sp}(a),\mathbb{C})$, nem egységelemes esetben pedig $\varphi\in C'(\mathrm{Sp}'(a),\mathbb{C})$. (i) Ha $\mathrm{Ran}(\varphi)\subseteq\mathbb{R}$, akkor $\varphi(a)$ önadjungált. (ii) Egységelemes esetben ha $\mathrm{Ran}(\varphi)\subseteq\mathbb{T}$, akkor $\varphi(a)$ unitér. (iii) Ha $\mathrm{Ran}(\varphi)\subseteq\mathbb{R}^{+}_{0}$, akkor létezik $b\in\mathcal{A}$ önadjungált elem, melyre $\varphi(a)=b^{2}$ teljesül. (iiii) Ha $\mathrm{Ran}(\varphi)\subseteq\{0,1\}$, akkor $\varphi(a)$ projekció. Def. C*-algebra önadjungált elemének pozitív és negatív része, valamint abszolútértéke. Tétel. Ha $\mathcal{A}$ C*-algebra és $a\in\mathcal{A}_{\mathrm{sa}}$, akkor létezik olyan $u,v\in\mathcal{A}_{\mathrm{sa}}$, melyre $a=u^{2}-v^{2}$ és $uv=vu=0$ teljesül. Tétel. Ha $\mathcal{A}=\mathcal{L}(H)$ és $a\in\mathcal{A}$, akkor az $a$ elem pontosan akkor pozitív az $\mathcal{A}$ C*-algebrában, ha minden $x\in H$ esetén $0\leq\langle ax,x\rangle$ teljesül. Tétel. Ha $\mathcal{A}$ egységelemes C*-algebra, $a\in\mathcal{A}_{\mathrm{sa}}$, akkor (i) $\Vert 1-a\Vert\leq 1 \quad\Rightarrow\quad \mathrm{Sp}(a)\subseteq\mathbb{R}^{+}_{0}$ ; (ii) $\Vert a\Vert\leq 1\ \land\ \mathrm{Sp}(a)\subseteq\mathbb{R}^{+}_{0}\quad\Rightarrow\quad \Vert 1-a\Vert\leq 1$; (ii) $\Vert \Vert a\Vert-a\Vert\leq\Vert a\Vert \quad\Leftrightarrow\quad \mathrm{Sp}(a)\subseteq\mathbb{R}^{+}_{0}$. Tétel. Egységelemes C*-algebrában két önadjungált, pozitív spektrumú elem összege szintén pozitív spektrumú. Tétel. Ha $\mathcal{A}$ egységelemes C*-algebra és $a\in\mathcal{A}_{\mathrm{sa}}$, akkor az alábbi ekvivalencia teljesül. $$\mathrm{Sp}(a)\subseteq\mathbb{R}^{+}_{0}\ \Leftrightarrow\ \exists y\in\mathcal{A}_{\mathrm{sa}}:\ a=y^2\ \Leftrightarrow\ \exists y\in\mathcal{A}:\ a=y^{*}y\ \Leftrightarrow\ a\in\mathcal{A}_{+}$$ Tétel. Ha $\mathcal{A}$ C*-algebra és $a\in\mathcal{A}_{\mathrm{sa}}$, akkor az alábbi ekvivalencia teljesül. $$\mathrm{Sp}'(a)\subseteq\mathbb{R}^{+}_{0}\ \Leftrightarrow\ \exists y\in\mathcal{A}_{\mathrm{sa}}:\ a=y^2\ \Leftrightarrow\ \exists y\in\mathcal{A}:\ a=y^{*}y\ \Leftrightarrow\ a\in\mathcal{A}_{+}$$ Tétel. C*-algebrában a pozitív elemek zárt halmazt alkotnak. Tétel. C*-algebra önadjungált elemein a $\leq$ reláció rendezés. |
10. hét |
Tétel.
Ha $\mathcal{A}$ egységelemes C*-algebra, akkor (i) $\forall a\in\mathcal{A}_{\mathrm{sa}}:\ a\leq \Vert a\Vert\cdot 1$; (ii) $\forall a,b\in\mathcal{A}_{+}:\ a\leq b\ \Rightarrow\ \Vert a\Vert\leq\Vert b\Vert $; (iii) $\forall a,b\in\mathcal{A}_{+}\cap G(\mathcal{A}):\ a\leq b\ \Rightarrow\ b^{-1}\leq a^{-1} $; (iiii) $\forall a\in\mathcal{A}:\ 1+a^{*}a\in G(\mathcal{A})$; Tétel. Ha $m$ bal oldali ideál az $\mathcal{A}$ C*-algebrában, akkor létezik olyan $(e_{i})_{i\in I}$ általánosított sorozat, hogy (i) $\forall i\in I:\ e_{i}\in m\cap\mathcal{A}_{+}\ \land\ \Vert e_{i}\Vert\leq 1$; (ii) $\forall i,j\in I:\ i\leq j \ \Rightarrow\ e_{i}\leq e_{j}$; (iii) $\displaystyle\forall a\in\overline{m}:\ \lim_{i,I}ae_{i}=a$. Def. Approximatív egységelem normált algebrában. Tétel. Ha $m$ sűrű bal oldali ideál az $\mathcal{A}$ C*-algebrában, akkor létezik olyan $(e_{i})_{i\in I}$ általánosított sorozat, hogy (i) $\forall i\in I:\ e_{i}\in m\cap\mathcal{A}_{+}\ \land\ \Vert e_{i}\Vert\leq 1$; (ii) $\forall i,j\in I:\ i\leq j \ \Rightarrow\ e_{i}\leq e_{j}$; (iii) $\displaystyle\forall a\in\mathcal{A}:\ \lim_{i,I}ae_{i}=\lim_{i,I}e_{i}a=a$. Tétel. Minden C*-algebra approximatív egységelemes. Tétel. Ha $(e_{i})_{i\in I}$ approximatív egységelem az $\mathcal{A}$ C*-algebrában, akkor minden $n,m\in\mathbb{N}^{+}$ esetén minden $a\in \mathcal{A}$ elemre $\displaystyle\lim_{i,I}e_{i}^{n}ae_{i}^{m}=a$ teljesül. Tétel. C*-algebrában miden zárt ideál *-ideál. Tétel. Ha $m$ zárt ideál az $\mathcal{A}$ C*-algebrában, akkor $\mathcal{A}/m$ a faktornormával C*-algebra. |
11. hét | Oktatási szünet. |
12. hét |
Cech-Stone-kompaktifikáció és annak nemkommutatív megfelelője a multiplier algebra.
A multiplier algebra konstrukciója és alaptulajdonságai. Lokálisan kompakt topologikus csoport mértékalgebrája. Mértékalgebra műveletei. |
13. hét |
Def.
*-algebra ábrázolása.
Nem elfajult, ciklikus, geometriailag, algebrailag irreducibilis, valamint null-ábrázolás. Tétel. *-algebra minden algebrailag irreducibilis ábrázolása geometriailag is irreducibilis. Def. Ábrázolásokat összekötő operátorok halmaza. Def. Diszjunkt és unitér ekvivalens ábrázolások. Tétel. *-algebra minden ábrázolása felbontható egy null-árbázolás és egy nem elfajult ábrázolás direkt összegére. Def. Szummálható ábrázolások direkt összege. Tétel. *-algebra minden nem elfajult ábrázolása felbontható ciklikus ábrázolások direkt összegére. Tétel. Ha $\mathcal{A}$ *-algebra, $\pi:\mathcal{A}\to\mathcal{L}(\mathcal{H})$ ábrázolása és $x\in\mathcal{H}$, akkor az $f_{\pi,x}:\mathcal{A}\to\mathbb{C}$, $f_{\pi,x}(a)=\langle x,\pi(a)x\rangle$ funkcionálra minden $a\in\mathcal{A}$ esetén az alábbiak teljesülnek. (i) $f_{\pi,x}(a^{*}a)\geq 0$ (ii) $f_{\pi,x}(a^{*})=\overline{f_{\pi,x}(a)}$ (iii) $\vert f_{\pi,x}(a)\vert^{2}\leq\Vert x\Vert^{2}\cdot f_{\pi,x}(a^{*}a)$ Def. Reguláris pozitív funkcionál *-algebra felett. Tétel. Ha $\mathcal{A}$ *-algebra és $f:\mathcal{A}\to\mathbb{C}$ pozitív funkcionál, akkor minden $a,b\in\mathcal{A}$ esetén az alábbiak teljesülnek. (i) $f(b^{*}a)=\overline{f(a^{*}b)}$ (ii) $\vert f(b^{*}a)\vert^{2}\leq f(a^{*}a)f(b^{*}b)$ Tétel. Egységelemes *-algebrán minden pozitív funkcionál reguláris pozitív funkcionál. Tétel. Ha $\mathcal{A}$ *-algebra és $f:\mathcal{A}\to\mathbb{C}$ pozitív funkcionál, akkor az $$\langle\cdot,\cdot\rangle_{f}:\mathcal{A}\times\mathcal{A}\to\mathbb{C}\qquad (a,b)\mapsto f(a^{*}b)$$ leképezés fél-skaláris-szorzás és $$\Vert\cdot\Vert_{f}:\mathcal{A}\to\mathbb{R}\qquad (a)\mapsto f(a^{*}a)$$ félnorma. Tétel. Legyen $\mathcal{A}$ *-algebra és $f:\mathcal{A}\to\mathbb{C}$ pozitív funkcionál. Pontosan akkor létezik $\tilde{f}:\tilde{\mathcal{A}}\to\mathbb{C}$ pozitív kiterjesztése az $f$ funkcionálnak, ha $f$ reguláris pozitív funkcionál. Tétel. Banach-*-algebrán minden reguláris pozitív funkcionál folytonos. Tétel. Ha $\mathcal{A}$ olyan Banach-*-algebra, ahol $\Vert 1\Vert=1$ és $f:\mathcal{A}\to\mathbb{C}$ pozitív funkcionál, akkor $f$ folytonos és $\Vert f\Vert=f(1)$ teljesül. Tétel. Approximatív egységelemes Banach-*-algebrán minden folytonos pozitív funkcionál reguláris pozitív funkcionál. Tétel. Ha $\mathcal{A}$ Banach-*-algebra és $f:\mathcal{A}\to\mathbb{C}$ reguláris pozitív funkcionál, akkor minden $a,b\in\mathcal{A}$ esetén $\vert f(b^{*}ab)\vert\leq \Vert a\Vert\cdot f(b^{*}b)$ teljesül. Tétel. C*-algebrán minden pozitív funkcionál folytonos. Tétel. C*-algebrán minden pozitív funkcionál reguláris. |
14. hét |
Tétel.
GNS-konstrukció: Banach-*-algebrán minden reguláris pozitív funkcionál árbázolható. Tétel. C*-algebrán minden pozitív funkcionál árbázolható. Tétel. Gelfand-Naimark-tétel: Minden C*-algebrának létezik hű ábrázolása és minden hű ábrázolás izometria. Kommutatív lokálisan kompakt csoport duálisa. Pontrjagin-féle dualitási tétel. Fourier transzformáció. |
Szabadon letölthető anyagok a témában: