Zsolt Lángi's Homepage

TDK és kutatási feladat témák

1. Erdők megvilágítása (témavezető: Lángi Zsolt)
   Pach Jánostól származik az alábbi, konvex testek megvilágításával kapcsolatos kérdés. Legyen C egy R sugarú körlemez, és legyen F egységsugarú körlemezek olyan családja, hogy C F minden elemét tartalmazza, F elemei páronként nem fednek át (azaz bármely két elemének belseje diszjunkt), és F maximális, azaz nem létezik olyan egységkörlemez, melyet hozzávéve F-hez ezen két tulajdonság továbbra is teljesül. Azt mondjuk, hogy egy p pont rejtett F-re nézve, ha minden p-ből induló félegyenes metszi F valamelyik elemét. Igaz-e az, hogy ha R egy elegendően nagy érték, akkor tetszőleges, a fenti feltételeket kielégítő F egységkörlemez-család esetén van F-re nézve rejtett pont? Ezt a kérdést igenlő módon válaszolta meg Dumitrescu és Jiang 2011-ben. A projekt célja a probléma általánosításainak vizsgálata. Elsősorban a következő kérdések vizsgálata a projekt célja, melyek ugyancsak Pach Jánostól származnak:
   
   1. Igaz marad az állítás, ha F maximalitását kicseréljük arra a feltételre, hogy F C-re nézve pozitív sűrűségű, azaz az F elemei által lefedett síkrész és C területének aránya nagyobb-egyenlő, mint egy rögzített ε > 0 érték?
   2. Igaz marad az állítás, ha F elemei egy szigorúan konvex, sima síkidom eltoltjai? Egy síkidom szigorúan konvex, ha konvex, és a határa nem tartalmaz szakaszt, és sima, ha a határa deriválható.
   3. Létezik a fenti állításnak magasabb dimenziós változata?
   A projekt alapvetően elemi geometriai, illetve némi analitikus ismereteket igényel.
   
2. Konvex sokszögek köré írt konvex sokszögek geometriai jellemzése (témavezető: Lángi Zsolt)
   Legyen P egy adott konvex sokszög. Azt mondjuk, hogy a Q konvex sokszög P köré írt, ha P minden csúcsa Q határán van. Ausserhofer, Dann, Lángi és Tóth 2018-ban algoritmust adott tetszőleges P konvex sokszög köré írt maximális területű konvex sokszögek és ezek területének meghatározására. Az eredményük azt is mutatja, hogy a maximális területű köréírt sokszögeknek nincs egyszerű, geometriai karakterizációja. A projekt célja tetszőleges P konvex sokszög esetén a P köré írt konvex sokszögek egyes geometriai jellemzői (kerület, átmérő, szélesség, stb.) extremális értékeinek vizsgálata. A projekt alapvetően elemi geometriai és kombinatorikai ismereteket igényel.
3. Konvex poliéderek egyensúlyi pontjainak vizsgálata (témavezető: Domokos Gábor és Lángi Zsolt)
   Conway igazolta az 1960-es években, hogy minden homogén sűrűségű tetraédernek a tömegközéppontjára nézve legalább két stabil lapja van, és felvetette azt a problémát, hogy határozzuk meg azt a legkisebb k egészt, melyre igaz, hogy van k lapú homogén poliéder, melynek pontosan egy stabil lapja van, azaz monostatikus. Conway egy konstrukciója szerint ez a szám legfeljebb 19. A közelmúltban Bezdek András javította ezt a becslést 18-ra, és Reshetov, számítógép segítségével, 14-re. Domokos és Lángi kiterjesztette ezt a problémát poliéderek mechanikai komplexitásának vizsgálatára, mely mennyiség definiálható úgy, mint a poliéder összes (0-, 1- és 2-dimenziós) lapjai számának és a poliéder egyensúlyi pontjai számának különbsége. Az egyik fontos kérdés ezen problémánál, hogy adott egyensúlyi pontszám mellett meghatározzuk az ezen pontszámhoz tartozó minimális mechanikai komplexitású poliéderek lapszámát. A TDK projekt célja, hogy számítógép segítségével megvizsgáljuk alacsony lapszámú poliéderek egyensúlyi pontjainak számát. Különösen érdekes olyan poliéderek keresése, melynek csak pontosan egy lapján, vagy pontosan egy csúcsában van egyensúlyi pont. A projekt alapvető geometriai, és némi programozási ismereteket igényel.