Feltételes várható érték bevezetése

Tétel 1   Radon-Nikodym tétel
Legyen az $ (X,\EuScript A)$ mérhető téren $ \mu$ egy $ \sigma$ -véges mérték és $ \nu$ a $ \mu$ mértékre nézve abszolút folytonos előjeles mérték. Ekkor létezik egy $ f$ valós értékű sűrűségfüggvény az $ X$ téren, hogy minden $ A \in \EuScript A$ halmazra

$\displaystyle \nu(A) = \int_A f\;d\mu.$

Az $ f$ függvényre szokásos a $ \frac{d\nu}{d\mu}$ jelölés, és a Radon-Nikodym derivált megnevezés.

A fenti tételre gondolhatunk például úgy, hogy $ (\boldsymbol X,\boldsymbol{\EuScript A})$ mérhető térnek vesszük például a három dimenziós valós teret a (Lebesgue-)mérhető halmazokkal, valamint $ \boldsymbol\mu $ mértéknek vesszük a mérhetők közönséges térfogatát. A $ \boldsymbol\nu $ mértéknek vehetjük például az elektromos töltést, amely minden mérhetőn meg van adva, és pozitív, negatív értéket egyaránt felvehet. Ekkor $ f = \frac{d\boldsymbol\nu }{d\boldsymbol\mu }$ a töltéssűrűség lesz. Egy pontban kiszámolni úgy lehet, hogy veszünk a pont körül kis (térfogatú) halmazokat és megnézzük, hogy ebben a halmazban mennyi az egységnyi térfogatra eső töltés mennyisége, ami a halmazra eső töltés, és a térfogat, vagyis $ \boldsymbol\nu $ és $ \boldsymbol\mu $ hányadosa. Ezután határátmenetet végzünk, amint a térfogat tart nullához. Ez egy közönséges derivált. Ez a tény is mutatja a $ \frac{d\boldsymbol\nu }{d\boldsymbol\mu }$ jelölés jogosságát.

Ezek után világos, hogy ezt a függvényt a térfogat, azaz $ \boldsymbol\mu $ szerint integrálva megkapjuk az adott halmaz töltését, vagyis $ \boldsymbol\nu $ szerinti mértékét. Lehetnek olyan pozitív térfogatú, $ \boldsymbol\mu $ mértékű részek, melyeknek nincs töltése, azaz $ \boldsymbol\nu $ mértéke 0 , ezek pontjaiban $ f$ értéke 0 kell legyen. Olyan 0 térfogatú részek, melyek nem 0 töltéssel rendelkeznek viszont nem lehetnek, mert ezen integrálva a $ \boldsymbol\mu $ mértéket nullát kapnánk. Tehát világos, hogy a $ \boldsymbol\nu $ mértéknek a $ \boldsymbol\mu $ mértékre vonatkozó abszolút folytonossága szükséges. A $ \boldsymbol\mu $ mérték $ \sigma$ -végessége többek között azt is megköveteli, hogy minden pont benne legyen egy véges mértékű mérhetőben. A két feltétel az egyszerűbb esetekben azt garantálja, hogy se nullával, se végtelennel ne kelljen osztani.

Definíció 1   Várható értékből származó mérték
Legyen adva egy $ (\Omega, \EuScript A, P)$ valószínűségi mező és egy $ \EuScript B \subset \EuScript A$ $ \sigma$ -algebra az $ \Omega$ halmazon. Valamint legyen $ X$ valószínűségi változó az $ (\Omega, \EuScript A, P)$ valószínűségi mezőn, és létezzen a várható értéke. Jelölje $ P_{X, \EuScript B}$ azt a $ \EuScript B$ $ \sigma$ -algebrán értelmezett mértéket, amely egy $ B \in \EuScript B$ halmazra a $ P_{X, \EuScript B}(B)=E(X\>{\cal I}(B))$ értéket veszi fel. Ezt a mértéket nevezzük az $ X$ várható értékéből származó mértéknek. Itt $ {\cal I}(B)$ a $ B$ halmaz indikátorát jelöli.

Az $ \boldsymbol{\EuScript A}$ halmazrendszer bizonyos $ \boldsymbol{\EuScript B}$ részhalmazának elemein kell integrálni az $ \boldsymbol X$ valószínűségi változót, vagyis venni a várható értékét, amivel egy mértéket kapunk a $ \boldsymbol{\EuScript B}$ $ \sigma$ -algebrán, ez a várható értékből származó mérték. Ez a mérték egy előjeles mérték.

Definíció 2   Feltételes várható érték
Legyen $ (\Omega, \EuScript A, P)$ valószínűségi mező, és ezen $ X$ és $ Y$ valószínűségi változók, és létezzen az $ X$ változó $ E(X)$ várható értéke. Legyen $ \EuScript B$ az $ Y$ által generált $ \sigma$ -algebra, $ P_{X, \EuScript B}$ az $ X$ várható értékéből származtatott mérték, és legyen $ P_{\EuScript B}$ a $ P$ mérték megszorítása a $ \EuScript B$ $ \sigma$ -algebrára. Ekkor a

$\displaystyle \frac{dP_{X, \EuScript B}}{dP_{\EuScript B}} $

Radon-Nikodym deriváltat nevezzük az $ X$ $ \EuScript B$ $ \sigma$ -algebrára, illetve $ Y$ változóra vett feltételes várható értékének, és az $ E(X\vert\EuScript B)$ , illetve $ E(X\vert Y)$ jelölést használjuk rá.

Az $ \boldsymbol Y$ által generált $ \sigma$ -algebra az a legszűkebb $ \sigma$ -algebra, melyre nézve $ \boldsymbol Y$ mérhető. Tehát valós esetben például az $ \boldsymbol\Omega $ eseménytér beli $ \boldsymbol Y<y$ alakú halmazok által generált $ \sigma$ -algebra. A $ \boldsymbol E(\boldsymbol X\vert\boldsymbol Y)$ jelölés mellett a $ \boldsymbol E(\boldsymbol X\vert\boldsymbol{\EuScript B})$ jelölés is jogos, mert a feltételes várható érték nem függ az $ \boldsymbol Y$ valószínűségi változó értékeitől, sem attól, hogy melyik halmazba mekkora valószínűséggel esik az értéke, hanem csak a $ \boldsymbol{\EuScript B}$ $ \sigma$ -algebrától, hiszen a definícióban csak ez szerepel. A feltételes várható érték mint sűrűségfüggvény nem teljesen egyértelmű, de két ilyen sűrűségfüggvény csak nullmértékű halmazon térhet el. Ezért ha egy adott $ \boldsymbol B\in \boldsymbol{\EuScript B}$ halmazon a sűrűséget integráljuk, bármelyik sűrűségfüggvényt használjuk is, a $ \boldsymbol B$ halmaz ugyanazon előjeles súlyát kapjuk meg. Tehát tetszőleges feltételes várható értékkel teljesül a következő egyenlőség:

$\displaystyle \boldsymbol E(\boldsymbol E(\boldsymbol X\vert\boldsymbol Y)\;{\cal I}(\boldsymbol B)) = \boldsymbol E(\boldsymbol X\;{\cal I}(\boldsymbol B)).$

Az első várható értékben csak a $ \boldsymbol P_{\boldsymbol{\EuScript B}}$ mértéket, míg a másodikban a $ \boldsymbol P$ és a $ \boldsymbol P_{\boldsymbol{\EuScript B}}$ mértéket is használhatjuk, mert az $ \boldsymbol E(\boldsymbol X\vert\boldsymbol Y)$ valószínűségi változó mérhetősége csak $ \boldsymbol{\EuScript B}$ szerint van garantálva, míg $ \boldsymbol X$ az $ \boldsymbol{\EuScript A}$ szerint is mérhető, és $ \boldsymbol P_{\boldsymbol{\EuScript B}}$ megegyezik a $ \boldsymbol P$ mértékkel a $ \boldsymbol{\EuScript B}$ $ \sigma$ -algebrán. A feltételes várható érték definíciójában nincs értelme $ (\boldsymbol\Omega , \boldsymbol{\EuScript B})$ helyett az $ (\boldsymbol\Omega , \boldsymbol{\EuScript A})$ mérhető teret venni, a Radon-Nikodym tételbeli megfelelőjeként, mert abban az esetben a sűrűségként visszakapnánk magát az $ \boldsymbol X$ változót.

Temesi Róbert 2010-08-16