Horváth Illés és Keliger Dániel Accuracy criterion for mean field approximations of Markov processes on hypergraphs címmel friss preprint cikket írtak, melyben a járványterjedés matematikai modelljének hibakorlátjára adnak felső becslést.

A betegségek terjedésében nagy szerepet játszik az emberi kapcsolatok szerkezete, melyet hálózatokkal gráfokkal modellezhetünk. A csúcsok az embereket reprezentálják, akik a véges sok lehetséges állapot egyikében tartózkodnak (egészséges, fertőzött, rezisztens, karantén, stb). Az idő haladtával az egyének állapota véletlenszerűen változik spontán módon (például meggyógyulás) vagy az éleken keresztül a szomszédokkal való interakció során (például megfertőződés).

Bár a rendszert elméletileg pontosan jellemezhetjük a valószínűségszámítás eszközeivel, számítási kapacitás szempontjából ez egy reménytelenül nehéz feladat még egy kisebb méretű közösség esetén is, mivel a lehetséges állapotok száma exponenciálisan növekszik. A probléma orvoslására közelítőeljárásokat dolgoztak ki, melyek a részletességet feláldozva értek el jelentős egyszerűsítéseket, lehetővé téve ezzel az előrejelzések készítését korlátozott erőforrások mellett is.

Bár a szimulációs- és esettanulmányokban ezen közelítések jól illeszkednek a megfigyelt adatokhoz, precíz hibakorlátok csak ritkán, speciális esetekben ismertek. Cikkükben az úgynevezett NIMFA (N-intertwined mean field approximaton) hibájára bizonyítottak felső becslést, amennyiben a csúcsok közötti interakció kellően szétterült. A hiba nagyságrendje az átlagfokszám gyökével fordítottan arányos.

A NIMFA a közelítő eljárások közül a részletesebbek közé sorolható. A hálózatot nem egyszerűsíti tovább, csupán a csúcsok közötti korrelációt hanyagolja el, mely által egy differenciálegyenletet kapunk minden egyes csúcsra, ezáltal a megoldandó egyenletek száma csupán lineárisan növekszik. A hibahatár szépsége, hogy nem csupán a globális mennyiségek - mint például a fertőzöttek aránya - előrejelzését teszi lehetővé, hanem akár egyénekre is megállapíthatjuk a fertőzés kockázatát a hálózat ismeretében.

Bizonyos egyéb feltételezések mellett a hibakorlát más, kevésbé részletes közelítés pontosságát is biztosítja, melyekkel egyszerre csökkenthetjük tovább a szükséges számítási kapacitást és a hálózat pontos ismeretének szükségét. Ide tartozik például a gyakorlatban gyakran használt metapopulációs megközelítés, mely az embereket csoportokkal (település, régió, ország) helyettesíti melyek között csupán az össz mobilitási statisztikák ismertek, s egy csoporton belül homogenitást tételez fel.

Reflektálva a magasabb rendű interakciók kutatásában elért friss eredményekre, a módszerük úgynevezett hipergráfok esetén is alkalmazható, ahol párok helyett három vagy akár több ember közötti interakciókat is figyelembe vehetünk egyszerre.