Tools of Modern Probability -- fall semester 2017
A modern valószínűségszámítás eszközei -- 2017 őszi félév


Subject code / tárgykód: BMETE95AM33

Classes: Tuesday 10:15-12:00, room T603 (mostly lecture), and Wednesday 16:15-18:00, room T603 (mostly practice). Extra lecture in Hungarian: Friday 12:15-14:00, room H601.
Órák: kedd 10:15-12:00, T603 terem (elsősorban előadás), és szerda 16:15-18:00, T603 terem (elsősorban gyakorlat). Extra előadás magyarul: péntek 12:15-14:00, H601 terem.

Lecturer: Imre Péter Tóth; Előadó: Tóth Imre Péter

Homework sheets / házi feladatsorok: here/itt

Homeworks to hand in / beadandó házi feladatok: 1.3; 1.5; 1.10; 2.3; 2.6; 3.1; 3.4; 3.7; 4.3; 4.4; 4.7; 5.1; 5.5; 5.16; 5.18; 5.19; 5.20

Homework results / házi feladatok eredményei: here/itt



Here is the solution to Exercise 2.4. / Itt a 2.4-es feladat megoldása (angolul).

Suggested literature / ajánlott irodalom
Most of the material discussed in class is covered in the following literature. From the books, you only need a tiny bit, detailed below.

Az elhangzott anyag nagy részét tartalmazzák az alábbi források. A könyvekből csak egy pici rész kell, lásd lentebb.

• [TIP] Draft lecture notes written by the lecturer: Tools of Modern Probability.
• [CLT] Proof of the De Moivre-Laplace CLT written by the lecturer: De Moivre-Laplace CLT.
• [D] R. Durrett: Probability. Theory and Examples. 4th edition, Cambridge University Press, 2010.
• [J] Járai Antal: Mérték és integrál, Nemzeti Tankönyvkiadó, 2002.
• [no] No good suggestion / nincs jó tippem

Question for the exam: in English
Tételsor a vizsgára: magyarul

What actually was covered: detailed list with references

• o and O-notation, asymptotic equivalence [no]
• Gaussian integrals [TIP, section 1]
• Polar coordinates in higher dimensions, surface of hyperspheres [TIP, section 2]
• Almost Gaussian integrals, Laplace's method [TIP, section 3]
• Euler gamma function, Stirling's approximation [TIP, section 4-5]
• Application: de Moivre-Laplace central limit theorem (CLT) [CLT; D, section 3.1]
• Measure space, probability space. Push-forward of measures. Distribution of random variables [TIP, section 6.1, 6.2; D, section 1.1-1.5]
• Integral, expectation. Integration by substitution. Expectation of random variables. Densities of measures. Sums of series and Riemannian integrals as special cases of the (Lebesgue) integral. [TIP, section 6.3.1; D, section 1.6]
• Charactersitic functions of random variables, characteristic functions of probability distributions. Characteristic functions and sums of independent random variables. [D, section 3.3.1]
• Exchanging the integral and the limit: monotone convergence theorem, dominated convergence theorem, Fatou lemma. [TIP, section 6.3.2; D, section 1.6.2]
• Application: differentiability of the characteristic function. [D, Exercise 3.3.14]
• Product space, product measure. Exchanging integrals: Fubini's theorem [D, section 1.7]
• Hilbert spaces - Riesz representation theorem [J, függelék]
• Absoulte continuity. Radon-Nikodym theorem. [TIP, Def. 6.39, Thm 6.40; J]
• Composition of measures and kernels. Decomposition of measures, conditional measure, factor measure. [TIP, section 7]
• Conditional expectation of random variables. Existence, uniqueness. [D, section 5.1]
• Jensen's inequality for conditional expectations. [D, Thm 5.1.3]
• Weak convergence of random variables, weak convergence of probability distributions. Construction of random variables with a given distribution. The relation of weak convergence and strong convergence. Equivalent formulations. [D, Thm 3.2.2, Thm 3.2.3]
• Existence of weak limits -- vague convergence, Cantor's diagonal argument. Tightness and weak convergence. [D, Thm 3.2.6, Thm 3.2.7]

