Kalkulus 2 előadás és gyakorlat
Matematikusok Kalkulus 2 előadása és gyakorlata
2023/2024 II. félévében.
Tárgykövetelmény: Kalkulus 2.
Tematika: Kalkulus 2.
Az órák helye és ideje:
Órarendi változások:
A zárthelyi dolgozatok:
Eredmények: röpzh.
Jegyzet: Kalkulus 2.
Gyakorlat anyaga:
Hét: | Gyakorló példasor: | |
---|---|---|
1. hét | Belső, torlódási, határ és izolált pontok. Halmaz belseje és lezártja. | |
2. hét | Határérték és folytonosság | |
3. hét | Oktatási szünet. | |
4. hét | Banach-féle fixponttétel, folytonosság topologikus jellemzése, halmazok távolsága és operátornorma | |
5. hét | Függvénysorozatok és függvénysorok konvergenciája, egyenletes konvergenciája és lokálisan egyenletes konvergenciája | |
6. hét | Függvénysorok egyenletes konvergenciája; hatványsorok; függvénysorozatok, függvénysorok és hatványsorok integrálása és deriválása | |
7. hét | Taylor sorfejtés | |
Haladóbb feladatok a függvénysorozatok és függvénysorok témaköréből | ||
8. hét | Parciális deriváltak, függvény deriváltja és láncszabály | |
9. hét | Differenciálhatóság; gradiens, divergencia, rotáció; Laplace-operátor polár és gömbi koordinátarendszerben | |
10. hét | Érintősík, inverzfüggvény és implicitfüggvény tétel | |
11. hét | Taylor-sorfejtés és (feltételes) lokális szélsőérték | |
12. hét | Integrálások sorrendjének felcserélése, területszámítás, kettõs integrál, ívhosszszámítás, vonalmenti integrál, felszínszámítás és felületi integrál | |
Az integrálok elméleti áttekintése | ||
13. hét | Térfogatszámítás, hármas integrál, Gauss-Osztrogradszkij-tétel és Stokes-tétel | |
Fizikai alkalmazások | ||
14. hét | Fourier-sorfejtés |
Előadás anyaga:
Hét: | Említett témák: |
---|---|
1. hét |
Jegyzet: 1.1-1.3 Általánosított számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség. Hölder-egyenlőtlenség. Minksowski-egyenlőtlenség. A $\mathbb{K}^{n}$ ($\mathbb{K}=\mathbb{R}$ vagy $\mathbb{K}=\mathbb{C}$) elemi műveletei. Skaláris szorzás. Cauchy-Schwarz-Bunyakovszkij-egyenlőtlenség. Norma. Skaláris szorzásból származó norma. A $p$-norma és a végtelen norma. Nyílt, zárt és korlátos halmaz a $\mathbb{K}^{n}$ térben. Nyílt és zárt halmazok alaptulajdonságai. Belső, torlódási, határ és izolált pont fogalma. Halmaz belseje és lezártja. Halmaz belsejének és lezártjának elemi tulajdonságai. Sorozatok. |
2. hét |
Jegyzet: 1.4-1.11 Torlódási pont és halmaz zártságának jellemzése sorozattal. Cauchy-sorozatok. A $(\mathbb{R}^{n},\Vert\cdot\Vert_{\infty})$ tér teljessége. Kompakt halmazok. Minden kompakt halmaz korlátos és zárt. Cantor-féle közösrész tétel. Az $(\mathbb{R}^{n},\Vert\cdot\Vert_{\infty})$ térben minden $R\in\mathbb{R}^{+}$ esetén a $\displaystyle\left[-R,R\right]^{n}$ halmaz kompakt. Bolzano-Weierstrass tétel a $(\mathbb{R}^{n},\Vert\cdot\Vert_{\infty})$ térben. Függvény határértéke, átviteli elv határértékre és a határérték tulajdonságai. Függvény folytonossága, átviteli elv folytonosságra és a folytonosság tulajdonságai. Folytonosság topologikus jellemzése. Kompakt halmazon értelmezett folytonos függvények, Weierstrass-tétel. Egyenletesen folytonos függvény. Heine-tétel. |
3. hét |
Jegyzet: 1.12-1.15, 1.17 A $\mathbb{R}^{n}$ téren bármely két norma ekvivalens. Normák ekvivalenciájának következményei. Heine-Borel-tétel: A $(\mathbb{K}^{n},\Vert\cdot\Vert)$ tér egy részhalmaza pontosan akkor kompakt, ha korlátos és zárt. Weierstrass-tétel: A $(\mathbb{K}^{n},\Vert\cdot\Vert)$ tér egy részhalmaza pontosan akkor kompakt, ha minden benne haladó sorozatnak létezik olyan konvergens részsorozata, melynek a határértéke a halmazban van. Sorok. Abszolút konvergens sorok. Minden abszolút konvergens sor konvergens. Sorok tulajdonságai. Lineáris leképezések folytonossága és normája, az operátornorma. Az operátornorma szubmiltiplikativitása. Carl Neumann-féle sor. Ha $\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{K})$ jelöli az $n\times n$-es $\mathbb{K}$ értékű elemkből álló invertálható mátrixok halmazát, akkor minden $a\in\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{K})$ esetén $\displaystyle B_{\frac{1}{\Vert a^{-1}\Vert}}(a)\subseteq\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{K})$, és az invertálható $n\times n$-es mátrixok halmaza nyílt az $n\times n$-es mátrixok terében. Adott halmaztól vett távolság-függvény. Adott halmaztól vett távolságfüggvény egyenletes folytonossága. Függvénysor és függvénysorozat pontkénti, egyenletes és lokálisan egyenletes konvergenciája. |
