D-szimbólum követelmények

Eddig egy kövezés baricentrikus szimplex-felbontását vizsgáltuk, most nézzünk egy duális fogalmat: Vegyünk egy diagramot, aminek a csúcsai a különböző szimplex-pályákat, az élei pedig a szomszédságokat jelölik, a különböző szomszédsági operációkat különböző színekkel jelölve ($d$ dimenzióban $d+1$ különböző színre van szükségünk.)

A különböző $C^\Gamma$ -k halmaza (amit eddig $\mathcal{C}^\Gamma$ -val jelöltünk), most csúcsokként alkossák a $\mathcal{D}$ halmazt. A fent definiált $M$ mátrix-függvényt $\mathcal{D}$ -re alkalmazva kapjuk az $\mathcal{M}$ mátrix-függvényt. Delone-Delaney-Dress szimbólumnak, röviden D-szimbólumnak ezt a $(\mathcal{D},\mathcal{M})$ párt nevezzük.

Az $R$ mátrix-függvény $\mathcal{D}$ -ből kiszámolható. Ennek minden elemének osztania kell az $\mathcal{M}$ mátrix-függvény megfelelő elemét.

Ha kétszer alkalmazunk egy szomszédsági operációt, vissza kell jussunk a kiindulási pontba (azaz a szomszédság involúció), ezért az $\mathcal{M}$ mátrix-függvény minden mátrixának főátlójában csupa $1$ -esek vannak. Ezenkívül a főátlótól legalább 2 távolságra lévő helyeken $2$ -esek állnak a baricentrikus felbontás miatt. A főátlótól 1 távolságra lévő helyeken a mátrix-függvény értékei legyenek nagyobbak, mint 3; különben degenerált esetekhez jutnánk (tehát egy 3 dimenziós poliéder bármely csúcsában legalább 3 él és 3 lap találkozik, minden lapnak legalább 3 oldaléle van, minden élnél legalább 3 test és 3 lap fut össze.)

Az eddigi megállapítások szükséges (de nem mindig elégséges) feltételek olyan $d$ dimenziós (nem feltétlenül euklideszi) térkitöltés létezésére (amelynek D-szimbóluma $(\mathcal{D},\mathcal{M})$ .) Most nézzük speciálisan a 3 dimenziós eset további követelményeit.

Vezessük be az i-edik komponens vagy rész D-szimbólumot, $(\mathcal{D}^i,\mathcal{M}^i)$ jelöléssel, amit úgy kapunk, hogy az i-edik operációt elhagyjuk a diagramból és a mátrix-függvény soraiból és oszlopaiból is. A rész D-szimbólum vizuális jelentése az adott i-indexű csúcs körüli 1-gyel kisebb dimenziós felületen létrehozott $(3-1)$ -dimenziós kövezés D-szimbóluma az i-indexű csúcs $\Gamma^i$ stabilizátora szerint. Ezért egy i-indexű valódi szimplex-csúcs körüli rész D-szimbólum egy szférikus kövezéshez kell tartozzon, egy ideális szimplex-csúcs körül euklideszi kövezés alakul ki pl. a hiperbolikus tér paraszféra (horoszféra) felületén, de a hiperbolikus síkkövezéseket kizárjuk, mert modellen kívüli (végtelennél távolabbi) pontot, mint i-csúcsot jellemezne. Ha a kövezés test-középpontja ideális, azt is kihagyjuk, mert a végtelen poliéderekkel történő kövezés nem igazán érdekes.

Az i-edik 2-dimenziós rész D-szimbólum minden komponensére a következő görbületi-függvény előjele adja meg, hogy a 3 lehetséges közül melyik 2-dimenziós felületen valósul meg a hozzá tartozó kövezés ([6,15]):

$$K({\vphantom{\mathcal{D}}}^{c}{\mathcal{D}}^i)=\sum_{D\in{\vphant... ...}\left(-1+\sum_{\substack{0\le j<k\le d \ j,k\ne i}}\frac{1}{m_{jk}(D)}\right)$$ (13)

A kövezés szférikus síkon valósul meg, ha $K({\vphantom{\mathcal{D}}}^{c}{\mathcal{D}}^i)>0$ ; Euklideszi síkon, ha $K({\vphantom{\mathcal{D}}}^{c}{\mathcal{D}}^i)=0$ és hiperbolikus síkon, ha $K({\vphantom{\mathcal{D}}}^{c}{\mathcal{D}}^i)<0$ . Szférikus síkon történő kövezésnek plusz feltétele, hogy az úgy nevezett rossz orbifoldokat kizárjuk, azaz a következő lehetőségeket nem vizsgáljuk (Convay illetve Macbeath-féle jelöléseik alapján [9,10]):

$$u=(+,0;[u];\{\}), 1<u;$$ (14)

$$*u=(+,0;[];\{(u)\}), 1<u;$$ (15)

$$uv=(+,0;[u,v];\{\}), 1<u<v;$$ (16)

$$*uv=(+,0;[];\{(u,v)\}), 1<u<v.$$ (17)

Így az 1. és a 2. operáció elhagyásával biztosan szférikus síkon megvalósuló kövezést kapunk, ami olyan, hogy az északi és déli pólus egy-egy azonos rendű forgás-középpontja a kövezésnek, ezzel kizárjuk a (14) és a (16) eseteket. Vagy pedig előállíthatjuk úgy a kövezést, hogy a gömböt megfelelő hosszúsági körök mentén felvágjuk és az így kapott gömbcikk tükörképeiként előáll a gömbfelület és a kövezés is, az északi és déli pólusban is azonos a befutó gömbcikkek száma, ezzel kizárjuk a (15) és (17) eseteket. Talán meglepő lehet, hogy a 0. és a 3. operáció elhagyásakor is felléphetnek a (14)-(17) rossz orbifoldok, melyeket szintén ki kell szűrni. Ez utóbbiak viszont lehet hogy nem szférikus, hanem euklideszi vagy hiperbolikus síkon megvalósuló kövezést adnak. Megismételhetjük egy i-edik operáció elhagyásának vizuális jelentését: az i-indexű csúcs köré egy kicsi felületet veszünk, és megvizsgáljuk, hogy ebből a felületből milyen kövezést vág ki az eredeti baricentrikus szimplex-kitöltés. Ezért azonnal látszik, hogy a kisebb dimenziós szimplex-kitöltésnek szférikusnak kell lennie valódi szimplex-csúcs esetén. Euklideszi síkkövezést kapunk, ha egy végtelen távoli csúcs köré ``rajzolunk gömböt'' azaz para- (horo-)szférát. Végül a hiperbolikus síkon megvalósuló kisebb dimenziós kövezés jelentése, hogy a csúcs nem lehet a modellen belül, tehát az ilyen eseteket egyelőre kizárjuk a vizsgálatból. Az Euklideszi esetet csak test középpont esetén zárjuk ki, mert így végtelen poliéderekkel köveznénk a teret. Minden ilyen poliéder-kövezés lényegében egy kisebb dimenziós euklideszi kövezésnek felel meg.