Maximalitás kérdése

Most megvizsgáljuk, hogy a D-szimbólum által indukált kövezés automorfizmus-csoportja ugyanaz-e, mint a D-szimbólumnak; mivel előfordulhat, hogy a D-szimbólum automorfizmus-csoportja csak része a kövezés automorfizmus-csoportjának (ha nem az optimális baricentrikus felbontást alkalmazzuk.)

El kell döntenünk az előbbi problémát úgy, hogy csak a D-diagramot és a mátrix-függvényt (azaz magát a D-szimbólumot) ismerjük, de magát a kövezést nem. Ha igaz, hogy a mátrix-függvény minden szimplexre (diagram csúcsra) ugyanazt a mátrixot adja, akkor topológiailag nincs különbség a szimplexek között, így egybevágóakat is alkalmazhatunk, vagyis egy gazdagabb szimmetria-csoportot kapunk egy lényegében azonos kövezéshez.

Hasonlóan ``összevonhatunk'' néhány csúcsot is a következő feltételekkel: Ha az összevont csúcsokra alkalmazzuk a mátrix-függvényt, ugyanazokat a mátrixokat kapunk eredményül. És igaz, hogy ha egy csoport minden elemére alkalmazzuk ugyanazt a szomszédsági operációt, akkor ugyanabba a csoportba képződnek az elemek (ez lehet természetesen másik csoport is, mint a kiindulási; illetve a csoportok között triviálisan bijekció van, ezért ugyanolyan elemszámú csoportokra bomlik a szimbólum.) Formalizálva:

$$\phi: \mathcal{D}\rightarrow\mathcal{D}':$$ (18)

$$\phi(D_i)=\phi(D_j)\Rightarrow \forall 0\le k<d: m_{k,k+1}(D_i)=m_{k,k+1}(D_j)$$ (19)

$$\forall 0\le k \le d: \phi(\sigma_k(D_i))=\phi(\sigma_k(D_j))$$ (20)

Ezenkívül $\vert D'\vert<\vert D\vert$ ha egy gazdagabb szimmetriájú D-szimbólumot szeretnénk. (A bijekció miatt osztó-többszörös viszony is igaz.)

Ha mindez teljesül, akkor topológiailag egy kisebb elemszámú D-szimbólummal azonos a vizsgált szimbólum, de a kisebb elemszámú szimbólumban az $\mathcal{R}$ mátrix-függvény nem fix értékei az eredeti szimbólum $\mathcal{R}$ mátrix függvényének a megfelelő törtrészei.

Algoritmikusan az ``összevonhatóságot'' a következőképpen vehetjük észre: Bármely két szimplexre megvizsgáljuk, hogy az adott szimplexből indulva ugyanaz-e a D-szimbólum a diagrammal és a mátrix-függvénnyel együtt. Ha ugyanaz, akkor ``összevonható'' a két csúcs a diagramban. Ha ezt bármely két párra alkalmazzuk, az azonosakat egy csoportba tesszük, és az így kapott csoportok kevesebben vannak, mint az eredeti szimbólum csúcs száma, akkor találtunk kisebb elemszámú, topológiagilag azonos D-szimbólumot, aminek gazdagabb a szimmetria csoportja.

Algoritmus 3.9   Az algoritmus az észrevételeink után a következőképpen néz ki:

• Megnézzük, hogy az összes előálló mátrix főátlójától $1$ távolságra levő elemek egyenlőek-e, ha igen és nem $1$ -elemű a D-szimbólum, akkor nem maximális.
• Különben megnézzük minden az eredetitől különböző kezdőpontra, hogy a diagram azonos-e.
• Ha azonos, sorban végigmegyünk a mátrix-értékeken, mint az átsorszámozáskor. Ha mind egyenlő, akkor nem maximális a D-szimbólum.
• Végül, ha végigmentünk az összes lehetséges kezdőponton, és nem találtunk nem maximális helyzetet, akkor maximális.