4. hét |
Jegyzet: 2.1-2.2 Folytonos függvények egyenletesen csak folytonos függvényhez konvergálhatnak. Ha egy függvénysorozat lokálisan egyenletesen konvergens, akkor minden kompakt halmazon egyenletesen konvergens. A szuprémum norma a folytonos korlátos függvények terén. A folytonos korlátos függvények tere a szuprémum normával Banach-tér. Weierstrass tétele a függvénysor egyenletes konvergenciájáról. |
5. hét |
Jegyzet: 2.3-2.6, 1.16, 1.18, 3.1 Függvénysor és függvénysorozat tagonkénti differenciálhatósága és integrálhatósága. Hatványsorok és a Cauchy-Hadamard-tétel. Abel tétele hatványsor egyenletes konvergenciájáról. Bernstein-polinomok és a Bernstein-polinomokkal való approximáció. Riesz-féle reprezentációs tétel véges dimenzióban. Multilineáris leképezések. Multilineáris leképezés normája. Pozitív/negatív (definit) és indefinit multilineáris leképezés. Konvex halmaz fogalma. Egy zárt, konvex és egy tőle diszjunkt zárt halmaz szétválasztó hipersíkkal. Minden zárt konvex halmaz félterek metszete. Az $f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m}$ függvény differenciálhatósága. Differenciálható függvény deriváltja egyértelmű. Minden differenciálható függvény folytonos. Függvények összegének, számszorosának, skalárfüggvényszeresének deriválása. A konstans függvény és a lineáris leképezés deriválása. |
6. hét |
Jegyzet: 3.2-3.6 Az egyváltozós skalárfüggvények Taylor-polinomja és Taylor-sora. A Taylor-sorfejtés tétele. Analitikus függvények. A hatványsor együtthatóinak egyértelműsége. Infinitezimális Taylor-formula. Egy $f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m}$ függvény pontosan akkor differenciálható, ha mindegyik komponense differenciálható, azaz, ha minden $i\in\lbrace 1,\dots,m\rbrace$ esetén az $f_{i}:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}$ függvény differenciálható (ahol $f_{i}=\mathrm{pr}_{i}\circ f$). Láncszabály. Mátrixok terén a négyzetreemelés deriváltja. Mátrixok terén az invertálás deriváltja. Az inklúziófüggvény és deriváltja. Parciális derivált. Differenciálható függvény deriváltjának kifejezése parciális deriváltakkal. Gradiens, divergencia, rotáció és Laplace-operátor. |
7. hét |
Jegyzet: 3.7-3.8 Iránymenti derivált. Iránymenti derivált kapcsolata a deriválttal. Parciális derivált kapcsolata az iránymenti deriválttal. Véges növekmények formulája. Ha $\Omega\subseteq\mathbb{R}^{n}$ konvex nyílt halmaz és $f:\Omega\to\mathbb{R}$ függvény, akkor az $f$ függvény pontosan akkor differenciálható folytonosan az $\Omega$ halmazon, ha minden $i\in\lbrace 1,\dots,m\rbrace$ esetén $\mathrm{Dom}\partial_{i}f=\Omega$ és $\partial_{i}f$ folytonos. Függvénysorozat és függvénysor tagonkénti differenciálhatósága. |
8. hét |
Jegyzet: 3.9-3.11 Inverzfüggvény tétel bizonyítás nélkül. Implicitfüggvény tétel. Adott $\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m}$ függvény $k$-adik deriváltja ($k\in\mathbb{N}$). Adott $k\in\mathbb{N}$ esetén $k$-szor (folytonosan) differenciálható és végtelenszer differenciálható $\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m}$ függvények. Schwarz-tétel (Clairaut tétele) a vegyes parciális deriváltak szimmetrikusságáról. |
9. hét |
Jegyzet: 3.12-3.14 Taylor-sorfejtés hibataggal. Infinitezimális Taylor-formula. Lokális szélsőérték differenciális jellemzése. Feltételes szélsőérték szükséges feltétele. |
10. hét |
Jegyzet: 3.15 Konvex/konkáv és szigorúan konvex/konkáv függvények. Kétszer differenciálható függvény konvexitásának és szigorú konvexitásának differenciális jellemzése. Síkbeli és térbeli normáltartományon való integrálás. Az integrálás sorrendjének a felcserélése. Térgörbe, térgörbe ívhossza, skalár- és vektorértékű függvény görbementi integrálja. Felület, felület normálvektora, felszíne, skalár- és vektorértékű felszíni/felületi integrálja. Egyszeresen összefüggő halmaz. Vektormező skalár és vektorpotenciálja. Elégséges feltétel a skalár- és a vektorpotenciál létezéséhez. Polár, henger és gömbi koordináták, valamint Jacobi-determinánsuk. Példák: gömb és tórusz felszíne, gömb térfogata. |
A vizsgáról:
Irodalom: