R és M mátrix-függvények, forgásrendek

Következő lépésként vizsgáljuk meg, hogy egy (d-2)-lap körül (3 dimenzióban él körül) hány darab poliéder szerepel, illetve hány darab baricentrikus szimplex csatlakozik. Tegyük fel, hogy minden (d-2)-lap körül véges sok poliéder van. Ezt az egyszerűbb kezelhetőség miatt érdemes megtenni, bár hiperbolikus esetekben előfordulhatna végtelen sok is. Ez a következőt jelenti:

$$(\sigma_j\sigma_i)\cdots(\sigma_j\sigma_i)(C)= (\sigma_j\sigma_i)^m(C) =C$$ (7)

valamilyen $m$ természetes számra $m$ -szer alkalmazva a $(\sigma_j\sigma_i)$ operációt. A legkisebb ilyen $m$ számot jelöljük $m_{ij}(C)=m_{ji}(C)$ -vel (az index szimmetria nyilvánvaló.)

Definiáljuk az $M$ mátrix-függvényt a következőképpen:

$$M:\;\mathcal{C}\rightarrow N_{I\times I},\quad M(C)=\left[m_{ij}(C)\right]$$ (8)

A térkitöltés szimmetriája nem változtatja meg az egy (d-2)-lap körüli poliéderek, így a baricentrikus szimplexek számát sem, tehát jogosan definiálhatjuk az $M$ mátrix-függvényt a szimmetria csoport szerinti szimplex-pályákra is:

$$M:\;\mathcal{C}^\Gamma\rightarrow N_{I\times I},\quad M(C^\Gamma)=\left[m_{ij}(C^\Gamma)\right]$$ (9)

Egy másik mátrix-függvényt is érdemes bevezetni a szimplex-pályákra:

$$\left((\sigma_j\sigma_i)\cdots(\sigma_j\sigma_i)(C^\Gamma)=\right)(\sigma_j\sigma_i)^r(C^\Gamma)=C^\Gamma$$ (10)

valamilyen $r$ természetes számra. A legkisebb ilyen $r$ számot jelöljük $r_{ij}(C^\Gamma)=r_{ji}(C^\Gamma)$ -val. Definiáljuk az $R$ mátrix-függvényt a következőképpen:

$$R:\;\mathcal{C}^\Gamma\rightarrow N_{I\times I},\quad R(C^\Gamma)=\left[r_{ij}(C^\Gamma)\right]$$ (11)

Azonnal látszik, hogy $\forall C\in\mathcal{C}, \forall i,j\in I$ esetén az alábbi oszthatóság teljesül:

$$\left.r_{ij}(C^\Gamma)\right\vert m_{ij}(C)$$ (12)

Következő lépésként vezetjük be a D-szimbólum fogalmát.