Paraméterek és paraméteres mátrixok előállítása

A D-szimbólum különböző szimplexei egymással szoros összefüggésben vannak, és így nem tehetjük meg, hogy az $\mathcal{M}$ mátrix-függvény nem rögzített elemeit szabadon választjuk meg (az $\mathcal{R}$ mátrix-függvénnyel való osztó-többszörös viszonyt megtartva sem.) Ezért bevezetünk paramétereket, amik szomszédos operáció-párok egymás után alkalmazásával kapott egy-egy pályához tartoznak, mivel nem fordulhat elő olyan, hogy ugyanazon a pályán az egyik szimplexből indulva például 5, a másikból indulva 10 lépésből érünk vissza először a kiindulási pontba.

A probléma a következőképpen algoritmizálható: sec:kdim részben ismertetett algoritmust alkalmazzuk úgy, hogy csak a szomszédos operációpárokat használjuk. (Közben a $\Gamma$ -beli síktükrözéseket is észrevehetjük úgy, hogy a következő szomszédsági operáció egy hurok, azaz önmagába vezet.) Minden ilyen komponenshez veszünk egy új karaktert (a paramétert ezzel jelöljük kiíráskor), meghatározzuk a paraméter együtthatóját (az $\mathcal{R}$ mátrix megfelelő értéke) és beállítjuk a paraméter minimális értékét úgy, hogy legalább 3 legyen az együtthatóval vett szorzata. A paraméterhez hozzárendeljük, hogy melyik operációhoz tartozik, és melyik szimplexekre hat; ezenkívül a szimplexekhez is hozzárendeljük, hogy melyik szomszédos operáció-párjához melyik paraméter tartozik. Ha mindez megvan, egyszerűen tudjuk kezelni a paraméterek változtatását, mert azonnal tudjuk, hogy a mátrix-függvényben melyik szimplexek melyik értékeit kell változtatni; illetve melyik szimplex melyik operációjához melyik paraméter tartozik (ez a paraméteres kiíratáshoz szükséges.)

Miután meghatároztuk a paramétereket, a következő problémával is meg kell küzdenünk (de itt már csak 3 dimenzióról tudunk beszélni:) a (13) egyenlet mindig pozitív lesz, ha él- vagy lapközéppontról beszélünk, azaz mindig szférikus síkon valósulhat meg a kisebb dimenziós D-szimbólum, de csak akkor, ha így nem kapunk rossz orbifoldot. Tehát a paraméterek közül azokat, amelyekre fennáll, hogy ha a megfelelő $\mathcal{M}$ mátrix-függvény értékek (azaz paraméterek és együtthatóik szorzata) különbözőek, egyenlőnek kell választani úgy, hogy a mátrix-elemek is egyenlők legyenek. Ezt a helyzetet úgy ismerhetjük fel, hogy valamelyik operációt elhagyva (az él- és lapközéppont szerinti közül) olyan diagramot kapunk, amiben pontosan két különböző olyan pálya van, amit két szomszédos szomszédsági operáció egymás utáni alkalmazásaival kapunk. A csúcs és a testközéppont szerinti operációk elhagyásával esetlegesen létrejövő rossz orbifoldokat sec:03orbifold részben tárgyaljuk.