We investigate steady state solutions of a nonlocal geometric PDE that serves as a simple model of simultaneous contraction and growth of grains called ooids in geosciences. As a main result of the talk I demonstrate that the parameters associated with the physical environment determine a unique, time-invariant (equilibrium) solution of the equation among smooth, convex curves embedded in $\mathbb{R}^2$. The model produces nontrivial shapes that are consistent with recorded shapes of mature ooids found in nature.

A parciális differenciálegyenletek hagyományosnak számító numerikus módszerei a véges differencia és a véges elem módszerek (FDM, FEM). Előbbi módszerben a tartományok diszkretizálása egy számítási ráccsal, az utóbbiban végeselemes háló segítségével történik. Mindkét módszer ún. tartomány típusú, azaz a teljes tartományt diszkretizálni kell, ami végeredményben egy sokismeretlenes lineáris algebrai egyenletrendszerre vezet. Továbbá, egy bonyolult tartományra jól illeszkedő végeselem-háló kialakítása maga is igen bonyolult probléma lehet. Ezen hátrányok kiküszöbölésére születtek az ún. hálónélküli módszerek, melyek intenzívebb kutatása nagyjából az ezredforduló környékén kezdődött. Itt a tartományon és annak peremén semmiféle rács- vagy hálóstruktúra kialakítása felesleges: a diszkretizálás struktúra nélküli ponthalmazzal történik. Így a hálógenerálás problémája automatikusan megoldódik. A bevezetett ismeretlenek száma jellemzően sokkal kevesebb, mint az FDM ill. a FEM esetén. Ezen előnyök ára, hogy a módszer olyan lineáris egyenletrendszerre vezet, melynek mátrixa teljesen kitöltött, nemszimmetrikus és általában rosszul kondícionált. Az előadáson egy speciális hálónélküli módszert mutatunk be, az alapmegoldások módszerét. Itt a közelítő megoldást a szóban forgó differenciálegyenlet alapmegoldása segítségével konstruáljuk, melyet bizonyos külső pontokba (forráspontokba) tolunk el. A módszer rendkívül egyszerűen programozható, és ugyanakkor sok esetben nagyon pontos. Hátránya a már említett rosszul kondícionált mátrixok megjelenése, valamint a forráspontok optimális meghatározása. Az előadáson részletezzük e hátrányok csökkentésének lehetőségeit, és vázoljuk azt is, hogy a módszer hogyan terjeszthető ki inhomogén problémák megoldására: ez utóbbira egy ún. szórt alappontú interpolációs technikát alkalmazunk.

A Farkas Miklós Alkalmazott Analízis Szeminárium honlapja