Feltételes várható érték bevezetése

Tétel 1   Radon-Nikodym tétel
Legyen az $(X,\EuScript A)$ mérhető téren $\mu$ egy $\sigma$ -véges mérték és $\nu$ a $\mu$ mértékre nézve abszolút folytonos előjeles mérték. Ekkor létezik egy $f$ valós értékű sűrűségfüggvény az $X$ téren, hogy minden $A \in \EuScript A$ halmazra

$$\nu(A) = \int_A f\;d\mu.$$

Az $f$ függvényre szokásos a $\frac{d\nu}{d\mu}$ jelölés, és a Radon-Nikodym derivált megnevezés.

A fenti tételre gondolhatunk például úgy, hogy $(\boldsymbol X,\boldsymbol{\EuScript A})$ mérhető térnek vesszük például a három dimenziós valós teret a (Lebesgue-)mérhető halmazokkal, valamint $\boldsymbol\mu$ mértéknek vesszük a mérhetők közönséges térfogatát. A $\boldsymbol\nu$ mértéknek vehetjük például az elektromos töltést, amely minden mérhetőn meg van adva, és pozitív, negatív értéket egyaránt felvehet. Ekkor $f = \frac{d\boldsymbol\nu }{d\boldsymbol\mu }$ a töltéssűrűség lesz. Egy pontban kiszámolni úgy lehet, hogy veszünk a pont körül kis (térfogatú) halmazokat és megnézzük, hogy ebben a halmazban mennyi az egységnyi térfogatra eső töltés mennyisége, ami a halmazra eső töltés, és a térfogat, vagyis $\boldsymbol\nu$ és $\boldsymbol\mu$ hányadosa. Ezután határátmenetet végzünk, amint a térfogat tart nullához. Ez egy közönséges derivált. Ez a tény is mutatja a $\frac{d\boldsymbol\nu }{d\boldsymbol\mu }$ jelölés jogosságát.

Ezek után világos, hogy ezt a függvényt a térfogat, azaz $\boldsymbol\mu$ szerint integrálva megkapjuk az adott halmaz töltését, vagyis $\boldsymbol\nu$ szerinti mértékét. Lehetnek olyan pozitív térfogatú, $\boldsymbol\mu$ mértékű részek, melyeknek nincs töltése, azaz $\boldsymbol\nu$ mértéke 0 , ezek pontjaiban $f$ értéke 0 kell legyen. Olyan 0 térfogatú részek, melyek nem 0 töltéssel rendelkeznek viszont nem lehetnek, mert ezen integrálva a $\boldsymbol\mu$ mértéket nullát kapnánk. Tehát világos, hogy a $\boldsymbol\nu$ mértéknek a $\boldsymbol\mu$ mértékre vonatkozó abszolút folytonossága szükséges. A $\boldsymbol\mu$ mérték $\sigma$ -végessége többek között azt is megköveteli, hogy minden pont benne legyen egy véges mértékű mérhetőben. A két feltétel az egyszerűbb esetekben azt garantálja, hogy se nullával, se végtelennel ne kelljen osztani.

Definíció 1   Várható értékből származó mérték
Legyen adva egy $(\Omega, \EuScript A, P)$ valószínűségi mező és egy $\EuScript B \subset \EuScript A$ $\sigma$ -algebra az $\Omega$ halmazon. Valamint legyen $X$ valószínűségi változó az $(\Omega, \EuScript A, P)$ valószínűségi mezőn, és létezzen a várható értéke. Jelölje $P_{X, \EuScript B}$ azt a $\EuScript B$ $\sigma$ -algebrán értelmezett mértéket, amely egy $B \in \EuScript B$ halmazra a $P_{X, \EuScript B}(B)=E(X\>{\cal I}(B))$ értéket veszi fel. Ezt a mértéket nevezzük az $X$ várható értékéből származó mértéknek. Itt ${\cal I}(B)$ a $B$ halmaz indikátorát jelöli.