Ami az órán elhangzott: részletes lista hivatkozásokkal

• o és O-formalizmus, aszimptotikus ekvivalencia [no]
• Gauss integrálok [TIP, section 1]
• Polár-koordináták magas dimenzióban, hipergömbök felülete [TIP, section 2]
• Majdnem Gauss integrálok, Laplace módszer [TIP, section 3]
• Euler gamma függvény, Stirling formula [TIP, section 4-5]
• Alkalmazás: de Moivre-Laplace centrális határeloszlás tétel (CLT) [CLT; D, section 3.1]
• Mértéktér, valószínűségi mező. Mértékek előretoltja. Valószínűségi változók eloszlása [TIP, section 6.1, 6.2; D, section 1.1-1.5]
• Integrál, várható érték. Helyettesítéses integrál. Valószínűségi változók várható értéke. Mértékek sűrűségfüggvénye. Sorok összege és Riemann integrál mint a (Lebesgue) integrál speciális esetei [TIP, section 6.3.1; D, section 1.6]
• Valószínűségi változók és valószínűség-eloszlások karakterisztikus függvénye. Karakterisztikus függvények és független valószínűségi változók összegei [D, section 3.3.1]
• Integrál és határérték felcserélhetősége: monoton konvergencia tétel, dominált konvergencia tétel, Fatou lemma [TIP, section 6.3.2; D, section 1.6.2]
• Alkalmazás: karakterisztikus függvény differenciálhatósága [D, Exercise 3.3.14]
• Szorzat tér, szorzat mérték. Integrálok felcserélhetősége: Fubini tétel [D, section 1.7]
• Hilbert terek – Riesz reprezentációs tétel [J, függelék]
• Abszolút folytonosság. Radon-Nikodym tétel [TIP, Def. 6.39, Thm 6.40; J]
• Mértékek és magok kompozíciója. Mértékek felbontása, feltételes mérték, faktormérték [TIP, section 7]
• Valószínűségi változók feltételes várható értéke. létezés, egyértelműség [D, section 5.1]
• Jensen egyenlőtlenség feltételes várható értékekre [D, Thm 5.1.3]
• Valószínűségi változók gyenge konverganciája, eloszlások gyenge konvergenciája. Adott eloszlású valószínűségi változó konstrukciója. Az erős és gyenge konvergancia viszonya. Ekvivalens megfogalamzások. [D, Thm 3.2.2, Thm 3.2.3]
• Gyenge határértékek létezése – „vague” konvergencia. Kántor féle átlós eljárás. Feszesség és gyenge konvergencia [D, Thm 3.2.6, Thm 3.2.7]

Grading rules:

• There are/will be homeworks and an oral exam. The homeworks contribute to the grade with 30% weight. On the exam, I will give at least one practice exercise.
  
• Calculating the partial grade for the homeworks:
  • The solution to each homework is evaluated with a "code" with the following meaning:
    • "3" means correctly solved
    • "2" means solved with some error
    • "1" means started on a correct track, but not solved
    • "0" means completely wrong.
    At the end of the semester these codes are translated to a homework score. At the translation, the big difference is between "solved" and "not solved", so a "correctly solved" is worth 1 point, a "solved with some error" is worth 0.8 points, and the rest is worth no points at all.
    
  • Only the best 70% of the homeworks are taken into account, which is 12 this time. So the homework score is comapred to a mixumum of 12, and expressed as a percentage.
  • The percentage reached is translated into the partial grade using the following table:

    range	HW grade
    0-39	1
    40-54	2
    55-69	3
    70-84	4
    85-100	5

Követelmények:

• Az értékelés házi feladatok és egy szóbeli vizsga alapján történik. A házi feladatok 30% súllya járulnak hozzá a végső jegyhez. A vizsgán legalább egy gyakorlati feladatot is kérdezek.
  
• A házi feladatok részjegyének kiszámítása:
  • minden feladat megoldását egy "kóddal" értékelem, a következő jelentéssel:
    • "3" jelentése: helyes megoldás
    • "2" jelentése: megoldva kis hibával
    • "1" jelentése: helyes úton indult, de a feladatot nem oldotta meg
    • "0" jelentése: teljesen hibás.
    A félév végén ezeket a kódokat pontszámmá alakítom. A pontszámításnál a nagy különbség a "megoldva" és a "nem oldotta meg" között van, így egy "helyes megoldás" értéke 1 pont, egy "megoldva kis hibával" értéke 0.8 pont, a többi nem ér pontot.
    
  • A házi feladatoknak csak a legjobb 70%-át számítjuk be, ami ezúttal 12. Vagyis a házi feladat pontszámot a 12-es maximumhoz hasonlítjuk, és százalékban fejezzük ki.
  • Az elért százalék alapján a részjegyet a következő táblázat adja:

    tartomány	HF jegy
    0-39	1
    40-54	2
    55-69	3
    70-84	4
    85-100	5