Szomszédsági operációk

Következő lépésként bevezetünk szomszédsági operációkat az előbb előállított baricentrikus szimplexekre: $\sigma_0,\sigma_1,\ldots,\sigma_d.$ Az operációk jelentése: $\sigma_i(C)$ a

szimplex azon szomszédja, amely az i-lapja, azaz az $A_0,\ldots,A_{i-1},A_{i+1},\ldots,A_d$ lap mentén szomszédos

-vel. Minden $\sigma_i$ operáció egy involúció a fent leírt szimplexek $\mathcal{C}$ halmazán.

Bevezethejük a szabad Coxeter csoportot, mely a $\mathcal{C}$ baricentrikus felbontáson hat ( dimenziós térben $I={0,1,\ldots,d}$ ):

$\displaystyle \Sigma_I:=\left<\sigma_0,\sigma_1,\ldots,\sigma_d\;-\;\sigma_i^2=1,\,i\in I\right>$

(1)

Tetszőleges $\sigma\in\Sigma_I$ hatása a $C\in\mathcal{C}$ szimplexre:

$\displaystyle \sigma$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \sigma_{i_r}\cdots\sigma_{i_2}\sigma_{i_1}$	(2)
$\displaystyle \sigma(C)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \sigma_{i_r}(\cdots(\sigma_{i_2}(\sigma_{i_1}(C)))\cdots)$	(3)

Az ábráinkon a következő konvenciót alkalmazzuk a legfeljebb 3 dimenziós szomszédsági operációk jelölésére:

$\sigma_0$ :
$\begin{picture}(1,0.2) \multiput(0,0.1)(0.2,0){5}{\circle*{0.001}} \end{picture}$
, $\sigma_1$ :
$\begin{picture}(1,0.2) \multiput(0,0.1)(0.25,0){4}{\line(1,0){0.15}} \end{picture}$
, $\sigma_2$ :
$\begin{picture}(1,0.2) \put(0,0.1){\line(1,0){1}} \end{picture}$
, $\sigma_3$ :
$\begin{picture}(1.5,0.2) \multiput(0,0.1)(0.5,0){3}{\line(1,0){0.2}} \multiput(0.35,0.1)(0.5,0){3}{\circle*{0.001}} \end{picture}$
.

Boroczki Lajos 2007-05-29