Az $\boldsymbol{\EuScript A}$ halmazrendszer bizonyos $\boldsymbol{\EuScript B}$ részhalmazának elemein kell integrálni az $\boldsymbol X$ valószínűségi változót, vagyis venni a várható értékét, amivel egy mértéket kapunk a $\boldsymbol{\EuScript B}$ $\sigma$ -algebrán, ez a várható értékből származó mérték. Ez a mérték egy előjeles mérték.

Definíció 2   Feltételes várható érték
Legyen $(\Omega, \EuScript A, P)$ valószínűségi mező, és ezen $X$ és $Y$ valószínűségi változók, és létezzen az $X$ változó $E(X)$ várható értéke. Legyen $\EuScript B$ az $Y$ által generált $\sigma$ -algebra, $P_{X, \EuScript B}$ az $X$ várható értékéből származtatott mérték, és legyen $P_{\EuScript B}$ a $P$ mérték megszorítása a $\EuScript B$ $\sigma$ -algebrára. Ekkor a

$$\frac{dP_{X, \EuScript B}}{dP_{\EuScript B}}$$

Radon-Nikodym deriváltat nevezzük az $X$ $\EuScript B$ $\sigma$ -algebrára, illetve $Y$ változóra vett feltételes várható értékének, és az $E(X\vert\EuScript B)$ , illetve $E(X\vert Y)$ jelölést használjuk rá.

Az $\boldsymbol Y$ által generált $\sigma$ -algebra az a legszűkebb $\sigma$ -algebra, melyre nézve $\boldsymbol Y$ mérhető. Tehát valós esetben például az $\boldsymbol\Omega$ eseménytér beli $\boldsymbol Y<y$ alakú halmazok által generált $\sigma$ -algebra. A $\boldsymbol E(\boldsymbol X\vert\boldsymbol Y)$ jelölés mellett a $\boldsymbol E(\boldsymbol X\vert\boldsymbol{\EuScript B})$ jelölés is jogos, mert a feltételes várható érték nem függ az $\boldsymbol Y$ valószínűségi változó értékeitől, sem attól, hogy melyik halmazba mekkora valószínűséggel esik az értéke, hanem csak a $\boldsymbol{\EuScript B}$ $\sigma$ -algebrától, hiszen a definícióban csak ez szerepel. A feltételes várható érték mint sűrűségfüggvény nem teljesen egyértelmű, de két ilyen sűrűségfüggvény csak nullmértékű halmazon térhet el. Ezért ha egy adott $\boldsymbol B\in \boldsymbol{\EuScript B}$ halmazon a sűrűséget integráljuk, bármelyik sűrűségfüggvényt használjuk is, a $\boldsymbol B$ halmaz ugyanazon előjeles súlyát kapjuk meg. Tehát tetszőleges feltételes várható értékkel teljesül a következő egyenlőség:

$$\boldsymbol E(\boldsymbol E(\boldsymbol X\vert\boldsymbol Y)\;{\cal I}(\boldsymbol B)) = \boldsymbol E(\boldsymbol X\;{\cal I}(\boldsymbol B)).$$

Az első várható értékben csak a $\boldsymbol P_{\boldsymbol{\EuScript B}}$ mértéket, míg a másodikban a $\boldsymbol P$ és a $\boldsymbol P_{\boldsymbol{\EuScript B}}$ mértéket is használhatjuk, mert az $\boldsymbol E(\boldsymbol X\vert\boldsymbol Y)$ valószínűségi változó mérhetősége csak $\boldsymbol{\EuScript B}$ szerint van garantálva, míg $\boldsymbol X$ az $\boldsymbol{\EuScript A}$ szerint is mérhető, és $\boldsymbol P_{\boldsymbol{\EuScript B}}$ megegyezik a $\boldsymbol P$ mértékkel a $\boldsymbol{\EuScript B}$ $\sigma$ -algebrán. A feltételes várható érték definíciójában nincs értelme $(\boldsymbol\Omega , \boldsymbol{\EuScript B})$ helyett az $(\boldsymbol\Omega , \boldsymbol{\EuScript A})$ mérhető teret venni, a Radon-Nikodym tételbeli megfelelőjeként, mert abban az esetben a sűrűségként visszakapnánk magát az $\boldsymbol X$ változót.