\( \def\N{\mathbb{N}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\R{\mathbb{R}} \def\C{\mathbb{C}} \def\T{\mathbb{T}} \def\K{\mathbb{K}} \def\Hi{\mathcal{H}} \def\di{\displaystyle} \def\i{\mathrm{i}} \def\Sp{\mathrm{Sp}} \def\vto{\twoheadrightarrow} \def\gz#1{\left( #1\right)} \def\kz#1{\left\lbrace #1\right\rbrace} \def\sz#1{\left\lbrack #1\right\rbrack} \def\abs#1{\left\vert #1\right\vert} \def\norm#1{\left\Vert #1\right\Vert} \def\scal#1{\left\langle #1\right\rangle} \)

Számítási módszerek a fizikában 1 előadás és gyakorlat

Fizikusok Számítási módszerek a fizikában 1 előadása és gyakorlata
2025/2026 I. félévében.



Tárgykövetelmény: BMETE92AF51Kovetelmeny.


Az órák helye és ideje:

A zárthelyi dolgozatok:

Eredmények: Röpzh és zh.


Gyakorlat anyaga:


Hét: Gyakorló példasor:
1. hét Elemi matematikai függvények és tulajdonságaik, egyenletek egyenlőtlenségek és alkalmazásaik pdf
2. hét Alapműveletek komplex számokkal, hatványozás és egyszerűbb egyenletek megoldása pdf
3. hét Komplex számok trigonometrikus alakja, logaritmusa, hatványozása és trigonometrikus függvényei pdf
4. hét Komplex számok alkalmazása a geometriában, transzformációk leírásában és relativisztikus dinamikában pdf
Polinomok osztása, gyökök és együtthatók közötti összefüggés és $\R^{3}$ elemi mûveletei pdf
5. hét A tér affin alakzatainak felírása, ezek egymástól vett távolságuk és a tér elemi lineáris transzformációinak a felírása pdf
6. hét Lineáris alterek, skaláris szorzás és Gram–Schmidt-ortogonalizáció pdf
7. hét Elmarad
8. hét Lineáris transzformációk mátrixa és elemi mátrixműveletek pdf
9. hét Egyenletrendszerek és mátrix determinánsa pdf
10. hét Sajátérték, sajátvektor és báziscsere transzformáció pdf
11. hét Rezolvens számítás és spektrális felbontás pdf
12. hét Mátrixfüggvények pdf
13. hét Rendezés a mátrixokon, kvadratikus kifejezések és rugós rendszerek pdf
14. hét Mátrixcsoportok pdf

Előadás anyaga:


Hét: Említett témák: Javasolt feladatok:
1. hét Elemi függvények: szinusz, koszinusz, tangens, kotangens (definíció, grafikon, fontosabb azonosságok), hatványozás értelmezése, azonosságai, hatvány és exponenciális függvények (grafikon, fontosabb tulajdonságok), logaritmus (grafikon, tulajdonságok, azonosságok).
Csoport, Ábel-csoport definíciója, kapcsolat a szimmetriákkal. Példák csoportokra. Test axiómák. Példák testekre: $\Q$, $\R$ és $\Q$ bővítése $\sqrt{2}$-vel. Rendezési axiómák. Dedekind-axióma. A valós számok halmazában mindez teljesül, és ezek (izomorfia erejéig) egyértelműen definiálják a valós számok halmazát. Valós számok Arkhimédészi tulajdonsága
2. hét A rendezés nem általánosítható a komplex számtestre. Komplex számok algebrai alakja. Komplex szám valós és képzetes része, konjugáltja, valamint abszolút értéke. Komplex számok összege, különbsége, szorzata és hányadosa. Komplex szám trigonometrikus alakja. Komplex sor határértéke. Az exponenciális, a (hiperbolikus) szinusz és a (hiperbolikus) koszinusz függvény definíciója hatványsorral. Euler-formula. Trigonometrikus függvények felírása exponenciálissal. Komplex számok szorzása, osztása és hatványozása exponenciális alakban. Addíciós tételek (hiperbolikus) trigonometrikus függvényekre. Az $\mathrm{sh}$, $\mathrm{ch}$ és $\mathrm{th}$ függvény tulajdonságai. Az $\mathrm{arcsin}$, $\mathrm{arccos}$, $\mathrm{arctg}$, $\mathrm{arsh}$, $\mathrm{arch}$ és $\mathrm{arth}$ függvények definiálása. Algebrai alakban felírt komplex szám esetén a $\sin$, $\cos$, $\mathrm{tg}$, $\mathrm{sh}$, $\mathrm{ch}$ és $\mathrm{th}$ meghatározása. Mat. Feladatgyűjtemény I.
6. fejezet
7-12, 16-21, 33-47, 143-148, 152-157, 169, 170, 177, 181-183.
3. hét Komplex szám logaritmusa. Komplex szám komplex hatványra emelése. Komplex szám $n$-edik gyöke, ahol $n\in\N$.
Polinomok fogalma a $\K$ ($\K=\R$ vagy $\K=\C$) számtest felett. Polinom foka. Polinomok összege, számszorosa és szorzata. Ha $p$ polinom és $x_{0}\in\K$, akkor létezik olyan $q$ polinom, hogy minden $x\in\K$ esetén $p(x)=(x-x_{0})q(x)+p(x_{0})$ teljesül. Polinomok maradékos osztása.
Algebra alaptétele: minden $\C$ számtest feletti legfeljebb elsőfokú polinomnak létezik gyöke a komplex számok körében (bizonyítás nélkül).
Polinom gyökének multiplicitása. Minden $\C$ számtest feletti $n$-ed fokú polinomnak pontosan $n$ gyöke létezik a komplex számok körében a gyököket multiplicitással számolva. Minden $p$ polinom egyértelműen felírható $\displaystyle p(x)=a\prod_{i=1}^{N}(x-x_{i})^{k_{i}}$ alakban, ahol $a,x_{1},\dots,x_{N}\in\K$, $k_{1},\dots,k_{N}\in\N^{+}$ olyan, hogy $\displaystyle\sum_{i=1}^{N}k_{i}=n$ teljesül. A polinom egütthatói és gyökei közötti összefüggések.
Lagrange-interpoláció: A Lagrange-féle alappolinomok segítségével $n$ pontra, melyek $x$ koordinátája páronként különböző, pontosan egy legfeljebb $(n-1)$-ed fokú polinom illeszthető.
4. hét Az $\R^{n}$ tér elemi vektormûveletei: az $\R^{n}$ tér vektorainak összege, számszorosa és skaláris szorzata (koordinátákkal definiálva). A skaláris szorzás és tulajdonságai. Cauchy–Schwarz–Bunyakovszkij-egyenlőtlenség. Vektorok által bezárt szög definiálása. Az $\R^{3}$ térben vektorok vektoriális szorzata és a vektoriális szorzás tulajdonságai. Az $\R^{3}$ térben a vegyes szorzat. Az $\i$, $\mathrm{j}$ és $\mathrm{k}$ egységvektorok az $\R^{3}$ térben. A $\delta_{ik}$ és $\varepsilon_{ijk}$ szimbólumok. A vektoriális szorzás felírása az $\varepsilon_{ijk}$ szimbólummal. A vegyes szorzat tulajdonságai. Mat. Feladatgyűjtemény I.
4. fejezet: 51-126.
5. fejezet: 1-90.
5. hét Az $\R^{3}$ térben a pont, az egyenes és a sík egyenlete és ezen alakzatok egymástól vett távolsága.
Absztrakt vektortér fogalma az $\R$ és a $\C$ számtest felett. Vektorok lineáris kombinációja és lineáris függetlensége. Bázis. Minden vektortérben létezik bázis. (Bizonyítás nélkül.) Vektortérben két bázis elemszáma azonos. (Bizonyítás nélkül.) Dimenzió.		 Mat. Feladatgyűjtemény I.
4. fejezet: 36, 37.
Mat. Feladatgyűjtemény II.
19. fejezet: 1-35.
6. hét Lineáris altér. Vektortérben vektor felírása adott bázisban egyértelmű. Skaláris szorzás. Cauchy–Schwarz–Bunyakovszkij-egyenlőtlenség. Vektorok által bezárt szög. Norma. A $\Vert\cdot\Vert_{p}$ ($p\in\left[1,\infty\right[\cup\{\infty\}$) norma a $\K^{n}$ téren. Ortogonális, normált, ortonormált és teljes vektorrendszer. Vektor kifejtése ortonormált bázisban. Pitagorasz tétel véges dimenzióban. Gram–Schmidt-ortogonalizáció. Lineáris leképezés definíciója. Adott $U$ és $V$ vektorterek esetén $\mathrm{Lin}(U,V)$ is vektortér. Lineáris leképezések összege, számszorosa és szorzata. Az $U$ és a $V$ vektortérben adott bázis esetén az $A\in\mathrm{Lin}(U,V)$ lineáris leképezés mátrixa. Mátrixműveletek és kompatibilitásuk a lineáris leképezések műveleteivel.
7. hét Vektortér duálisa és biduálisan. Vektortér beágyazása a biduálisba. Lineáris leképezés képtere és magtere. A képtér és a magtér lineáris altér. Lineáris leképezés rangja. Dimenziótétel. Mat. Feladatgyűjtemény II.
19. fejezet: 80-99.
8. hét Lineáris egyenletrendszer felírása vektorral és lineáris leképezéssel. Homogén és inhomogén lineáris egyenletrendszer. Elemi sorműveletek. Lineáris egyenletrendszer megoldása Gauss–Jordan-eliminációval. Lineáris egyenletrendszer lépcsős alakja. Elemi sorműveletekkel bármely mátrix redukált lépcsős alakra hozható.
Az $\{1,\dots,n\}$ halmaz permutációi ($\mathrm{Perm}(n)$). Permutációk csoportot alkotnak a kompozíció művelettel. Transzpozíció. Létezik egyetlen olyan $\varepsilon:\mathrm{Perm}(n)\to\{-1,1\}$ csoporthomomorfizmus (előjel függvény), mely minden transzpozícióhoz a $-1$ értéket rendeli.
Mátrix determinánsa és a determináns alaptulajdonságai. 		Mat. Feladatgyűjtemény II.
20. fejezet 16-39, 42-77.
Mat. Feladatgyűjtemény II.
19. fejezet
36-58, 63, 64, 73, 74.
9. hét Négyzetes mátrix transzponáltja és a transzponált tulajdonságai. Négyzetes mátrix adjungáltja és az adjungált tulajdonságai. Négyzetes mátrix nyoma és a nyom tulajdonságai.
Determinánsra vonatkozó sorok és oszlopok szerinti kifejtési tétel. Mátrix inverze. Mátrix invertálása aldetermináns segítségével. Mátrix invertálhatóságának jellemzése determinánssal. Mátrixok speciális típusai: önadjungált, normális, ortogonális, unitér, projekció, idempotens, nilpotens és pozitív.
Az $A:V\to V$ lineáris leképezés sajátértéke és sajátvektora. Az $A:\K^{n}\to\K^{n}$ lineáris leképezésnek $\lambda\in\K$ pontosan akkor sajátértéke, ha $\det(A-\lambda)=0$ teljesül. 		Mat. Feladatgyűjtemény II.
20. fejezet 78-115.
Mat. Feladatgyűjtemény II.
21. fejezet 70-75.
10. hét Mátrix invertálása Gauss-Jordan-eliminációval.
Mátrixalgebra kapcsán az algebra és az egységelemes algebra fogalma.
Egységelemes algebrában egy elem spektruma. Mátrixalgebrában a spektrum megegyezik a sajátértékek halmazával. Komplex számtest feletti mátrixalgebrában a mátrix spektruma nem üres.
Báziscsere transzformáció.
Normális mátrix különböző sajátértékeihez tartozó sajátvektorok merőlegesek egymásra.
Riesz-féle reprezentációs tétel véges dimenziós skalárszorzatos vektortéren. Az adjungált jellemzése skaláris szorzással.
Kiegészítő lineáris alterek. Skalárszorzatos vektortér részhalmazának ortogonálisa. Lineáris alterek ortogonálisának tulajdonságai. Vektorok lineáris burka. A lineáris burok megegyezik a vektorokat tartalmazó lineáris alterek metszetével.
Szakasz felírása vektortérben, a konvex halmaz és az extremális pont fogalma.
11. hét Ha $N$ normális mátrixra, $v$ vektorra és $\lambda$ számra $Nv=\lambda v$ teljesül, akkor $N^{*}v=\bar{\lambda}v$.
Ha $N$ normális mátrix, melynek $v$ sajátvektora, akkor minden $x$ vektorra ha $\scal{x,v}=0$, akkor $\scal{Nx,v}=0$ és $\scal{N^{*}x,v}=0$ teljesül.
Komplex számtest feletti mátrixalgebrában minden normális operátornak létezik olyan sajátvektor rendszere, amely ONB.
A $V$ skalárszorzatos vektortéren egy $A:V\to V$ lineáris leképezés pontosan akkor normális, ha létezik olyan $(e_{i})_{i=1,\dots,n}$ ortonormált bázis a $\K^{n}$ térben és az $A$ sajátértékeinek olyan $(\lambda_{i})_{i=1,\dots,n}$ rendszere, hogy minden $i\in\{1,\dots,n\}$ esetén $Ae_{i}=\lambda_{i}e_{i}$ teljesül.
Legyen $A:\K^{n}\to\K^{n}$ normális operátor, $(e_{i})_{i=1,\dots,n}$ olyan ortonormált bázis a $\K^{n}$ térben és $(\lambda_{i})_{i=1,\dots,n}$ a sajátértékek olyan rendszere, hogy minden $i\in\{1,\dots,n\}$ esetén $Ae_{i}=\lambda_{i}e_{i}$ teljesül. Ha minden $i\in\{1,\dots,n\}$ esetén $P_{i}$ jelöli az $e_{i}$ vektor által meghatározott altérre való ortogonális projekciót, akkor $\di A=\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}P_{i}$ teljesül.
Az $A:\K^{n}\to\K^{n}$ normális operátors spektrálfelbontása az $\displaystyle A=\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}P_{i}$ formában való felírása.
Minden normális operátor diagonalizálható. Mátrixalgebrában $A$ normális operátor és $f:\Sp A\to\C$ függvény esetén $f(A)$ értelmezése és kiszámítása.
Az $A:\K^{n}\to\K^{n}$ normális leképezésre az alábbiak teljesülnek. \begin{equation*} \begin{array}{ll} 1. & A\ \mbox{önadjungált} \quad\Leftrightarrow\quad \Sp A\subseteq\R \\ 2. & A\ \mbox{pozitív} \quad\Leftrightarrow\quad \Sp A\subseteq\R^{+}_{0}\\ 3. & A\ \mbox{unitér} \quad\Leftrightarrow\quad \Sp A\subseteq\T \\ 4. & A\ \mbox{projekció} \quad\Leftrightarrow\quad \Sp A\subseteq\{0,1\} \end{array} \end{equation*} Polarizációs formula: Az $A:\C^{n}\to\C^{n}$ lineáris leképezésre minden $x,y\in\C^{n}$ esetén az alábbi egyenlet teljesül. $$\scal{y,Ax}=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}\i^{k}\scal{x+\i^{k}y,A(x+\i^{k}y)}$$ Az $A:\C^{n}\to\C^{n}$ lineáris leképezésre az alábbi ekvivalencia teljesül. $$A\neq 0 \qquad\Leftrightarrow\qquad \exists x\in\C^{n}:\ \scal{x,Ax}\neq 0 $$ Legyen $V$ egy $\C$ feletti skalárszozatos vektortér és $A:V\to V$ lineáris leképezés. Az $A$ leképezés pontosan akkor önadjungált, ha minden $x\in V$ esetén $\scal{x,Ax}\in\R$ teljesül.
12. hét A $(V,\scal{\cdot,\cdot})$ skalárszorzatos téren értelmezett $A:V\to V$ önadjungált operátor pozitív/negatív, pozitív/negatív definit és indefinit volta.
Adott $A$ és $B$ önadjungált operátorok esetén $0\leq A$ és $A\leq B$ értelmezése. Az önadjungált operátorok halmazán bevezetett $\leq$ reláció rendezés.
Az $n$-monoton és az operátor monoton függvények fogalma.
Minden $A\in\mathrm{Mat}(n,\C)$ mátrixra az alábbi kijelentések ekvivalensek. \begin{equation*} \begin{array}{ll} 1. & 0\leq A\\ 2. &\di\exists a_{1},\dots,a_{n}\in \mathrm{Mat}(n,\C):\ A=\sum_{i=1}^{n}a_{i}a_{i}^{*}\\ 3. &\exists a\in \mathrm{Mat}(n,\C):\ A=aa^{*}\\ 4. &\exists a\in \mathrm{Mat}(n,\C):\ a=a^{*},\ A=a^{2}\\ 5. &A=A^{*},\ \Sp(A)\subseteq\R^{+}_{0} \end{array} \end{equation*} A $\mathrm{Mat}(n,\K)$ térben a pozitív operátorok kúpot alkotnak.
Normális mátrixok esetén a karakterisztikus egyenlet együtthatói és a sajátértékek közötti összefüggések.
Az $A:\C^{n}\to\C^{n}$ lineáris leképezésre az alábbiak teljesülnek. \begin{equation*} \begin{array}{ll} 1. & A\ \mbox{normális} \quad\Leftrightarrow\quad \forall x\in\C^{n}:\ \|Ax\|=\|A^{*}x\| \\ 2. & A\ \mbox{önadjungált} \quad\Leftrightarrow\quad \forall x\in\C^{n}:\ \scal{x,Ax}\in\R \\ 3. & A\ \mbox{unitér} \quad\Leftrightarrow\quad \forall x,y\in\C^{n}:\ \scal{x,y}=\scal{Ax,Ay} \quad\Leftrightarrow\quad \forall x\in\C^{n}:\ \|Ax\|=\|x\| \\ 4. & A\ \mbox{unitér} \quad\Leftrightarrow\quad \forall (e_{i})_{i=1,\dots,n}\ \mbox{ONB}:\ (Ae_{i})_{i=1,\dots,n}\ \mbox{ONB}. \end{array} \end{equation*} Ha $A$ $n\times n$-es önadjungált mátrix, akkor minden $t\in\R$ paraméter esetén az $\mathrm{e}^{\i tA}$ mátrix unitér.
Jacobson-lemma: Ha $\mathcal{A}$ egységelemes algebra, akkor minden $a,b\in\mathcal{A}$ elemre $\left\{0\right\}\cup\Sp(ab)=\left\{0\right\}\cup\Sp(ba)$.
Ha $A$ és $B$ $n\times n$-es mátrix, akkor $\Sp(ab)=\Sp(ba)$.
Ha az $A$ és $B$ $n\times n$-es mátrixra $AB=I$ teljesül, akkor $BA=I$.
Blokk mátrix fogalma és mátrixműveletek blokk mátrixokkal. $\det\begin{pmatrix} A & 0\\ C & D\end{pmatrix}=\det(A)\cdot\det(D)$
13. hét A $2\times 2$-es blokk mátrix determinánsa invertálható bal felső elem esetén: $\di\det\begin{pmatrix} A&B\\C&D\end{pmatrix}=\det(A)\cdot\det(D-CA^{-1}B)$.
Ha létezik $A^{-1}$, akkor a $\begin{pmatrix} A&B\\ B^{*}&D\end{pmatrix}$ mátrix pontosan akkor pozitív definit, ha $A$ és $D-B^{*}A^{-1}B$ pozitív definit.
Sylvester tétele: Legyen $A$ egy $n\times n$-es önadjungált mátrix és legyen $A_{k}$ az $A$ mátrix bal felső $k\times k$ méretű almátrixa. Az $A$ mátrix pontosan akkor pozitív definit, ha minden $k\in\left\{1,2,\dots,n\right\}$ esetén $\det(A_{k})>0$ teljesül.
14. hét Kitekintés: A qubitek terének Stokes-paraméterezése.

A vizsgáról:


Kapcsolódó (fél)komoly multimédiás tartalmak:


Irodalom: