Folytonos változó diszkrétre vett feltételes várható értéke

Ugyanaz, mint az előző eset. Ugyanis ha $\boldsymbol X$ folytonos valószínűségi változó $f$ sűrűségfüggvénnyel, $\boldsymbol Y$ diszkrét valószínűségi változó, és az $y_1,y_2,\ldots$ értékeket veheti fel és $\boldsymbol P(\boldsymbol Y=y_i)=q_i>0$ , akkor léteznek tetszőleges ${\bf A}\subset \Bbb R$ mérhető halmazra a $\boldsymbol P(\boldsymbol X\in{\bf A}\vert\boldsymbol Y=y_i)$ feltételes valószínűségek, melyeknek szintén létezik sűrűsége. Ezt a feltételes sűrűséget jelölje $f_i.$ Így az $\boldsymbol E(\boldsymbol X\vert\boldsymbol Y)$ feltételes várható értéket definiálhatjuk egy $y_i$ ősein az

$$\int_{\Bbb R} x f_i(x)\;dx$$

integrál értékének. Ez nem más, mint a definíció szerinti

$$\int_{\boldsymbol Y=y_i} {\boldsymbol X\over q_i}\;d\boldsymbol P$$

integrál. Tulajdonképpen azt is mondhattuk volna, hogy adva van egy az $y_i$ pontokra koncentrált számláló mérték az $\Bbb R$ téren, azaz ezeknek a pontoknak $1$ a valószínűsége, és minden más (Lebesgue) mérhető halmaznak annyi a mértéke, amennyi $y_i$ beleesik. Valamint az $\Bbb R^2$ valós síkon adva van a fenti számláló mértéknek, és a Lebesgue mértéknek a szorzata. Tehát $\bf A$ és $\bf B$ mérhető halmaz Descartes szorzatának a mértéke $\bf A$ számláló mértékének és $\bf B$ Lebesgue mértékének a szorzata. Speciálisan egy téglalap mértéke az oldalak mértékeinek szorzata, az egyik oldalnál a számláló, a másik oldalnál a Lebesgue mértéket használva. A többi, nem Descartes szorzat alakú halmaznak a mértéke, pedig a köré írható Descartes szorzat alakú halmazok mértékének infimuma, a szokásos módon. Ekkor az $\boldsymbol Y$ változónak létezik a sűrűsége a hozzá tartozó, fent definiált számláló mérték szerint, és a sűrűség értéke az $y_i$ pontban $q_i$ . Létezik $\boldsymbol X$ és $\boldsymbol Y$ együttes sűrűsége is a szorzat mérték szerint. Egy $(x,y_i)$ pontban az értéke éppen $f_i(x) q_i$ . Amint két folytonos változó esetén később látjuk, itt is tulajdonképpen az együttes sűrűségfüggvény és a feltételben adott változó sűrűségfüggvényének hányadosa szerint kell integrálni $x$ -et azokra az $y$ pontokra, melyekre $\boldsymbol Y$ sűrűségfüggvénye nem nulla, ez a fent felírt integrál.