Bevezetés

A dolgozatban a térkitöltések igen izgalmas témájával foglalkozunk. Sok megközelítés geometriailag próbálja megfogni a problémát. Ezzel szemben mi most mutatni fogunk egy módszert a térkitöltések algebrai osztályozására. A módszernek igen komoly irodalma van, érdemes megemlíteni Macbeath [10] művét, mivel jelöléseink nagy része innen származik, illetve Delaney és Dress munkáit ([5,6]), amivel módszerünket megalapozták.

A módszer alapja, hogy a kövezést szimplex-kövezésre bontjuk, és a különböző szimplexek egymással való viszonyát egy diagramon (vagy többszínű gráfon) ábrázoljuk, majd egy mátrix-függvénnyel finomítjuk ezt. Ezzel a módszerrel a kövezések topologikusan leírhatók.

Módszerünkkel fel tudjuk sorolni az összes lehetséges kövezést az algebrai leírás alapján. Végül a kapott algebrai leírásokat részletesen kielemezzük, és néhányat meg is mutatunk az olvasónak.

A következő problémákkal találtuk szembe magunkat: Adott egy rendezés a diagramok között; tudjuk hogy milyen feltételeknek kell a diagramoknak triviálisan megfelelnie; ez alapján soroljuk fel a lehetséges diagramokat, mindegyiket pontosan egyszer. A diagramok alapján soroljuk fel finomításként azokat a lehetséges mátrix-függvényeket, melyek realizálhatók (esetleges hasítás segítségével, amire a dolgozatban nem térünk ki) a 8 lehetséges 3 dimenziós homogén geometria valamelyikében. Ehhez vizsgálnunk kell a kövezések megfelelő pontjai körül kialakuló kisebb dimenziós kitöltések kombinatorikusan értelmezett görbületét (szférikus, néhány esetben akár euklideszi (zérus) is lehet). Illetve a szférikus görbületek esetén a gömbön megvalósuló kövezések közül az úgynevezett rossz orbifoldokat ki kell zárnunk. Ezenkívül még szembetaláljuk magunkat a végtelen sok lehetőség problémájával is.

A felmerült problémák nagy részét sikerült megoldani, kiemeljük a csúcsok és testközéppontok körüli kövezések 2-dimenziós D-szimbólumának kezelését és a végtelen paraméter sorozatokat, melyek a megfelelő gömbi csoportokra utalnak. Nem vizsgáltuk a 3-dimenziós realizálhatóságot általánosan, hiszen ez a Thurston sejtés kérdésköréhez vezet.

Találtunk összesen 281 lehetséges 6 elemű D-szimbólumot, melyekre összesen 1757 féle jó görbületet és az él- illetve lapközéppontok körül jó orbifoldot adó mátrix-függvény van (a különböző végtelen láncokat 1-1 lehetséges mátrix-függvénynek számolva).